2017-2018学年三3.2古典概型学案

1、第5页共5页案例探究某班数学兴趣小组有男生和女生各2名，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛，请思考下列问题：（1）恰好有一名参赛学生是男生的概率；（2）至少有一名参赛学生是男生的概率；（3）至多有一名参赛学生是男生的概率 .分析：由题设知，此题属于古典概型.先算基本事件总数，然后再计算各类事件发生的概率.（男2,女1）,（男解：基本事件有：（男1,男2）,（男1,女1）,（男1,女2）, 2,女2）,（女1,女2）,共6个.（1）恰好有一参赛男生的基本事件有：（男1,女1）,（男1,女2）,（男2,女1）,共4个，所以这一事件的概率为P=4 = 2 .6 3（2）至少有一名参赛男生的基本事件有

2、：（男1,男2）,（男1,女。，（男1,女2）,共有5种不同的结果，所以，所求事件的概率为（3）至多有一名参赛男生的基本事件有：（男1,女1）,（男1 ,女2）,（男2,女1）,（男2,女2）（男2,女2）,（男2，女2）,（男2,女1）（女1,女2）共有5种不同的结果，所以，所求事件的概率为自学导引1 .在1次试验中可能出现的每一个基本结果，称为基本事件.若在1次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件.2 . （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概型3

3、.如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1 ;如果某个事件 A包含的基本事件有 m个，那么事件 A的概率P （A） =m .n_n_4 .先后抛掷两枚硬币，观察正反面出现的情况，在此试验中有哪些基本事件？答：它有4个基本事件，分别是（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）其中（正，正）代表第1和第2枚硬币都出现正面， （正，反）代表1枚硬币出现正面而第2枚硬币出现反面，（反，正）代表第1枚硬币出现反面而第 2枚硬币出现正面，（反，反） 代表第1和第2枚硬币都出现反面.5 .是不是所有的试验都是古典概型？举例说明（1） 一个试验是否为古典概型，在于这个

4、试验是否具有古典概型的两个特征一一有限性和等可能性.（2）并不是所有的试验都是古典概型.例如，在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”，这个试验的基本事件空间为发芽，不发芽，而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的.又如，从规格直径为 300 mmh 0.6mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d,测量值可能是从 299. 4mmiij 300.6mm之间的任何一个值，所有可能的结果有无限多个.这两个试验都不属于古典概型.疑难剖析【例1】 掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，写出所有的基本事件，说明其是 否是古典概型.思路分析：因为骰子为立方体形状，其六个面分别对应1

5、点、2点、，、6点，所以基本事件应有6个.解：有6个基本事件，分别是“出现 1点”，“出现2点”，“出现 6点”.因为骰 子的质地均匀，所以每个基本事件的发生是等可能的，因此它是古典概型思维启示：基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘.【例2】 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率思路分析：掷骰子有 6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型解：这个试验的基本事件共有6个，即(出现1点)、(出现 2点)、，、(出现 6点)，所以基本事件数n=6,事件A=掷得奇数点=出现1点，出现3点，出现5点,其包含的基本事件数 m=3.所以，P (A) =m

6、= = =0.5 .n 6 2思维陷阱：如一个口袋内装有大小相等的3个黑球和2个白球，从中摸出一个球，求摸出一个黑球的概率.错解：从中摸出一球的可能结果有两种“黑球” “白球”，则摸出一黑球的概率为1.2错因分析：因为黑球数高于白球数，因此摸到黑球的机会就大于摸到白球的机会，它们不是等可能的，因此上述解法不正确.正解：我们把3个黑球分别标上“ A B、C三个字母加以区分， 把两个白球标上“ D E” 以示区分.那么摸出一个球的所有结果为“黑A“黑B”黑C白D白E，共五3种，因此摸出一个黑球的概率为 3 .5思维启示：利用古典概型公式P (A) =m求概率的步骤：(1)首先检验是否是古典概n型，

7、即基本事件是否有限个.每个基本事件是否具有等可能性；(2)利用列举法把等可能的基本事件一一列出.从而求出基本事件总数 n及所求事件包含基本事件的个数 m； (3)利用 公式P (A)=*求出事件的概率.n【例3】 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次，求：(1) 一共有多少种不同的结果？(2)其中向上的数之和是 5的结果有多少种？(3)向上的数之和是 5的概率是多少？(4)向上的数之和是 5的倍数的概率是多少？思路分析：由于骰子的质地是均匀的，故先后抛掷的结果是等可能的，可把基本事件一一列出，然后根据事件求出概率 .(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，共有以下不同的结果1(1,1) (1,2) (1

8、,3) (1,4) (1,5)2(1,6)3(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)4(2,6)5(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)6(3,6)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)(4,6)(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,6)123 456(6,5)即共有36种不同的结果.(2)在上面的结果中，向上的数之和为5的结果有：(1, 4) , (2, 3) , ( 3, 2),(4, 1)，共 4种.(3)由于骰子的质地是均匀的，所以将它抛掷两次的所有36

9、种结果是等可能出现的，其中向上的数之和为 5的结果(记为事件 A)有4种，因此，所求的概率为4 1 (A) = 4 = 36 9(4)出现向上的数之和为 5的倍数的事件(记为事件 B)有:(1,4), (2,3),( 3,2) , ( 4, 1) , ( 4,6),( 6,4), ( 5,5).共7种不同结果，且都是等可能的，所以其概率为P (B)=.36思维启示：求概率时，常常把全体基本事件一一列出，以便我们准确地找出基本事件总数，以及某事件所含的基本事件个数.这是我们初学概率最常用、最基本的方法.【例4】一个盒子里装有标号 1、2、，、 10的标签，今随机地选取两张标签，根据下 列条件求两

10、张标签上的数字为相邻整数的概率：(1)标签的选取是无放回的；(2)标签的选取是有放回的.思路分析：首先要弄清基本事件个数，然后用古典概型概率公式P(A)=事件A包含的基本事件数求解试验的基本事件总数.解：随机地选取两张标签，记事件A为“两张标签上的数字为相邻整数”，可能结果为(1,2), ( 2, 3) , ( 3, 4) , , , ( 9, 10)共 9 种.（1）如果标签是无放回的，按抽取顺序记录为（ x,y ）则x有10种可能，y有9种可 能，但（x、y）与（y、x）是一样的，共有可能的结果为 10X9 + 2=45种，因此事件A的概 率为P （内=_9_ = 1 .45 5（2）如果

11、小球是有放回的，按抽取顺序记录结果（x、y）,则x有10种可能，y有10种可能，但（x、v）与（y、x）是一样的，共有可能结果 10X10+2=50种.因此事件A的概率 9 9 为 50思维启示：准确把握不同条件下的基本事件总数 .对于不放回抽样，计算基本事件个数 既可看作有顺序的， 也可看作无顺序的， 其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的 角度必须一致，否则会产生错误.对于有放回的抽样，计算基本事件个数只能看作是无序的， 若看作是有序的，则各个基本事件就不是等可能的情况，不符合古典概型【例5】 每个人的基因都有两份，一份来自父亲，另一份来自母亲 .同样地，他的父亲 和母亲的基因也有两

12、份.在生殖的过程中，父亲和母亲各自随机地提供一份基因给他们的后 代.以褐色颜色的眼睛为例.每个人都有一份基因显示他的眼睛颜色：（1）眼睛为褐色；（2）眼睛不为褐色.如果孩子得到的父母的基因都是“眼睛为褐色”的基因，则孩子的眼睛也为褐色.如果孩子得到的父母的基因都为“眼睛不为褐色”的基因，则孩子眼睛不为褐色 （是什么颜色取决于其他的基因）.如果孩子得到的基因中一份为“眼睛为褐色”的，另一份为“眼睛不为 褐色”的，则孩子的眼睛不会出现两种可能，而只会出现眼睛颜色为褐色的情况.生物学家把“眼睛为褐色”的基因叫做显性基因.方便起见，我们用它母B代表“眼睛为褐色”这个显性基因，用b代表“眼睛不为褐色”这

13、个基因.每个人都有两份基因，控制一个人眼睛颜色的基因有BB, Bb （表示父亲提供基因B,母亲提供基因b） , bB,bB.注意在BB, Bb, bB和bb这4种基因中只有bb基因显示为 眼睛颜色不为褐色，其他的基因都显示眼睛颜色为褐色假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb, 则孩子眼睛不为褐色的概率有多大？褐色褐色褐色褐色褐色非褐色解析：由于父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb,从而孩子有可能产生的基因有4种，即BB, Bb,bB,bb （右图）.又因为父亲或母亲提供给孩子基因B或b的概率是一样的，所以可以认为孩子的基因是这4种中的任何一种的可能性是一样的.因此，这是一个古典概型问题.只有

14、当孩子的基因为 bb时，眼睛才不为褐色，所以，（1） “孩子眼睛为褐色”这3个随机事件发生的概率为3 =0.75 . （ 2） “孩子眼睛不为褐色”这个随机事件发生的概率4、，1为一=0.25 .4拓展迁移【拓展点1】若以连续两次掷骰子分别得到的点数mr n作为点P的坐标（m,n）,求点P落在圆x2+y2=18内的概率.解析：易知基本事件有 36个，事件“点P （m,n）在圆x2+y2=18内”包括下列10个基本事件：（1, 1） , （1, 2） （1, 3） , （1, 4） , （2, 1） , （2, 2） , （2, 3） , （3, 1）, （3, 2） , （4, 1）.，,一，

15、、一 10 5故所求概率是 =.36 18【拓展点2】 在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案，同学们可能有一种感觉， 如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？解析：我们可以探讨正确答案的所有结果：如果只有一个答案是正确的，则有4种；如果有两个答案是正确， 则正确答案可以是（A、B）、（ A、C）、（ A、D）、（日 C）、（日 D）、（ C、D） 6 种.如果有三个答案是正确的，则正确答案可以是（A、B、C）、（A、C、D）、（A、BD）、（B、C、D）4 种.如果四个都正确，则正确答案只有1种.故正确答案的所有可能结果有4+6+4+1=15种，从这15种答案中任取一种的可能性只有1 一 一.，.因此更难猜对.15【拓展点3】 齐王与田忌赛马，田忌的上