弦长公式证明及应用详解

1、弦长公式证明及应用详解公式为:7222t22：|ab| 1 k |x1x2|5 k j(x1x2)4x1x2和：1ab尸1121y2 yi | j(y2 y1)2 4y2认作用：应用弦长公式很方便，它所解决的问题是求直 线与所有圆锥曲线所交弦的弦长，因为直线的斜率往 往是已知的，这样再知道两个交点的横坐标或者纵坐 标就可以直接利用公式求出来，如果不知道横纵坐标 也可以直接把直线和圆锥曲线联立方程组，进而转化 成一元二次方程利用韦达定理不用解方程代入公式 直接求出弦长 公式证明：证法一：若直线l:y kx b与圆锥曲线相交与 a、b两点，a (x1, y1), b(x2, y2)则弦长 ab (

2、xi x2)2 (yiy2)2(k x2)2 kxi b (kx2 b)2 v1 k2|x1 x21 k2 . (x1 x2)2 4x1x2其实用三角函数来证明也很简单方法如下证法二：1 k,1 tan22sin cos2cos二 -(表示倾斜角)cos8s又因为：1x1 x2 | cos所以 |ab| ab | | xi x2 |coscos1xi x2| j k2 | xi x2|,1 k2。x2)2 4x1x2同理:|ab|= . i| y2yi |, (y2 yi)2 4 y2yi推导方法如下: y2| sin |ab|是倾斜角）；又因为:2 cos sin22sin cos i. 2

3、2sinsini sinyil ,(y2 yi)24 y2%,i所以：|ab|二 i | y2 k k|ab|=2p2i交于a、b两点，求ab的弦长4特殊的，在如果直线 ab经过抛物线的焦点，则例题i:已知直线y x i与双曲线c : x2解：设 a(xi, yi), b(x2, y2)y x i由 2 得 4x? (x i)2 4 0 得 3x2 2x 5 0 x2 y- i42xi x2 一则有3 得，5xix23,2 :24 14208 厂ab vi k v(xi x2 ) 4x1x2 j 2j 炎 9 933x21练习1:已知椭圆方程为 y 1与直线方程|：y x 一相交于a b两点，

4、求ab的22弦长练习2：设抛物线y24x截直线y2x m所得的弦长 ab长为345 ,求m的值分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长解：设 a (x1, y1), b(x2, y2)y联立方程2x2得 6x2 4x1x1则x2x1x224x1x2,2：(3)212)2,113解：设 a (x1, y1), b(x2, y2)2联立方程：yy4x2/得 4x (4m2x m4)xx1x212 m则x1 x2ab.1 k2 ,(xix2)2 4x1x2m 45 .1 (1 m)23.5例题2 ：已知抛物线y3上存在关于直线0对称相异的两点a b,求弦长ab分析：a b两点关

5、于直线0对称，则直线ab的斜率与已知直线斜率的积为1 (根据直线垂直斜率之积是-1 )且ab的中点在已知直线上解：a、b 关于 l：x y 0 对称ki kab1ki1kab 1设直线 ab 的方程为 y x b , a (x1, y1), b(x2, y2)y x b2联立方程9 化简得x2 x b 3 0yx2 3 11 x1 x21 ab中点m ( , b)在直线x y 0上b 1x2 x 2 0r x1 x21则12x1x22ab v! k2j(xx2)2 4x1x2 22( 1)2 8 3r2/、结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步

6、骤为：设点联立方程消元 韦达定理弦长公式作业：(1) 过抛物线y2 4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于a, b两点，且ab 16 求的值32(2) 已知椭圆方程 y2 1及点b(0, 2),过左焦点f1与b的直线交椭圆于2c、d两点，f2为椭圆的右焦点，求cdf2的面积。弦长公式的应用1.弦长问题例1.已知点a( v3,0)和b (忑,0),动点c到a b两点的距离之差的绝对值为2,点c的轨迹与直线y=x-2交于d e两点，求线段 de的长。解：设点c (x, y)，则|ca| |cb| 2,根据双曲线的定义，可知点 c的轨迹是双曲线22a l 1a2 b2由2a 2, 2c |ab| 2

7、%3得21, b22故点c的轨迹方程是222 y i由 x 2 得 x24x60y x 2因为 0,所以直线与双曲线有两个交点。设 d(xryj, e(x2, y),则x1 x24 , x1 x26,故 | de | 112 |x1x2|.:2 (x1x2 ) 2 4x1 x24 52 .求曲线的方程例2.已知点a( 1,4),抛物线 c的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，直线1: y 2x 2与抛物线c交于m1、m2两点，若1ami|、1mlm 2|、|am21成等比数列, 求抛物线c的方程。解：设抛物线 c: y22 px(p 0), m1(x1, y1), m2 (x2, y2),显然点a

8、在直线l上， 2 y 2 px ,怎 由得y 2 x 22y px 2 p 0 ,所以yiv2 p,y i y 22 p由图 1,知 yi4 , y24 ,图1又 1mlm2|2 |am111am2|,即221y1 丫2|321t(yi4)j217(丫24)，亦即(yi y 2)24 yi y 2yi y24( yi y2)16，2p 8p 2 p 4p i6, 解得 p 2或p 8 (舍去)故抛物线c的方程为y2 4x0例3.已知f是定点,l是定直线，点f到直线l的距离为p(p 0),点m在直线l上滑动，动点n在m题长线上，且满足 j-fn1求动点n的轨迹方程。|mn| |mf|解：如图2所

9、示，以点f为原点，过点f垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系。图2设 n(x, y)(x 0),则 kfn-x由于 |mn | |mf|nf|,根据公式，得ji -yr(x p) j 4p、:i x, x. xx化简，得 p/x2 y2 x p(x 0), 平方整理，得点n的轨迹方程为 (p2 i)x2 p2y2 2px p2 0(x 0).3 .范围问题 2 x y 例4.过椭圆 i i(2 m 5)的左焦点f且倾斜角为45。的直线l与椭圆及 m m i其准线的交点从左至右依次为a b、c、d,记f(m) 11abi |cd|,求f(m)的取值范围。图3解：由条件，知直线l： y x 1,椭圆准线：xa( m, m 1), d (m, m 1).设 b(xi, yj, c(x2,心其中 m x1x2m ,则|ab |、112 |xi ( m)|五(x1m),|cd | v1 1|m x2| j2(mx2 ),f (m) 11abi |cd |、2 |x1x2 |.y x 1由x2 y2 得 1.m m 1 22(2 m 1) x 2 mx m 2 m 0.因为2 m 51 2 m 2 j2m所以 f(m)22 2m 1 2m 12 1110、一 24 、. 22m 193练习：22p是双曲线上的一个动点(