大学物理第二版第五章

1、 振动分类振动分类 非线性振动非线性振动线性振动线性振动 受迫振动受迫振动自由振动自由振动 本章介绍人们易感知的本章介绍人们易感知的机械振动机械振动。 广义振动：广义振动：任一物理量任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一在某一 数值附近反复变化。数值附近反复变化。 机械振动：机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。物体在一定位置附近作来回往复的运动。 如：如：物体在摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。物体在摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。 5.1简谐振动的描述简谐振动的描述 5.2 简谐振动的合成简谐振动的合成 5.3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 5.4 非

2、线性振动简介非线性振动简介 本章内容：本章内容： 一、简谐振动一、简谐振动 弹簧振子：弹簧弹簧振子：弹簧 物体系统物体系统 平衡位置：平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置弹簧处于自然状态的稳定位置 轻弹簧轻弹簧质量忽略不计质量忽略不计 物体物体可看作质点可看作质点 k x O m kxF 5.1 简谐振动的描述简谐振动的描述 1. 受力特点受力特点 2. 动力学方程动力学方程 makxF 0 d d 2 2 2 x t x 动力学方程动力学方程 其中其中 为为 固有频率固有频率 m k 其通解为：其通解为： 3. .简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程 )cos(tAx 0 d d 2 2

3、 2 x t x 简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程 振动方程振动方程 )sin( d d tA t x v )cos( d d 2 tA t a v 速度方程速度方程 加速度方程加速度方程 2 2、平衡位置是指、平衡位置是指合外力为零的位置合外力为零的位置。 1 1、物体发生振动的条件：物体受到始终指向平衡位置、物体发生振动的条件：物体受到始终指向平衡位置 的的回复力回复力；物体具有；物体具有惯性惯性。 说明：说明： 3 3、判断物体是否作简谐振动的依据、判断物体是否作简谐振动的依据: : （1 1）物体所受的合外力与位移物体所受的合外力与位移正比但反向正比但反向； （2 2）满足位移与时

4、间有）满足位移与时间有余弦余弦（或正弦）关系。（或正弦）关系。 4 4、简谐振动位移、速度、加速度都随时间、简谐振动位移、速度、加速度都随时间t做周期性变化。做周期性变化。 5 5、任何振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。、任何振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成。 二、简谐振动的参量二、简谐振动的参量 振幅振幅 A: 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位 移）的绝对值。移）的绝对值。 频率频率 ： (Hz) 2 1 T 角频率角频率 : 2 2 T 周期周期T T ： )(cos)cos(TtAtA 2 T 物体完成一次全振动所需时间

5、。物体完成一次全振动所需时间。 单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。 弹簧振子：弹簧振子： k m T 2 m k 2 1 m k 单摆：单摆： g l T 2 l g 2 1 l g 固有固有周期周期、固有、固有频率频率、固有、固有角频率角频率 gm f C O T 附：单摆角频率及周期的推导：附：单摆角频率及周期的推导： 0 d d 2 2 2 t 结论：结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。单摆的小角度摆动振动是简谐振动。 g l T l g 2 2 sin sinmglM gm f C mgl t ml 2 2 2 d d 摆球摆球对对 C 点的力矩点的力矩 mglM l/g

6、2 O T 转动定律转动定律： 令令 则则 比较弹簧振子与单摆的共同特征：比较弹簧振子与单摆的共同特征： 力或力矩的大小与质点的位置坐标或角坐标成力或力矩的大小与质点的位置坐标或角坐标成正比并反向正比并反向。 月有阴晴圆缺，月有阴晴圆缺， 月相变化图月相变化图 人有悲欢离合，人有悲欢离合， 此事古难全。此事古难全。 相位：相位：(1) ( t + + ) 是是 t 时刻的时刻的相位相位 (2) 是是 t =0 时刻的相位时刻的相位 初相初相 但愿人长久，但愿人长久， 千里共婵娟。千里共婵娟。 相位的意义相位的意义:) cos()(tAtx )cos( 2 tAa )sin(tAv 相位确定了振

7、动的状态相位确定了振动的状态 相位每改变相位每改变 2 振动重复一次振动重复一次, ,相位在相位在 2 范围内范围内 变化变化, ,状态不重复状态不重复. . 相位差相位差 )cos( 1111 tAx )cos( 2222 tAx )()( 1122 tt 12 时）（当 12 同相和反相同相和反相( (同频率振动同频率振动) ) 当当 = 2k 两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相。 当当 = (2k+1) 两振动步调相反两振动步调相反 , , 称称反相反相。 x t o 同相同相 T x1 A1 x2 A2 x t o 反相反相 T x1 A1 x2 A2 超前和落后超前和落后

8、 若若 = 2- - 1 0 , 则则 称称 x2 比比 x1 超前超前 (或或 x1 比比 x2 落后落后 )。 由初始条件求振幅和初相位由初始条件求振幅和初相位 ) cos()(tAtxcos 0 Ax ) sin( tAvsin 0 Av 2 2 0 2 0 v xA )arctan( 0 0 x - v t x O A1 -A1 x1 - A2 A2 x2 相位差相位差 小结：小结： 12 1.1.当当=2 2k , ,k =0,=0,1,1,2 2, ,两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相 2.2.当当 = = (2(2k+1)+1) , , k = 0,= 0,1,1,2

9、.2. 两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相. . 2 超前于超前于1 或或 1滞后于滞后于 2 相位差反映了两个振动不同程度的参差错落。相位差反映了两个振动不同程度的参差错落。 03. 底面积为底面积为S的长方体木块的长方体木块m浮于水面，水面下浮于水面，水面下a，用手按下，用手按下x 后后释放，证明木块运动为谐振动，释放，证明木块运动为谐振动，并计算其振动并计算其振动周期周期。 浮 Fmg gaS 任意位置任意位置x处处，合力，合力 浮 FmgF 例例 a x x o S 证明：证明：木块平衡时木块平衡时 gSxagaS)( gxSkx 此合力为回复力：此合力为回复力：gSk a

10、 g m k 2 T g a 2 例例 )cos( )sin( 2 tAa tAv )cos(tAx 1 s 2 T 已知已知A=0.12m，T=2s， 一物体沿一物体沿x轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为，周期为2s。当。当t = 0 时，位移为时，位移为0.06m，且，且向向x轴正方向运动轴正方向运动。 求求 (1)初相；初相；(2) t = 0.5s时，物体的位置、速度和加速度；时，物体的位置、速度和加速度； (3)在在x = - 0.06m处，且向处，且向x轴负方向轴负方向运动。物体从这一状态运动。物体从这一状态 回到平衡位置的最短时间。回到平衡位置的最短时间。

11、 解解 （1）设其运动方程为设其运动方程为 则速度和加速度分别为则速度和加速度分别为 当当t=0时，时，cos12. 006. 0 0 x （2）当当t = 0.5s时时 ) 3 5 . 0cos(12. 0 x 2 1 cos 0sin0 0 即v 3 m104. 0 6 cos12. 0 ) 3 5 . 0sin(12. 0 v 1 sm19. 006. 0 ) 3 5 . 0cos(12. 0 2 a 22 sm03. 1306. 0 （3）由于三角函数具有周期性，取第一个周期即可。设当物体由于三角函数具有周期性，取第一个周期即可。设当物体 在在0.06m，且向，且向x轴负向方向运动对应

12、的时刻为轴负向方向运动对应的时刻为t1，平衡位置对平衡位置对 应的时刻为应的时刻为t2， ，则 则 ) 3 cos(12. 006. 0 1 t 3 2 3 1 t 0) 3 sin( 1 t 0) 3 cos( 2 t 0) 3 sin( 2 t 2 3 3 2 t ) 3 () 3 ( 12 tt)( 12 tt 3 2 2 3 s 6 5 t 如图如图 m = 210-2 kg ,弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l = 9.8cm；t = 0时，时，x0= 9.8cm， v0= 0 确定平衡位置：确定平衡位置： mg=k l 取为原点取为原点 令向下有位移令向下有位移 x, 则回复力则

13、回复力 )cos(tAx 1 srad10 098. 0 8 . 9 l g m k X O x m 例例 求求 （1）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；）取开始振动时为计时零点，写出振动方程； （2）若取）若取 x0=0，v0 0为计时零点为计时零点,写出振动方写出振动方 程，并计算振动频率。程，并计算振动频率。 解解 该振动为简谐振动，则该振动为简谐振动，则 lmgk )(xlkmgFkx 由初始条件得由初始条件得 或, 0)arctan( 0 0 x v m098. 0)( 20 2 0 v xA 由由x0=0.098m知知 srad/10 振动方程为：振动方程为： (2)按题意按题

14、意 t = 0 时 时 x0 = 0，v0 0 对同一谐振动计时起点不同对同一谐振动计时起点不同, 不同，但不同，但 、A不变不变 Hz6 . 1 2 1 2 l g 固有频率固有频率 0sin 0cos 1cos m)10cos(108 . 9 2 tx 2 m)210cos(108 . 9 2 tx X O x m (1)试证明物体试证明物体m的运动是谐振动；的运动是谐振动； (2)求此振动系统的振动周期；求此振动系统的振动周期； (3)写出振动方程。写出振动方程。 轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质量为轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质量为 m的物体。弹簧

15、的劲度系数为的物体。弹簧的劲度系数为k，滑轮的转动惯量为，滑轮的转动惯量为J，半径为，半径为 R。若物体。若物体m在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放。在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放。 (1)若物体若物体m离开初始位置的距离为离开初始位置的距离为b时受力平衡，则此时有时受力平衡，则此时有 以此平衡位置以此平衡位置O为坐标原点为坐标原点，竖直向下，竖直向下 为为x轴正向，当物体轴正向，当物体m在坐标在坐标x处时处时，由，由 牛顿运动定律牛顿运动定律和和定轴转动定律定轴转动定律有有 例例 求求 解解 kbmg k mg b maTmg 1 JRTRT 21 )( 2 bxkT Ra

16、2211 TTTT和 联立式联立式解得解得 所以，此振动系统的运动是谐振动所以，此振动系统的运动是谐振动. . 即即 (2)由上面的表达式知，此振动系统的角频率由上面的表达式知，此振动系统的角频率 故振动周期为故振动周期为 0 d d 2 2 2 kx t x R J m）（ 0 )(d d 22 2 x RJm kx t x )( 2 RJm k k RJm T )( 2 2 2 振动系统的振动方程为振动系统的振动方程为 ，bx 0 (3)依题意知依题意知t0时时， ，可求出0 0 v k mg b v xA 2 2 0 2 0 )arctan( 0 0 0 x v t RJm k k mg

17、 tAx )( cos)cos( 2 0 三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 t = 0 A x t+ t = t A )cos(tAx o x 在在y轴上的投影描述轴上的投影描述电振动电振动。 A 在 在x轴上投影描述轴上投影描述机械振动机械振动； A 习惯上习惯上 2 A 用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系 x 1 A x 1 A 2 A x 1 A 2 A 同相同相反相反相 )cos()cos( 2 tatAa m )cos(tAx ) 2 cos()sin( ttA m vv 谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关

18、系 a v T x t o . axv T/4T/4 )2cos(t mx vv )2cos(tA 由图可见：由图可见： x t+ o A m v m a 0 90 0 90 v 2 A 超前超前 a 2 v 超前超前 )cos(taa m )cos( 2 tA 例例 由图可知由图可知 3 求求 一物体沿一物体沿 X 轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为，周期为2s。当。当t = 0时，位移为时，位移为 0.06m，且向，且向 x 轴正方向运动。轴正方向运动。 （2）在）在x = - 0.06m处，且向处，且向 x 轴负向轴负向方向运动时，物体从方向运动时，物体从 这一位

19、置回到平衡位置所需的最短时间这一位置回到平衡位置所需的最短时间 （1）初相；）初相； 2A xo 2A o (1) 根据题义作图如下根据题义作图如下解解 (2)所转角度所转角度MON s 6 5 2 2 65 6 5 32 t M N 例例如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距 离为离为12cm的两点的两点E和和F，历时，历时2s，并且在，并且在E，F两点处具有两点处具有 相同的速率相同的速率；再经过；再经过2s后，质点又从另一方向通过后，质点又从另一方向通过F点。点。 解解 EFO x 质点运动的周期和振幅。质点运动的周期和振幅

20、。求求 由题意可知，由题意可知，EF的中点为平衡位置的中点为平衡位置，周期为，周期为 T = 4 2 = 8 (s) cm6 E xcm6 F x设平衡位置为坐标原点，则设平衡位置为坐标原点，则 设设 t = 0 时，质点位于平衡位置，且向时，质点位于平衡位置，且向 x 轴正方向运动，轴正方向运动， 则由旋转矢量可知：则由旋转矢量可知： t = 1 时时, 质点位于质点位于F点点, 所以所以 ) 28 2 cos(6 Acm 26A 2 已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示. . 431. 431. 715. 715. 1 0 )(st )(

21、 1 scmv 例例 求求 振动方程。振动方程。 解解 用旋转矢量法辅助求解用旋转矢量法辅助求解: )cos(tAx )sin(tAv 1 scm4 .31 m v ) 2 cos( t m v 0 t st1 2 v o v的旋转矢量与的旋转矢量与 v轴夹角表示轴夹角表示t 时刻相位时刻相位 2 t 由图知由图知 3 2 2 6 3 5 2 1 1 s cm10 14. 3 4 .31 m A v cm) 6 cos(10 tx 以弹簧振子为例以弹簧振子为例 某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x )sin(tAv )cos(tAx 2 2 1 vmEk )(sin

22、2 1 22 tkA 2 2 1 kxE p )(cos 2 1 22 tkA 四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量 机械能机械能 2 2 1 kAEEE pk （简谐振动系统机械能守恒）（简谐振动系统机械能守恒） 2 4 1 d 1 kAtE T E Tt t kk 一个与时间有关的物理量一个与时间有关的物理量F(t)在时间间隔在时间间隔T 内的平均值内的平均值F 定义为定义为： T ttF T F 0 d 1 则：则： 谐振动在一周期内的平均动能和平均势能相等。谐振动在一周期内的平均动能和平均势能相等。 2 Tt 4 1 d 1 kAtE T E t PP k E k E A 0 22 由

23、起始能量求振幅由起始能量求振幅 2 2 1 kAE Ep kp EE t o E T x o t Ek 2 2 1 kA 动动 能能 2 2 1 mvEk )(sin 2 1 0 22 tkA 势势 能能 )(cos 2 1 0 22 tkA 情况同动能情况同动能 0 min k E 2 max 2 1 kAEk 机机 械械 能能 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒 2 2 1 kxE p 2 4 1 d 1 kAtE T E Tt t kk ppp EEE， minmax 2 2 1 kAEEE pk （1 1）E1 1/4/4； （2 2）E1 1/2/2； （3 3）2 2E1

24、 1；（4 4）4 4E1 1。 一弹簧振子作简谐振动，总能量为一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1 1，如果谐振动的，如果谐振动的 振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，倍， 则其总能量将变为则其总能量将变为 课堂练习：课堂练习： 一、同频率同方向简谐振动的合成一、同频率同方向简谐振动的合成 分振动分振动 : 合振动合振动 : )cos()cos( 2211 tAtA )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA 2211 2211 coscos sinsin tan AA AA )cos( 111 tAx )cos( 222 tA

25、x 21 xxx 结论：结论：合振动合振动 x 仍是简谐振动仍是简谐振动 5.2 简谐振动的合成简谐振动的合成 tAAtAA sin)sinsin( cos)coscos( 22112211 cosA sinA ) cos( sinsincoscostAtAtAx 合振动是简谐振动合振动是简谐振动, ,其频率仍为其频率仍为 )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA 2211 2211 coscos sinsin tan AA AA )cos()( 111 tAtx )cos()( 222 tAtx 合振动合振动 ： 2 A 1 A A 2 1 x 1 x 1 M 2 x 2 M 旋转

26、矢量法处理谐振动的合成旋转矢量法处理谐振动的合成 M x 若若 A1=A2 , 则则 A=0 , 2 , 1 , 02 12 kk 21 AAA , 2 , 1 , 0) 12( 12 kk 21 AAA 讨论：讨论： 若两分振动同相：若两分振动同相： 若两分振动反相若两分振动反相: : )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA 合振动加强合振动加强 1 A 2 A 合振动减弱合振动减弱 1 A 2 A （1 1）0 0 ； （2 2）4cm4cm； （4 4）8 cm8 cm。 两个同方向同频率的谐振动，振动方程分别为两个同方向同频率的谐振动，振动方程分别为 则其合振动的振幅为谐振

27、动则其合振动的振幅为谐振动, ,振幅为：振幅为： 课堂练习：课堂练习： ，m) 2 5cos(106 2 1 tx m)5sin(102 2 2 tx （3 3） ；cm 2 5 4 二、同方向不同频率谐振动的合成二、同方向不同频率谐振动的合成 1. 分振动分振动 : tAx cos 111 tAx 222 cos t 1 1 A 2 A t2 A x 2 x 1 x 21 xxx O 2 1 2. 合振动合振动 : 21 xxx 当当 时时, , 当当 时，时， 合振动振幅的频率为合振动振幅的频率为: : 21 AAA 21 AAA 2 )( 12 kt ) 12( )( 12 kt A 有

28、最大值有最大值 A有最小值有最小值 t )( 12 2 )( 12 12 12 2 vvv 结论：结论： tAAAAA)cos(2 1221 2 2 2 1 ) 2 cos() 2 cos(2 1212 ttAx 合振动可看作合振动可看作振幅缓变的简谐振动振幅缓变的简谐振动 拍拍: : 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象 拍频拍频: : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 = =| | 2 2- - 1 1| | x t t x2 t t x1 t t 12 拍拍 12 2 T 3. 拍的现象：拍的现象： 2.当当 时：时： 消去参数消去参数 t 得轨迹方程得轨迹方程 )(

29、sin)cos( 2 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x 分振动分振动 )cos( 11 tAx )cos( 22 tAy 三、同频率互相垂直的简谐振动的合成三、同频率互相垂直的简谐振动的合成 0 12 x A A y 1 2 讨论：讨论： y x 2 A 1 A 1.当当 时：时： 12 x A A y 1 2 y x 2 A 1 A 2 12 1 2 2 1 2 A y A x )cos( 11 tAx 质点沿椭圆的运动方向是质点沿椭圆的运动方向是顺时针顺时针的。的。 ) 2 cos( 12 tAy y x 2 A 1 A 3.当当 时：时： 4.当当

30、 时：时： 2 , 2 3 12 质点沿椭圆的运动方向是质点沿椭圆的运动方向是逆时针逆时针的。的。 y x 2 A 1 A = 0 = /2 = 3 /4 = /4 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 0 时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。 0时，顺时针方向转动。时，顺时针方向转动。 = 相互垂直、相互垂直、频率相同频率相同的两列谐振的合振动轨迹有如下规律的两列谐振的合振动轨迹有如下规律: : (1) (1)一般情况下轨迹为一般情况下轨迹为椭圆椭圆; ; (2) (2) 时时, ,退化为退化为直线直线; ; (3) (3) 时时, ,为正椭圆为正椭圆, ,若若A A1 1= =A

31、A2 2, ,则退化则退化 为为圆圆. . ( (4) )椭圆轨迹椭圆轨迹内切于内切于边长为边长为2 2A A1 1和和2 2A A2 2的的矩形矩形; ; (5) (5) 时时, ,椭圆椭圆顺时针方向转顺时针方向转; ; 椭圆椭圆逆时针方向转逆时针方向转. . )(2 , 0或 ) 2 ( 2 3 , 2 或 0 )2(0或 当两列相互垂直、频率成整数比关系的简谐当两列相互垂直、频率成整数比关系的简谐 振动合成时，合振动的轨迹是闭合的，运动是周振动合成时，合振动的轨迹是闭合的，运动是周 期性的，这些图形称为期性的，这些图形称为李萨如（李萨如（J. A. Lissajous J. A. Lis

32、sajous 1822-1880 1822-1880 法国）图形法国）图形。 x y y x N N 相互垂直但频率不同的简谐振动的合成相互垂直但频率不同的简谐振动的合成 x y 2 1 3 1 3 2 x = 0： y = 0 8 y 4 y 8 3 y 2 y y x0 振幅随时间减小的振动叫振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。阻尼振动。 5.3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 一、一、 阻尼振动阻尼振动 形成阻尼振动的原因：形成阻尼振动的原因： 振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗； 振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。振动能量转变为

33、波的能量向周围传播或辐射。 1. 阻尼振动的微分方程阻尼振动的微分方程 粘滞阻力粘滞阻力弹性力弹性力 x v ( (以液体中的水平弹簧振子为例以液体中的水平弹簧振子为例) ) vCFr maCkxFf r v ）（令2/,/ 2 0 mCmk 弹性力弹性力: :kxf 粘滞阻力粘滞阻力: : 牛顿第二定律：牛顿第二定律： 0 d d d d 2 2 kx t x C t x m 0 d d 2 d d 2 0 2 2 x t x t x m k 0 （固有频率）（固有频率） m C 2 （阻尼系数）（阻尼系数） （阻尼振动的微分方程）（阻尼振动的微分方程） （方程的解及其物理意义）（方程的解及

34、其物理意义） 2. 几种阻尼振动模式几种阻尼振动模式 （1）小阻尼）小阻尼 （3）大阻尼）大阻尼 （2）临界阻尼）临界阻尼 )( 2 0 2 )cos( 2 2 0 tAex t X t O t Ae )( 2 0 2 )( 2 0 2 X t O 大阻尼大阻尼 临界阻尼临界阻尼 t eccx )( 21 常用于灵敏仪器的回零装置。常用于灵敏仪器的回零装置。 t t ec ecx )( 2 )( 1 2 0 2 2 0 2 与大阻尼相比，临界阻尼一般将更快回到平衡位置与大阻尼相比，临界阻尼一般将更快回到平衡位置 。 幅幅 值值 0 F 二、受迫振动二、受迫振动 系统在周期性外力的持续作用下所作

35、的系统在周期性外力的持续作用下所作的 等幅振动称为等幅振动称为受迫振动受迫振动。 示意示意 周期性外力周期性外力 （强迫力强迫力） tFF p cos 0 角频率角频率 p vCFr 弹性力弹性力 kxf 牛顿第二定律：牛顿第二定律： matFCkx p cos 0 v tfx t x t x p cos d d 2 d d 2 0 2 2 fmFmCmk/,2/,/ 0 2 0 令令 则则 )cos()cos( 00 tAteAx p t 此方程的解为：此方程的解为： 1、受迫振动的微分方程、受迫振动的微分方程（以弹簧振子为例）（以弹簧振子为例） )cos()cos( 00 tAteAx p

36、 t 等幅振动等幅振动阻尼振动阻尼振动 2、方程解的物理意义、方程解的物理意义 开始振动开始振动 比较复杂比较复杂 经过一段时间后，受迫经过一段时间后，受迫 振动进入稳定振动状态。振动进入稳定振动状态。 + + 自由振动的能量是外界一次性输入自由振动的能量是外界一次性输入 受迫振动过程中，外界在不断地向振动系统补充能量受迫振动过程中，外界在不断地向振动系统补充能量 无阻尼：能量守恒，等幅振动无阻尼：能量守恒，等幅振动 有阻尼：有能量损耗，减幅振动有阻尼：有能量损耗，减幅振动 )cos(tA p 由谐和策动力所维持的稳定受迫振动。由谐和策动力所维持的稳定受迫振动。 由初始能量所维持的固有项，由初

37、始能量所维持的固有项， 当其衰减完毕时，与初始条件相关的当其衰减完毕时，与初始条件相关的 也就不存在了。也就不存在了。 )cos( 00 teA t 00 ，A 3 3、稳定的受迫振动、稳定的受迫振动 )cos(tAx p a.说明此时振动方程的位相说明此时振动方程的位相 与初始条件无关，其表示与初始条件无关，其表示 振动位移的位相与策动力位相的位相差；振动位移的位相与策动力位相的位相差； b.说明振幅是策动力的函数，因此存在极值的问题说明振幅是策动力的函数，因此存在极值的问题, ,与与 此对应的极值现象，称为位移共振。此对应的极值现象，称为位移共振。 稳定受迫振动的频率等于策动力的频率稳定受

38、迫振动的频率等于策动力的频率 稳定受迫振动的振幅稳定受迫振动的振幅A和位相和位相 （用待定系数法可得）（用待定系数法可得） 22222 0 4)( pp f A 22 0 2 arctan p p 三、共振三、共振 （受迫振动的振幅出现极大值的现象称为共振。）（受迫振动的振幅出现极大值的现象称为共振。） 1 1、位移共振、位移共振( (振幅取极值振幅取极值) ) 共振频率共振频率 : : 22 0 2 r 共振振幅共振振幅 : : 22 0 2 f Ar 2 2、速度共振、速度共振( (速度振幅取极值速度振幅取极值) ) 共振频率共振频率 : : 0 共振速度振幅共振速度振幅 : : 2 f

39、vm 2222 0 2 4 )( f vm A 阻尼阻尼0 0 阻尼较小阻尼较小 阻尼较大阻尼较大 O 0 p 位移共振曲线位移共振曲线 3 3、 共振的利用与防止共振的利用与防止 (1)(1)位移共振位移共振 (2) 速度共振速度共振调谐（能量输入处于最佳状态）调谐（能量输入处于最佳状态） 防止防止过桥、机床、海堤过桥、机床、海堤 利用利用振动筛、打夯、核磁共振振动筛、打夯、核磁共振 5.4 非线性振动简论非线性振动简论 一、非线性振动的原因一、非线性振动的原因 由非线性微分方程所描述的振动由非线性微分方程所描述的振动，称其为，称其为非线性振动非线性振动。 从动力学角度来看，发生非线性振动的

40、原因有两个方面：从动力学角度来看，发生非线性振动的原因有两个方面： 2、系统外部的非线性影响：、系统外部的非线性影响：如受迫振动中，驱动力如受迫振动中，驱动力F为为 位移或速度的非线性函数时，引起非线性振动位移或速度的非线性函数时，引起非线性振动 。 1、系统内在的非线性因素：、系统内在的非线性因素：如不限制摆角的单摆或复摆如不限制摆角的单摆或复摆 二、自激振动二、自激振动 以单方向的力激励的振动称为以单方向的力激励的振动称为自激振动自激振动或或自振。自振。 例如：例如：树梢在狂风中呼啸，提琴奏出悠扬的乐声，树梢在狂风中呼啸，提琴奏出悠扬的乐声， 自来水管突如其来的喘振。自来水管突如其来的喘振

41、。 1 1、广义坐标、广义坐标 广义速度广义速度 在经典力学中，一个自由质点的运动状态可以用在经典力学中，一个自由质点的运动状态可以用6 6个变量个变量 （x，y，z，vx ，vy ，vz）描述描述， 一般来讲，一个力学系统的运动状态，可以用一般来讲，一个力学系统的运动状态，可以用n个个广义坐标广义坐标 qi 和和n个相应的个相应的广义速度广义速度pi 共共2n 个变量描述。个变量描述。 2 2、相平面、相平面 相空间相空间 以以(qi，pi)为坐标，可以构建一个为坐标，可以构建一个2n（n 为力学系统为力学系统 的独立变量的数目）维的状态空间。的独立变量的数目）维的状态空间。这个状态空间这个

42、状态空间 称为称为相空间相空间. 相空间相空间: 三、相图三、相图 相平面相平面 当然如果力学系统只有两个变量，相空间就简化为当然如果力学系统只有两个变量，相空间就简化为 相平面相平面。 相平面相平面: 相平面、相空间中的相平面、相空间中的“相相”是指是指物体的运动状态物体的运动状态。相空间的每相空间的每 一点称为相点，对应力学系统的一个状态；状态空间的每一曲一点称为相点，对应力学系统的一个状态；状态空间的每一曲 线称为线称为相轨迹相轨迹或或相图相图，对应，对应力学系统一种可能的状态变化过程。力学系统一种可能的状态变化过程。 以以位置位置和和速度速度作为坐标参量构建的平面或新的空间，是最简作为

43、坐标参量构建的平面或新的空间，是最简 单的相平面或相空间。单的相平面或相空间。 如某质点作直线运动，其坐标为如某质点作直线运动，其坐标为x、速度、速度vy 为坐标为坐标,建立一个平面坐标系建立一个平面坐标系Oxy,就是最简单的相平面就是最简单的相平面 以以（x，y ） 相平面中的一个点相平面中的一个点M（x,y ），对应），对应 一个运动状态，一个运动状态，M 称为称为相点相点。 在相平面中相点的运动轨迹就是在相平面中相点的运动轨迹就是相相 图图，一般是一条光滑的曲线。，一般是一条光滑的曲线。 M相点 相点 相轨迹相轨迹 例：例：以以简谐振子简谐振子为例，来分析讨论相图的实际应用。为例，来分析

44、讨论相图的实际应用。 简谐振子的位移、速度和加速度分别为简谐振子的位移、速度和加速度分别为 )cos(tAx)sin( d d tA t x yv )cos( 2 2 2 t t x aA d d x y o 2 2 2 2 C y x 常数常数C由初始条件决定。由初始条件决定。 以以x和和y为轴，可建立相平面为轴，可建立相平面Oxy。 简谐振子的相图简谐振子的相图 研究谐振子的位移、速度随时间的变化，就可以得到一系列研究谐振子的位移、速度随时间的变化，就可以得到一系列 点，继而可描绘出一条曲线点，继而可描绘出一条曲线相轨迹相轨迹。 对于一定的对于一定的C值，值，相轨迹是一个椭圆相轨迹是一个椭

45、圆，如图所示。，如图所示。 从位移、速度公式中消去时间从位移、速度公式中消去时间t ，得，得 y x o 按按C值的不同，可得到一族大小不值的不同，可得到一族大小不 同的椭圆。同的椭圆。 从相轨迹中，可以看出：从相轨迹中，可以看出： 简谐振子的所有相轨迹都是闭合曲线。相点沿闭合曲线运行简谐振子的所有相轨迹都是闭合曲线。相点沿闭合曲线运行 了一周，又回到原先的运动状态了一周，又回到原先的运动状态 因此可以断定，因此可以断定，所有的椭圆相轨迹都对应着一个所有的椭圆相轨迹都对应着一个周期运动周期运动， 其周期是一个有限值。其周期是一个有限值。 在在相平面上的相平面上的O点点处，物体运动的速度和加速度

46、均为零，处，物体运动的速度和加速度均为零， 相平面上这样的点对应着一个平衡状态。若没有任何扰动相平面上这样的点对应着一个平衡状态。若没有任何扰动 使系统偏离使系统偏离O点，它将一直停留在该点。点，它将一直停留在该点。 y x o 3 3、奇点、奇点 相图上速度和加速度同时为零的那些点称为相图上速度和加速度同时为零的那些点称为奇点奇点，奇点对奇点对 应着动力学系统的平衡状态，因此应着动力学系统的平衡状态，因此奇点也称为平衡点奇点也称为平衡点。 奇点的分类奇点的分类 y x o y x o y x o y x o 中心中心 焦点焦点 结点结点 鞍点鞍点 单摆的线性振动：单摆的线性振动： m mg

47、单摆单摆 例：例：以以单摆的振动单摆的振动为例，来分析讨论相图。为例，来分析讨论相图。 小角度小角度下单摆的运动是下单摆的运动是 g L T2 单摆的非线性振动单摆的非线性振动: : 简谐振动简谐振动，其，其周期周期为为 随着随着的增大，单摆的周期变的增大，单摆的周期变为为 ) 2 sin 64 9 2 sin 4 1 1 (2 42 mm g L T 两边积分得两边积分得 1 222 ) d d (C t 单摆线性振动的相图单摆线性振动的相图 sin d d 2 2 L g t 6 3 2 3 2 6 5 0 1 2 m T T 1 / ) d d ( 2 1 2 1 2 CC t 即即 T

48、/T随摆幅随摆幅m变化关系变化关系 td d o 单摆无阻尼线性振动的相图单摆无阻尼线性振动的相图 可见，线性振动的相轨迹为可见，线性振动的相轨迹为椭圆椭圆, , 中心点是稳定的中心点是稳定的奇点。奇点。初始条件确初始条件确 定后，单摆运动过程就对应于其中定后，单摆运动过程就对应于其中 一个椭圆，一个椭圆，单摆的运动是一系列的单摆的运动是一系列的 同周期运动，且运动状态完全确定。同周期运动，且运动状态完全确定。 当摆幅增大当摆幅增大到时，相迹线上出现了两个分支点，我们称到时，相迹线上出现了两个分支点，我们称 之为之为鞍点鞍点, ,如上图。如上图。 td d o 单摆无阻尼非线性振动的相图单摆无

49、阻尼非线性振动的相图 单摆非线性振动的相图单摆非线性振动的相图 如果对摆角不加限制，如果对摆角不加限制， 微分方程变成非线性微分微分方程变成非线性微分 方程，可以证明方程，可以证明其相图不其相图不 再是一椭圆，再是一椭圆，相轨迹两端相轨迹两端 凸出略呈尖角状，但仍是凸出略呈尖角状，但仍是 封闭曲线，封闭曲线，表示运动表示运动仍是仍是 周期性往复摆动周期性往复摆动。 鞍点鞍点和中心点一样也是一个和中心点一样也是一个奇点奇点， 但是在鞍点上但是在鞍点上 m 0 d d t 0 d d 2 2 t 说明说明鞍点鞍点是不稳定的平衡点，是不稳定的平衡点， 因为与之相连的四条相轨迹中因为与之相连的四条相轨

50、迹中 两条指向它，两条背离它，而两条指向它，两条背离它，而 附近相轨迹呈双曲线状。附近相轨迹呈双曲线状。 td d o p E o 从势能曲线和相图上可知从势能曲线和相图上可知 处势能最大，处势能最大， 势能曲线、相图、鞍点势能曲线、相图、鞍点 双曲点的存在，预示着混沌运动的可能双曲点的存在，预示着混沌运动的可能 假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动这样一来，假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动这样一来， 双曲点就成了双曲点就成了敏感区敏感区能量稍大，单摆就会越过势垒的能量稍大，单摆就会越过势垒的 顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑

51、 回原来的一侧单摆向回摆动。回原来的一侧单摆向回摆动。 四、四、非线性振动系统的混沌行为非线性振动系统的混沌行为 仍以单摆为例仍以单摆为例, 前面已经讨论过它的自由振动前面已经讨论过它的自由振动,下面分析下面分析 其阻尼振动和受迫振动其阻尼振动和受迫振动 有阻尼、无策动力的振动有阻尼、无策动力的振动 小摆幅时运动方程为小摆幅时运动方程为 0sin d d 2 d d 2 0 2 2 tt y x o 单摆阻尼振动的相图单摆阻尼振动的相图(小摆幅小摆幅) 取取0.25，01，用软，用软 件件MathLab给出数值解。给出数值解。 有阻尼、并有策动力的振动有阻尼、并有策动力的振动 大摆幅时运动方程是非线性的大摆幅时运动方程是非线性的 y x o 单摆阻尼振动的相图单摆阻尼振动的相图(大摆幅大摆幅) 此时此时,从其相图上可以看出从其相图上可以看出, 相平面被分成不同的区域相平面被分成不同的区域, 相轨迹都收敛与该区域中心相轨迹都收敛与该区域中心 的的吸引子吸引子. 振动方程为振动方程为 tf tt D cossin d d 2 d d 2 0 2 2 这是非线性微分方程这是非线性微分方程,此时单摆的运动情况变得非常此时单摆的运动情况变得非常 复杂复杂,可以对三个参量在不同组合情况下进行数值计算可以对三个参量在不同组合情况下进行数