第八章 数学单元测试

1、第八章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分每小题中只有一项符合题目要求)1设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题：若，m，则m；若m，n，则mn；若，m，则m；若m，m，则.其中为真命题的是( )A BC D答案 C解析 为空间面面平行的性质，是真命题；m，n可能异面，故该命题为假命题；直线m与平面也能够平行也能够相交不垂直故该命题是一个假命题；为真命题故选C.2用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为( )A. B.C8 D.答案 B解析 S圆r21r1，而截面圆圆心与球心的距离d1，球的半径为R，VR3，故选B.3若一个底面是

2、正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A. B.C. D.答案 B解析 设球半径是R，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为2、侧棱长为1的正三棱柱，记上、下底面的中心分别是O1、O，易知球心是线段O1O的中点，于是R2()2(2)2，所以所求球的表面积是4R24，选B.4如右图所示，是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为( )A. B.C. D.答案 C解析把展开图复原为正方体后示意图如右图所示，EGF为AB和CD所成的角，F为正方体一棱的中点EFGF，EG.cosEGF.5图中的三个直

3、角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为( )A25 cm2 B. cm2C77 cm2 D144 cm2答案 C解析 由三视图画出此空间几何体的直观图如图所示由题意得Vh5620h4.从而易知，其外接球的半径为r.从而外接球的表面积为S4r24()277.选C.6.如右图所示，正四棱锥PABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为( )A. B.C. D.答案 C解析 连接AC、BD交于点O，连接OE，易得OEPA.所求角为BEO.由所给条件易得OB，OEPA，BE，cosOEB，OEB60，选C.7直三棱柱ABCA1B1C1

4、的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是( )AAB1平面BDC1BA1C平面BDC1C直三棱柱的体积V4D直三棱柱的外接球的表面积为4答案 D解析由三视图可知，直三棱柱ABCA1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，ABBC，ABBC2.连接B1C交BC1于点O，连接AB1，OD.在CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，ODAB1，AB1平面BDC1.故A准确直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AA1BD.又ABBC2，D为AC的中点，BDAC，BD平面AA1C1C，BDA1C.又A1B1B1C1，A1B1B1B

5、，A1B1平面B1C1CB，A1B1B1C.BC1B1C，且BC1B1C0，BC1平面A1B1C.BC1A1C，A1C平面BDC1.故B准确VSABCC1C2224，C准确此直三棱柱的外接球的半径为，其表面积为12，D错误，故选D.8已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )A22R2 B.R2C.R2 D.R2答案 B解析如图所示，为组合体的轴截面，由相似三角形的比例关系，得，PO13x，圆柱的高为3R3x，所以圆柱的全面积为S2x22x(3R3x)4x26Rx，则当xR时，S取最大值，SmaxR2.9.(2011广东文)如图，某几何体的正视图(主视图)，

6、侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A4 B4C2 D2答案 C解析由题意知该几何体为如图所示的四棱锥，底面为菱形，且AC2，BD2，高OP3，其体积V(22)32.10半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )A.6 B.2C2 D512答案 B解析方法一 作过正方体对角面的截面，如图，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CCa，OCa.在RtCCO中，由勾股定理得CC2OC2OC2，即a2(a)2R2，Ra，V半球R3(a)3a3，V正方体a3.所以V半球V正方体a3a32.方法二 将半球补成整个球，同时把原半球的内

7、接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径，设原正方体棱长为a，球的半径是R，则根据长方体的对角线性质，得(2R)2a2a2(2a)2，即4R26a2，Ra.从而V半球R3(a)3a3，V正方体a3.所以V半球V正方体a3a32.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：若，m，则m；若m，n，且mn，则；若m，m，则；若m，n，且mn，则.其中真命题的序号是_答案 解析 若，m，则m与可能相交、平行或m在平面内，故错；m，n，mn，

8、则与可能平行，可能相交，故错12圆台上、下底面面积分别是、4，侧面积是6，这个圆台的体积是_答案 解析 上底半径r1，下底半径R2.S侧6，设母线长为l，则(12)l6，l2，高h，V(11222).13(2011天津文)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案 4解析 由三视图可知，此几何体的上面是正四棱柱，其长，宽，高分别是2,1,1，此几何体的下面是长方体，其长，宽，高分别是2,1,1，所以该几何体的体积V2112114(m3)14如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的主视图与左视图的面积的比值为_

9、答案 1解析 依题意得三棱锥PABC的主视图与左视图分别是一个三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都相等，所以三棱锥PABC的主视图与左视图的面积之比等于1.15直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上若ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_答案 20解析 设球心为O，球半径为R，ABC的外心是M，则O在底面ABC上的射影是点M，在ABC中，ABAC2，BAC120，ABC(180120)30，AM2.所以，R222()25，此球的表面积等于4R220.16.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F、分别为PA、PD的中点，在此几

10、何体中，给出下面四个结论：直线BE与直线CF异面；直线BE与直线AF异面；直线EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中准确的有_个答案 2解析 将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为E、F分别为PA、PD的中点，所以EFADBC，即直线BE与CF共面，错；因为B平面PAD ，E平面PAD，EAF，所以BE与AF是异面直线，准确；因为EFADBC，EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，准确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，错三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)下图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD平面A

11、BCD，ECPD，且PDAD2EC2.(1)请画出该几何体的三视图；(2)求四棱锥BCEPD的体积解析 (1)该组合体的三视图如下图所示(2)因为PD平面ABCD，PD平面PDCE，所以平面PDCE平面ABCD.因为四边形ABCD为正方形，所以BCCD，且BCDCAD2.又因为平面PDCE平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面PDCE.因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC.又因为ECPD，PD2，EC1，所以四边形PDCE为一个直角梯形，其面积S梯形PDCE(PDEC)DC323.所以四棱锥BCEPD的体积VBCEPDS梯形PDCEBC322.18(本小题满分12分)

12、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点(1)证明PB平面ACM；(2)证明AD平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值解析 (1)连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点又M为PD的中点，所以PBMO.因为PB平面ACM，MO平面ACM，所以PB平面ACM.(2)因为ADC45，且ADAC1，所以DAC90，即ADAC.又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以POAD.而ACPOO，所以AD平面PAC.(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M

13、为PD的中点，所以MNPO，且MNPO1.由PO平面ABCD，得MN平面ABCD，所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角在RtDAO中，AD1，AO，所以DO.从而ANDO.在RtANM中，tanMAN，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.19(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB4，PA3，A点在PD上的射影为G点，E点在AB上，平面PEC平面PCD.(1)求证：AG平面PEC；(2)求AE的长解析 (1)证明：PA平面ABCD，PACD.又CDAD，PAADA，CD平面PAD.CDAG.又PDAG，AG平面PCD.作EFPC

14、于点F，连接GF，平面PEC平面PCD，EF平面PCD.EFAG.又AG平面PEC，EF平面PEC，AG平面PEC.(2)解：由(1)知A、E、F、G四点共面，又AECD，AE平面PCD，CD平面PCD，AE平面PCD.又平面AEFG平面PCDGF，AEGF.又由(1)知EFAG，四边形AEFG为平行四边形，AEGF.PA3，AD4，PD5，AG.又PA2PGPD，PG.又，GF，AE.20(本小题满分12分)如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，AD平面DEFG，EDDG，EFDG.且ABADDEDG2，ACEF1.求证：BF平面ACGD.解析 设DG的中点为M，连接AM，

15、FM.则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形MFDE，且MFDE.平面ABC平面DEFG，ABDE.ABDE.MFAB，且MFAB，四边形ABFM是平行四边形，BFAM.又BF平面ACGD，AM平面ACGD，故BF平面ACGD.21(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ABBB1，ACBCBB12，D为AB的中点，且CDDA1.(1)求证：BB1面ABC；(2)求多面体DBCA1B1C1的体积解析 (1)证明：ACBC，D为AB的中点，CDAB.又CDDA1，ABA1DD，CD面AA1B1B.CDBB1.又BB1AB，ABCDD，BB1面ABC.(2)解：V多面

16、体DBCA1B1C1V棱柱ABCA1B1C1V棱锥A1ADCSABC|AA1|SADC|AA1|SABC|AA1|SABC|AA1|SABC|AA1|.22(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAABC2.若D为AA1的中点，求证：平面B1CD平面B1C1D.解析 证明：A1C1B1ACB90，B1C1A1C1.又由直三棱柱的性质知B1C1CC1，B1C1平面ACC1A1.B1C1CD，由D为AA1的中点，可知DCDC1，DC2DCCC，即CDDC1，由可知CD平面B1C1D，又CD平面B1CD，故平面B1CD平面B1C1D.1已知某个几何体的三视图如图(

17、主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是( )A28836 B60C28872 D28818答案A解析 将几何体的三视图转化为直观图此几何体下面为长方体上面为半圆柱，根据三视图所标数据V长方体686288，V半圆柱32836，此几何体的体积为V28836.2设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题错误的是( )A若a，b，则abB若a，ba，b，则C若a，b，则abD若a，a，则答案 D解析 由题意可得A、B、C选项显然准确，对于选项D：当，相交，且a与，的交线平行时，有a，但此时与不平行故选D.3半径为4的球面上有A，B，C，D四点，且满足0，0，0，则A

18、BC，ACD，ADB面积之和SABCSACDSADB的最大值为( )A8 B16C32 D64答案 C解析 设ABa，ACb，ADc，则SABCSACDSADB(abacbc)()(a2b2c2)4R244232，当且仅当abc时取“”4设a、b、c表示三条不同的直线，、表示两个不同的平面，则下列命题中逆命题不成立的是( )A当c时，若时，则cB当b，c是a在内的射影时，若bc，则abC当b时，若b，则D当b，c时，若c，则bc答案 C解析 A其逆命题为当c时，若c，则，显然垂直于同一直线的两平面平行，逆命题准确；B其逆命题为当b时，c是a在内的射影，若ab，则bc，此为三垂线定理内容，逆命题

19、准确；C其逆命题为当b时，若，则ba，显然两平面垂直，其中一平面内任一直线不一定垂直另一平面，逆命题错误；D其逆命题为当b，c时，若bc，则c，此为线面平行的判断定理，逆命题准确5图2中的实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展形图内的概率是，则此长方体的体积是_答案 3解析 设长方体的高为h，则图2中虚线围成的矩形长为22h，宽为12h，面积为(22h)(12h)，展开图的面积为24h；由几何概型的概率公式知，得h3，所以长方体的体积是V133.6(2010江苏)如图，在四棱锥PABCD中，PD平

20、面ABCD，PDDCBC1，AB2，ABDC，BCD90.(1)求证：PCBC；(2)求点A到平面PBC的距离解析 (1)证明 因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.由BCD90，得BCDC.又PDDCD，所以BC平面PCD.因为PC平面PCD，故PCBC.(2)方法一 分别取AB，PC的中点E，F，连接DE，DF.易证DEBC，DFPC，则DE面PBC.点D，E到面PBC的距离相等点A到面PBC的距离为点D到面PBC的距离的2倍由(1)知BC面PCD，面PBC面PCD.又DFPC，DF面PBC.PDDC1，DF.点A到面PBC的距离为.方法二连接AC，设点A到面PBC的距离为

21、h.ABDC，BCD90，ABC90.由AB2，BC1，得SABCABBC211.VPABCSABCPD11.又VPABCVPABC，SPBCh，即1h，解得h.点A到面PBC的距离为.7(2011北京理)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长解析 (1)因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.又因为PA平面ABCD，所以PABD，又ACPAA，所以BD平面PAC.(2)设ACBDO.因为BAD60，PAAB2，所以BO1，A

22、OCO.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0，)C(0，0)，所以(1，2)，(0,2，0)设PB与AC所成角为，则cos.(3)由(2)知(1，0)设P(0，t)(t0)，则(1，t)，设平面PBC的一个法向量m(x，y，z)，则m0，m0，所以令y，则x3，z.所以m(3，)同理，平面PDC的一个法向量n(3，)因为平面PBC平面PDC，所以mn0，即60.解得t，所以PA.8如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，BAC30，BMAC交AC于点M，EA平面ABC，FCEA，AC4，EA3，FC1.(1)证明：EMBF；(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值解析 方法一 (1)证明