矩阵论线线性映射与性变换

1、教学目的教学目的 u掌握线性映射的定义掌握线性映射的定义 u熟练掌握特征值、特征向量的定义和性质，熟练掌握特征值、特征向量的定义和性质， u掌握矩阵可对角化的条件掌握矩阵可对角化的条件 u理解酉空间的概念理解酉空间的概念 u掌握酉空间与实内积空间的异同。掌握酉空间与实内积空间的异同。 在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种 保持向量的加法和数量乘法的一一对应保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称我们常称 映射映射(比同构映射少了一一对应的条件比同构映射少了一一对应的条件) 两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为两线性空间之间保持加法和数量乘法

2、的映射为线性线性 线性变换线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间是线性空间的核心内容，反映的是线性空间 中元素间的一种中元素间的一种基本联系基本联系，体现出一种，体现出一种“动态的动态的”或或 者者“直观的直观的”视角。视角。 借助借助基基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对 应关系，因此通俗地讲应关系，因此通俗地讲“变换即矩阵变换即矩阵”。这同时也意。这同时也意 味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。 (4)如果如果 1, 2, m 是是V1的线性相关组，则的线性相关组，则 D D ( 1),D D

3、 ( 2),D D ( n)是是V2的一组线性相关向量；的一组线性相关向量； 并且当且仅当并且当且仅当D D 是一一映射时，是一一映射时，V1中的线性无关组的像中的线性无关组的像 是是V2中的线性无关组中的线性无关组. 注注3 3 矩阵和线性映射互相唯一确定矩阵和线性映射互相唯一确定；在给定基在给定基 的情况下，线性空间的情况下，线性空间V1到到V2的线性映射的线性映射L与与m n 矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两 种运算。种运算。 解 在Rxn中取基1=1， 2=x, n=xn-1 ,在Rxn-1中 取基1=1， 2=x, n-1=xn-2，则

4、 D D ( 1)=0= 01+0 2+ +0 n-1 DD( 2)=1= 1+0 2+ +0 n-1 DD( 3)=2x= 01+2 2+ +0 n-1 DD( n)=(n-1)xn-2= 01+2 2+ +(n-1) n-1 D D ( 1, 2 , n)=(1, 2 n-1) nn n n )1( 10000 02000 00200 00010 即 于是DD 在基1， ，x, xn-1与 与1， ，x, xn-2下的矩阵为 D= nn n n )1( 10000 02000 00200 00010 nn )1( 01000 00100 00010 另：若在Rxn-1中取基1=1， 2=2

5、x, n-1=(n-1)xn-2 则DD 在基1，x, xn-1与1，2x, (n-1)xn-2下的矩阵为 D= 说明同一个线性映射在不同基下的矩阵不同 即对即对V 中的任意两个向量中的任意两个向量 ， 和任意和任意k P，映射，映射 （未必是双射）（未必是双射）A A ：VV 满足满足 (i) (A A (+) A A ()+A A () (ii) ():kA A ()=A A (k) 称称A A ( )为为 在变换在变换A A 下的像，下的像， 称为原像。称为原像。 V上的全体线性变换记为：上的全体线性变换记为：L L (V, V) 线性变换的基本性质线性变换的基本性质 11 (3)().

6、 mm iiii ii TT 如果如果 T ：VV 是线性变换，是线性变换，则则 (1)( );T ()( );TT (2) 零向量对应零向量零向量对应零向量 叠加原理叠加原理 (4).线线性性相相关关像像像像线线性性相相关关原原 (5).像像原原像像线线性性无无关关线线性性无无关关 1221 (3)()( )( );T TTT L L (V,V )表示表示线性空间线性空间V 上的所有线性变换的集合，上的所有线性变换的集合， 对任意的对任意的T,T1,T2L L (V,V ), , V, ,定义定义 (1) 2112 ()( )( )( );TTTT ()( )( );kTTk (2) 则可以

7、验证，则可以验证， 都是线性变换，因此都是线性变换，因此 L L (V,V )也是数域也是数域P上的线性空间。上的线性空间。 注：数乘变换和线性变换的数乘运算是两个不同的概念注：数乘变换和线性变换的数乘运算是两个不同的概念 1212 ,TT kT TT 特殊的变换：特殊的变换： 对任意的对任意的kP定义数乘变换定义数乘变换K K（x）=kx， 恒等变换：恒等变换：I I（x）=x，零变换：，零变换：O O (x)=0 例例2.3.1 设线性空间设线性空间 的线性变换为的线性变换为 求在自然基底下的矩阵求在自然基底下的矩阵. 123 , 解：解： 3 ()(0,0,1)(0,0,0) 1 ()(

8、1,0,0)(1,0,1) 2 ()(0,1,0)(0,1,1) 123123 1 0 0 (,)(,) 0 1 0 1 1 0 1231212 (,)(,)x xxx xxx 3 R ( )= 1 2 3 ()( 5,0,3) ()(0, 1,6), ()( 5, 1,9) 例例2.3.2 在线性空间在线性空间 中，线性变换定义如下中，线性变换定义如下： 3 R 1 2 3 ( 1,0,2) ,(0,1,1) (3, 1,0) 其其中中 （1）求）求 在标准基在标准基 下的矩阵下的矩阵.123 , （2）求在下的矩阵）求在下的矩阵.123 , 解解：（：（1）由已知，有）由已知，有 1231

9、23123 1 03 (,)(,)0 11(,), 2 10 X 自然基底自然基底 123123 (,)(,)A 123123123 (,)(,)(,)XX 设设 在标准基在标准基 下的矩阵为下的矩阵为A，即，即123 , 123 (,)AX 012 110 301 X即：即： 为过渡矩阵为过渡矩阵 123123123 1 03 (,)(,)0 11(,), 2 10 X 123123 5 05 (,)(,)011 , 369 5 2020 1 452 7 27 1824 因而，因而， 5 05 011 , 369 AX 1 1 5 055 051 03 0110110 11 3693692

10、10 AX 1 1 035 05 0 11011 2 10369 B 23 5 1 01 1 10 设在设在 下的矩阵为下的矩阵为B，则，则123 , 1 BXAX （2 2）求在下的矩阵）求在下的矩阵. .123 , 定义定义2.3.3 设DD 是数域 P上的线性空间 上的线性 变换 。令 V R( (D D )=)=Im( (DD)=)=DD( a)|a V Ker( (D D )=)=N( (DD)=)=a V| |D D ( a)=0 称称R( (D D ) )是线性变换是线性变换D D 的值域，而的值域，而Ker( (D D ) )是线性是线性 变换的核。变换的核。R( (D D )

11、 )的维数称为的维数称为D D 的秩，的秩，Ker( (D D ) )的维的维 数称为数称为D D 的零度。的零度。 设DD 是数域 P上的线性空间V上的线性变 换 。令令DD 在在V的一组基的一组基 1 1, , 2 2, n n下的矩阵表示为下的矩阵表示为A， 则则 （1 1）Im( (D D ) )和和Ker( (D D ) )都是都是V的子空间；的子空间； （2 2）Im( (D D )=)=span( (D D ( ( 1 1),),D D ( ( 2 2),),D D ( ( n n) ) （3 3）rank( (D D )=)=rank(A) ) （4 4）dim( (Im( (

12、D D )+)+dim( (Ker( (D D )=)=n 证明证明（1 1）显然）显然R( (D D ) )是是V的非空子集，对任意的非空子集，对任意 DD( ( ),),DD( ( ) ) R( (D D ) )，k P 有有 DD( ( )+)+DD( ( )=)=DD( ( + + ) ) R( (D D ) ) kDD( ( )=)=DD( (k ) ) R( (D D ) ) 所以所以R( (D D ) )是是V的子空间的子空间 又DD( (0 0)=0,)=0,所以所以Ker( (D D )是V的非空子集,对任意对任意 , , Ker( (D D ) )，k P D D( ( +

13、 + )=)=DD( ( )+)+DD( ( )=0)=0 Ker( (D D ) ) DD( (k )=)=kDD( ( )=0)=0 Ker( (D D ) ) 所以所以Ker( (D D ) )是是V的子空间的子空间 如果如果D D ( ( r+1 r+1), ),DD( ( n n) )是线性无关的，则有是线性无关的，则有 dim( (Im( (D D )=n-r 证明证明（4 4）设）设 dim( (Ker( (D D )=)=r，在，在 Ker( (D D ) 中取一中取一 组基组基 1 1, , 2 2, r r，根据扩充定理，将它扩充成，根据扩充定理，将它扩充成 的基的基 1

14、1, , 2 2, r r, , r+1 r+1, , n n，则，则 Im( (D D )=)=span( (D D ( ( 1 1),),D D ( ( r r),),D D ( ( r+1 r+1), ),DD( ( n n) = =span( (D D ( ( r+1 r+1), ),DD( ( n n) ) V 因为因为 线性无关，所以线性无关，所以 ki=0(=0(i=1,2n),),所以所以DD( ( r+1),),DD( ( n n) )线性无关。线性无关。 12 , n 事实上，设事实上，设 ，则，则 ) (DD 00 n j=r+1 kj j n j=r+1 kjD D (

15、aj) 0 0 从而从而 则则 n j=r+1 kj j Ker( (DD) ) n j=r+1 kj j= r j=1 kj j 注意注意 dim( (Im( (D D )+)+dim( (Ker( (D D )=)=n Im( (D D )+)+Ker( (D D ) ) V ( (Ker( (D D )=0)=0 Im( (D D )=)=VDD 1021 1213 1255 2212 例例2.3.3 设设线性变换线性变换 T 在在4维线性空间维线性空间 的基的基 下的矩阵为下的矩阵为 V 1234 , 1234 ,A （2）求）求 Im(T ) 的一组基的一组基; （1）求）求Ker(

16、T ) 的一组基的一组基; 解解（1）对任意）对任意 1 144 ( )xxKer T 有有 1 144 ( )()TT xx 1144 ()()x Tx T 14 ( (), ()TTx 14 (,)xA 因此因此Ax 解得基础解系解得基础解系 12 ( 4, 3,2,0) ,( 1, 2,0,1) TT 则则 的基为的基为( )Ker T 112341123 (,)432, 212342124 (,)2. （2）由于）由于 312412 3 2,2 2 14 Im( )(,)Tspan TT 从而从而 这说明这说明 3143 (,)T 412 2TTT 141212 33 (,)(2)2

17、22 TT 12 (,)span TT 例例2.4.1 设线性变换设线性变换A A 在基在基 下的矩阵是下的矩阵是 求求A A 的全部特征值与特征向量。的全部特征值与特征向量。 解：求解：求A A 的特征值等价于求对应矩阵的特征值和特的特征值等价于求对应矩阵的特征值和特 征向量。征向量。 123 , 222 214 241 A 所以所以A的特征值是的特征值是 3 (二重二重)与与 -6。 对于特征值对于特征值 3，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 得到一个基础解系：得到一个基础解系： 2 222 214 241 (3) (6) IA (3)0IA X 210,201 TT 从而从而 A A

18、的属于的属于 3 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是 于是于是A A 属于属于 3的全部特征向量是的全部特征向量是 这里这里 k1k20 。 对于特征值对于特征值 -6，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 得到一个基础解系：得到一个基础解系： 112213 2,2 1 12212 ,kkk kK ( 6)0IA X 122 T 从而从而 A A 的属于的属于 -6 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是 于是于是 A A 的属于的属于 -6 的全部特征向量的全部特征向量 这里这里 k 为数域为数域 F 中任意非零数。中任意非零数。 3123 22 3 ,kkK

19、称称 矩阵矩阵 为多项式为多项式 的的，这里，这里 例例 2.4.2 对于多项式对于多项式 1 110 ( ) nn n f xxaxa xa nn C( )f x 求求C的特征多项式的特征多项式 0 2 1 1000 0010 0001 0000 a a a a C n n n 解解 记记 由上式逐次递推得由上式逐次递推得 1 1 1 100 10 01 00 a a a a d i i i i 对对di按第一行展开按第一行展开,有有 di= di-1+ai , i 1 dn=|I-A|=dn-1+an=(dn-2+an-1)+an=2(dn-3+an-2) +an-1+an=n+a1n-1

20、+a2n-2+an-1+an 接下来考虑线性变换在不同基下的矩阵特征值的关系：接下来考虑线性变换在不同基下的矩阵特征值的关系： 证证: （1）| I-B|=| I-P-1AP|=|P-1( I-A)P|=|P-1|( I-A)|P|=| I-A| 另：另：66页例页例2.4.5的结论：的结论： m阶方阵阶方阵AB与与n阶方阵阶方阵BA有相同的非零特征值，有相同的非零特征值， 从而有从而有tr(AB)=tr(BA)；特别地，若；特别地，若A，B为同阶方为同阶方 阵，则阵，则AB与与BA有相同的特征值有相同的特征值. 推论：推论：若若P-1AP=diag（ 1, 2, n），则），则 1, 2,

21、n是是A的的n个特征值，个特征值，C的第的第i个列向量是个列向量是A 的属于的属于 i的特征向量的特征向量 例例 2.5.1 在多项式空间在多项式空间 Pt3 中，设中，设 f(t)=a1+a2t+a3t2 定义线性变换定义线性变换 Tf(t)=(a2+a3) +(a1+a3)t+ +(a1+a2) t2 试求试求 Pt3 的一组基的一组基 ，使，使 在该基下的矩阵为对在该基下的矩阵为对 角矩阵。角矩阵。 T 解：解： 这里标准基这里标准基 在线性变换在线性变换 下的矩阵表示下的矩阵表示 为为 2 1, , t tT 011 101 110 A 矩阵矩阵A的特征值为的特征值为 123 2,1

22、属于属于2的特征向量为的特征向量为p1=(1，1，1)T 属于属于-1的两个线性无关的特征向量为的两个线性无关的特征向量为 p2=(-1，1，0)T p3=(1，0，-1)T,所以所以 123 111 110(,) 101 Pppp 使得使得 P-1AP= 22 11 ( )(1, ,)1f tt tptt 因此所求基为因此所求基为 2 22 ( )(1, ,)1f tt tpt 22 33 ( )(1, ,)1ftt tpt 显然可以验证线性变换显然可以验证线性变换 满足满足T ( )( ),1,2,3 iii f tf tTi 注 鉴于正交的重要性，所以相应的鉴于正交的重要性，所以相应的正

23、交变换显得尤显得尤 为重要。为重要。HouseholderHouseholder变换（即反射变换）和变换（即反射变换）和GivensGivens 变换（即旋转变换）是两种最重要的正交变换，它们变换（即旋转变换）是两种最重要的正交变换，它们 的作用主要是在数值算法中构造正交基。的作用主要是在数值算法中构造正交基。 根据定义，显然正交变换也保持欧氏空间中向量根据定义，显然正交变换也保持欧氏空间中向量 的长度、距离及向量间的夹角等几何属性不变。的长度、距离及向量间的夹角等几何属性不变。 补充：两种基本的图形变换补充：两种基本的图形变换 例例1 1（旋转变换旋转变换或或Givens变换变换）将线性空间

24、）将线性空间 中的中的 所有向量均绕原点顺时针旋转角所有向量均绕原点顺时针旋转角 ，这时，这时 与与 之间的关系为之间的关系为 2 R 12 (,) 12 (,) 2 1 2 1 cossin sincos 例例2 2（反射变换反射变换或或HouseholderHouseholder变换变换）将）将 中任一向中任一向 量量x 关于关于横横轴做反射得向量轴做反射得向量y。这时像。这时像(x2,y2) 与原像与原像 (x1,y1)之间的关系为之间的关系为 2 R 1 1 2 2 10 01 y x y x 从几何上看，图形经过从几何上看，图形经过旋转变换旋转变换或或反射变换反射变换后只后只 是位置

25、改变了，形状和大小都没有改变，也就是说是位置改变了，形状和大小都没有改变，也就是说 变换前后的图形是全等的，即这两种变换都是正交变换前后的图形是全等的，即这两种变换都是正交 变换。变换。 将这两种变换扩展到将这两种变换扩展到n维欧氏空间，得到两类重要的维欧氏空间，得到两类重要的 正交变换：正交变换： 一般形式的一般形式的Givens矩阵为：矩阵为： 1 1 cossin 1 1 sincos 1 1 ( , )G i j 第第j j 列列 第第i i 列列 对应的变换称为对应的变换称为Givens变换，或初等旋转变换。变换，或初等旋转变换。 对任意对任意 ，存在有限个，存在有限个Givens矩

26、阵矩阵 的乘积的乘积 ，使得，使得 其中其中 为标准单位向量。即为标准单位向量。即通过有限次通过有限次Givens 变换可以将向量旋转到某个坐标轴上。变换可以将向量旋转到某个坐标轴上。 1 n eR 21 |Te n R T Givens变换在简化矩阵方面有重要应用，对非零变换在简化矩阵方面有重要应用，对非零n维维 向量，通过向量，通过有限次有限次Givens变换，可将变换，可将其后任意其后任意r 个分个分 量变为零，特别地，量变为零，特别地，r=n-1时，得时，得 x y 2 e 2 1 e 如图，显然有正交分解如图，显然有正交分解 1122 ( ,)( ,)xx e ex e e , 22

27、22 22( ,)2( ,)yxxx e exex e 因此向量因此向量 关于关于“与与 轴正交的直线轴正交的直线”对称的镜对称的镜 像向量的表达式为像向量的表达式为 2 e x 再看再看HouseHolder变换变换 2222 (2)2 TT Ixxexeee 类似地，可定义将向量类似地，可定义将向量 变换为关于变换为关于“与单与单 位向量位向量 正交的正交的 维子空间维子空间”对称的向对称的向 量量 的镜像变换。的镜像变换。 n uR n xR n yR 1n 设设 为单位向量，称矩阵为单位向量，称矩阵 为为Householder 矩阵（初等反射矩阵），矩阵（初等反射矩阵）， 对应的变换对

28、应的变换 称为称为Householder 变换（初等反射变换）变换（初等反射变换） n R 2 H HI (2) H HI 定理定理 对任意对任意 ，存在，存在Householder 矩矩 阵阵 ，使得，使得 其中其中 为标准单位向量。即为标准单位向量。即可以通过可以通过 Householder变换将向量反射到某个坐标轴上。变换将向量反射到某个坐标轴上。 1 n eR 21 |He n R H Householder变换能将任何非零向量变成与给定单位变换能将任何非零向量变成与给定单位 向量同方向的向量；向量同方向的向量； 两类矩阵的关系：两类矩阵的关系： Givens矩阵（变换）等于两个初等反

29、射矩阵矩阵（变换）等于两个初等反射矩阵 （变换）的乘积。（变换）的乘积。 即反射变换比旋转变换更基本。即反射变换比旋转变换更基本。 ( ,)(1),;) (2) (,)( ,);()C (3)(, )( , )( , ); (4) ，当且仅当，当且仅当 时，等号成立。时，等号成立。 ( ,)0 V、 、 是是复数域复数域 上的线性空间。如果对上的线性空间。如果对 中任意中任意 两个向量两个向量 都存在所谓都存在所谓 与与 的的 ，满足下面，满足下面四个条件四个条件。称定义了内积的线。称定义了内积的线 性空间性空间 为为，简称，简称。 VV C V V 、 ()C , , 补充补充 酉空间酉空间

30、(Unitary Space) 例例 1 1 定义了定义了的的 是一酉空间。这里，是一酉空间。这里， 对任意两个向量对任意两个向量 及及 ， 标准内积为标准内积为 n C 12 (,)T n n a aaC ( ,) H 12 (,)T n n b bbC 1122 ( ), HT nn a ba ba b 例例 2 2 在线性空间在线性空间 中，对任意中，对任意 定义定义 这里这里 是是，即，即 则则 是是 的一个内积。的一个内积。 n C A , (, ), Hn n x yAx yy AxAC n xyC 、 , x y n C ()T H AAA 二、酉空间的一些重要结论二、酉空间的一

31、些重要结论 （1 1） （2 2） （3 3） ( ,)( ,); ( ,)( ,)( , ); ( , )( ,)0; （4 4） （5 5） ，当且仅当，当且仅当 线线 性相关时等号成立；性相关时等号成立； | ( ,) ; |( ,)| 、 （6 6） 两个非零向量两个非零向量 的内积的内积 时，称时，称 与与 ； （7 7） 任意一组线性无关的向量都可以用任意一组线性无关的向量都可以用Schmidt正正 交化方法正交化，并扩充成一组标准正交基；交化方法正交化，并扩充成一组标准正交基； （8 8）标准正交基）标准正交基 下的任意两向量下的任意两向量 的内积的内积 （9 9）任意一个酉空间

32、）任意一个酉空间 都可以分解为其子空间都可以分解为其子空间 和和 的的直和直和；( () ) 、 12 , n ( ,)0 1122nn aaa 1122nn bbb 1122 ( ,). nn a ba ba b V 1 V 1 V ( ), ( ) = ( ,).TT 定义定义4 4 称酉空间称酉空间 中的线性变换中的线性变换 称为称为， 如果如果 保持向量的内积不变保持向量的内积不变，即对任意，即对任意 ， 有有 V 、 VT T 根据定义，显然酉变换也保持酉空间中向量的根据定义，显然酉变换也保持酉空间中向量的 长度长度、距离距离等几何属性不变。不过注意对向量等几何属性不变。不过注意对向

33、量 间的间的夹角夹角的不同定义，未必成立。的不同定义，未必成立。 V V 设设 是酉空间是酉空间 上的一个线性变换，则下上的一个线性变换，则下 列命题是等价的：列命题是等价的： （1 1） 是酉变换；是酉变换； （2 2） 保持向量的范数不变保持向量的范数不变，即，即 ； （3 3） 若若 是是 的一组标准正交基，则的一组标准正交基，则 也是也是 的标准正交基；的标准正交基； （4 4） 在在 的任意一组标准正交基下的矩阵表示的任意一组标准正交基下的矩阵表示 为为，即，即 |( )|T= = TV T 12, , n , , T 12 (, ( n TTT),),) TV A HH A AAAI 例例 3 3 证明：证明： （1） 酉矩阵的特征值之模为酉矩阵的特征值之模为 1。 （2） 酉矩阵的相异特征值对应的特征向量酉矩阵的相异特征值对应的特征向量 互相正交。互相正交。 例例2626 线性空间线性空间 和和 都是都是 上的上的 线性变换线性变换 的的。 V T V 例例27 27 线性空间线性空间 上的线性变换上的线性变换 的像的像 和核和核 都是都是 的不变子空间。的不变子空间。 T V Im ()T ()K e r T T 例例 28