人教版数学九年级上册《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》课件（共22张PPT）2

1、21.2.4 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 人教版数学九年级上册人教版数学九年级上册 第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程 1了解一元二次方程的根与系数的关系，了解一元二次方程的根与系数的关系， 能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另 一个根及未知系数一个根及未知系数。 2在不解一元二次方程的情况下，会求直在不解一元二次方程的情况下，会求直 接接(或变形后或变形后)含有两根与两根积的代数式的值含有两根与两根积的代数式的值 ，并从中体会整体代换的思想，并从中体会整体代换的思想。 学习目标学习目标 1.1

2、.一元二次方程的求根公式是什么？ 2 2 4 (40) 2 bbac xbac a 想一想：想一想：方程的两根x x1 1和x x2 2与系数a,b,ca,b,c还有其它关系吗？ 2.如何用判别式 b b2 2 - 4 - 4ac ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： axax2 2 + + bx bx + +c c = 0(= 0(a a0) 0) b b2 2 - 4 - 4ac ac 0 0 时,方程有两个不相等的实数根. b b2 2 - 4 - 4ac = ac = 0 0 时,方程有两个相等的实数根. b b2 2 - 4 - 4ac ac 0 06 = 25 0.

3、 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x x1, x x2, 那么 x x1 1 + + x x2 2 = -7 = -7 , x x1 1 x x2 2 = 6 = 6. 典例精析典例精析 （2）2 2x x2 2 - 3 - 3x x - 2 = 0- 2 = 0. 解：这里 a a = 2 , = 2 , b b = -3 , = -3 , c c = -2= -2. = = b b2 2 - 4 - 4acac = = （- 3- 3）2 2 4 4 2 2 (-2) (-2) = 25 0 = 25 0, 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x x1, x x2, 那么

4、x x1 1 + + x x2 2 = , = , x x1 1 x x2 2 = -1 = -1 . 2 3 例例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的 值. 解：设方程程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=7. 答：方程的另一个根是 ，k=7. , 5 k 3 . 5 3 () 5 3 5 6 , 5 变式：变式：已知方程3 3x x2 2-18-18x x+ +m m=0=0的一个根是1 1，求它的另一个根 及m m 的值. 解：设方程的两个根分别是x x1 1、x x2 2，其

5、中x x1 1=1=1. 所以：x x1 1 + + x x2 2=1+=1+x x2 2=6=6， 即：x x2 2=5=5 . . 由于x x1 1x x2 2=1=15=5= 得：m m=15.=15. 答：方程的另一个根是5 5，m m=15.=15. , 3 m 例例3 3 不解方程，求方程2 2x x2 2+3+3x x-1=0-1=0的两根的平方和、倒数和. 1212 31 ,. 22 xxxx 解：根据根与系数的关系可知： 2 22 121122 12,xxxx xx 2 22 121212 2xxxxx x 2 3113 2; 224 12 1212 1131 23. 22

6、xx xxx x 设x x1 1, , x x2 2为方程x x2 2-4-4x x+1=0+1=0的两个根，则: （1 1）x x1 1+ +x x2 2= = , (2), (2)x x1 1x x2 2= = , , (3) (3) , (4) (4) . 4 41 1 1414 1212 2 21 )(xx 2 2 2 1 xx 巩固练习巩固练习 例例4 4：设x x1 1，x x2 2是方程 x x2 2 -2( -2(k k - 1)- 1)x x + + k k2 2 =0 =0 的两个实数根， 且x x1 12 2 + +x x2 22 2 =4 =4，求k k的值. 解：由方

7、程有两个实数根，得= 4= 4（k k - 1- 1）2 2 - 4 - 4k k2 2 0 0 即 -8-8k k + 4 0+ 4 0. 由根与系数的关系得x x1 1 + + x x2 2 = 2( = 2(k k -1) ,-1) ,x x1 1 x x2 2 = =k k 2 2. . x x1 12 2 + + x x2 22 2 = ( = (x x1 1 + + x x2 2) )2 2 - 2 - 2x x1 1x x2 2 = 4( = 4(k k -1)-1)2 2 -2 -2k k2 2 = 2 = 2k k2 2 -8 -8k k + 4+ 4. 由 x x1 12

8、2 + + x x2 22 2 = 4 = 4，得 2 2k k2 2 - 8 - 8k k + 4 + 4 = 4 4, 解得 k k1 1= 0= 0 , k k2 2 = 4 = 4 . 经检验， k k2 2 = 4 = 4 不合题意，舍去. 2 1 k 典例精析典例精析 u 总结总结常见的求值常见的求值: 12 11 1. xx 12 12 ; xx x x 12 4 .(1)(1)xx 1212 ()1;x xxx 12 21 3. xx xx 22 12 12 xx x x 2 1212 12 ()2 ; xxx x x x 12 5. xx 2 12 ()xx 2 1212 (

9、)4.xxx x 222 121212 2.()2;xxxxx x 归纳归纳 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的 代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 探究新知探究新知 1.1.如果-1-1是方程2 2x x2 2x x+ +m m=0=0的一个根，则另一个根是_， m m =_. 2.2.已知一元二次方程x x2 2+ +pxpx+ +q q=0=0的两根分别为-2 -2 和 1 1 ， 则：p p = = , , q q= = . . 1 1-2-2 3 2 -3-3 课堂检测课堂检测 3.已知方程 3 3x x2 2 -19 -19x x + + m m=0=0

10、的一个根是1 1，求它的另一个根及 m m 的值. 解：将x x = 1= 1代入方程中：3 3 -19-19 + + m m = 0= 0. 解得 m m = 16= 16, 设另一个根为x x1,则： 1 1 x x1 1 = = x x1 1 = = 16 . 3 c a 16 . 3 4.4.已知x x1 1, ,x x2 2是方程2 2x x2 2+2+2kxkx+ +k k-1=0-1=0的两个根,（x x1 1+1)(+1)(x x2 2+1)=4+1)=4； （1 1）求k k的值； （2 2）求( (x x1 1- -x x2 2) )2 2的值. 解：(1)(1)根据根与系

11、数的关系： 所以( (x x1 1+1)(+1)(x x2 2+1)=+1)=x x1 1x x2 2+(+(x x1 1+ +x x2 2)+1=)+1= 解得：k k=-7=-7； 12 ,xxk 1 2 1. 2 k x x 1 () 1 4, 2 k k （2 2）因为k k=-7=-7,所以 则： 1 2 4.xx 12 7,x x 222 12121 2 ()()474 ( 4) 65.xxxxxx 5.设x x1 1,x x2 2是方程3 3x x2 2 + 4 + 4x x 3 = 0 3 = 0的两个根.利用根系数之 间的关系,求下列各式的值. (1) ( (x x1 1 + 1)( + 1)(x x2 2 + 1) + 1); (2) . 2 1 1 2 x x x x 解:根据根与系数的关系得： （1）( (x x1 1 + 1)( + 1)(x x2 2 + 1) = + 1) = x x1 1 x x2 2 + + x x1 1 + + x x2 2 + 1= + 1= （2） 1212 4 ,1. 3 bc xxxx aa 44 (-1) 1; 33 . )( 9 342 21 21 2 21 21 2 2 2