经济管理数学积分学及其应用

1、 例 求下列函数的不定积分： 解 所以 所以 所以 (2)积分形式不变性 如果f(x)dx=F(x) ，则等式 f(u)du=F(u)+ 也成立，这个性质叫 积分形式不变性. 3.1.2 不定积分的性质与积分公式 (1)不定积分的性质 性质1 积分法与微分法互为逆运算 1) 或 2) 或 (3.2) (3.3) 性质2 被积函数常数因子可提到积分号外面，即 事实上，上式右边的导数 这恰好是左边的被积函数.从而知 是kf(x) 的不定积分，即 (3.4) 性质3 两函数代数和的不定积分，等于每个函数 不定积分的代数和，即 这是因为上式右边的导数 恰好是左边的被积函数.由不定积分定义，有 这一法则

2、可以推广到任意有限个函数代数和的不 定积分中去.以上性质都假设函数的不定积分存在. (3.5) (2)积分公式表 例 求下列不定积分： 解 3.1.3 不定积分的计算 (1)运用公式法 根据积分形式不变性，如f(x) dx= F(x) + 则有 其中 为可导函数. 例 求 解 积分公式中有 可得 于是令 1+3x=u，两边各自微分d (1+3x)=du，即 ，有 类型1 若(x)=ax+b， 则有 例 求不定积分 . 解 类型2 若(x)=xn ，则 例 求不定积分 解 类型3 若 则 或 例 求不定积分 tanxdx. 解 类似地，cotdx=lnsinx+C. 类型4 若 则 例 求不定积

3、分 解 类型5 若 则 例 求不定积分 解 类型6 若 则 例 求不定积分 解 类型7 若 则 例 求不定积分tanxdx. 解 类型8 若 则 例 求不定积分 解 通过以上各类不定积分举例的求解看出，利用这 种“凑微分法”求解不定积分，最关键的一步是 把被积表达式“凑成”某个函数的微分形式，即 将 f(x) dx凑成g(x) (x) dx或g(x) d(x)=d (G(x)，其中G(x)= g(x)，然后再换元，求积分， 它的解题程序是： 例 求不定积分 解 例 求不定积分 解 (2)换元积分法 定理3.1 设f(x)连续， 单调可微， 且f(t)(t)d 则有换元积分公式 其中，t=-1(

4、x)是x=(t)的反函数. 例 求下列不定积分： 解 这是一组被积函数为线性式ax+b开n次方 的无理函数(又称根式函数)的积分，即形如 的积分，积分的做法是做适当的 变量代换，将无理函数的积分转化为有理函 数的积分，然后将新积分变量还原为原积分 变量即成. 增加一些积分公式： (3)分部积分法 设u=u (x)与v=v (x)有连续导数，则由函数乘积的 微分公式 移项得udv=d(uv)-vdu，两边积分有 例 求 解 设u=x，dv=cos xdx，则du=dx，v=sin x，由分 部积分公式得 (3.6) 3.2 定 积 分 3.2.1 定积分概念 (1)积累求和问题 1)求曲边梯形面

5、积 例如，求由连续曲线y=f(x)(设f(x) 0)和直线x=a， x=b，y=0所围成的曲边梯形aABb的面积(如图3.4 所示). 图3.4 分 将区间a，b任意划分为n个子区间， 取分点坐标为a = x0 x1 x2 xi-1 x0 xn=b，第i个子区间 xi-1 ， xi(i=1，2， ，n) 的长度xi= xi- xi-1，从而整个曲边梯形aABb被分 成n个以这些子区间为底的小窄曲边梯形. 粗 在第i个小窄曲边梯形中，取 xi-1 ，xi上任一 点i，以f(i)代替该小窄曲边梯形的高，则可得该 小窄曲边梯形面积Ai的近似值是f(i)xi ，即 Aif(i ) xi 合 整个曲边梯

6、形面积 精 根据极限概念，当最大子区间的长度 =maxxi 趋于零时，(自然子区间个数n就该趋 于无穷大)和式 的极限就是整个曲边梯 形的面积，即 2)求变速直线运动的路程 设物体作变速直线运动，已知速度v=v(t)0是时间 区间 T1 ，T2 上的连续函数，要计算物体在这 段时间内所经过的路程. 分 将区间 T1 ， T2 任意划分为n个子区间， 取分点坐标为T1 = t0 t1 t2 ti-1 ti tn = T2 ，第i个时间区间 ti-1 ，ti的 长度ti = ti - ti-1(i=1，2， ，n). 粗 在第i段路程中，取 ti-1，ti 上任一 时刻i 的速度v(i )代替变化

7、的速度v(t)，得该段 路程Si 的近似值为v(i)ti ，即Siv(i)ti. 合 全部路程 精 当最大的一个时间区间长度=maxti 趋近于零时，和式的极限就是全部路程，即 (2)定积分的定义 定义3.3 设有界函数f(x)定义在区间a，b上， 用分点a= x0 x1 x2 xi-1 xi xn =b将a，b分成n个子区间，各子区间 xi- 1 ，xi 的长度为 xi = xi - xi-1 (i=1，2， ，n). 取子区间 xi-1 ，xi上任一点i ，作和式 ni=1DD) f 如果不论对a，b如何分法，也 不论 xi-1 ，xi上的一点i怎样选取，当最大 子区间的长度=maxxi趋

8、于零时，和式的极 限存在，则称f(x)在a，b上可积，并称此极限 值为f(x)在 a，b 上的定积分，记作 ( 即 根据定义3.3，上述两个实际问题可表为： 曲边梯形面积：A=b 变速直线运动路程：s=b 定理3.2 设f(x)在a，b上连续，则f(x)在a， b上可积. 定理3.3 设f(x)在 a，b 上有界，且只有有限 个间断点，则f(x)在 a，b 上可积. 在定积分定义3.3中，假设ab，但如ab，规定 (3.7) (3.8) (3)定积分的几何意义 1)xa，b，若f(x)0，则baf(x)d 等于曲线 y=f(x)在 a，b 上所围成曲边梯形的面积. 2)x a，b ，若f(x)

9、0，则b 等于曲线 y=f(x)在 a，b 上所围成曲边梯形面积的负值. 3)xa，b，若f(x)有正、有负，则 等于曲线y=f(x) 在 a，b 上所围成图形面积的 代数和，上正下负. 例 求1 之值. 解 这个定积分表示图3.5所示直角三角形的面积 所以 图3.5 3.2.2 定积分的基本性质 性质1 被积函数的常数因子可提到积分号 外，即 性质2 函数代数和的定积分等于函数定积 分的代数和，即 性质3 (定积分可加性) 若ca，b，则 性质4 若xa，b时，有f(x)0，则 (3.9) (3.10) (3.11) 性质5 若xa，b时，有f(x)g(x)，则 推论 若ab，则 性质6 (

10、估值定理) 若M，m为f(x)在a，b上的最 大值与最小值，则 性质7 (中值定理) f(x)在 a，b 上连续，则在 a，b 内至少存在一点，使得 如图3.6所示，通常称 为函数f(x) 在 a，b 上的积分平均值. (3.12) (3.13) 图3.6 3.2.3 定积分的计算 (1)积分上限函数 定理3.4 (原函数存在定理) 若f(x)在a，b上连 续，则 对x的导数等于被积函数 在上限的函数值，即 (3.14) 图3.7 例 求下列函数的导数： 解 (2)牛顿-莱布尼兹公式 定理3.5 (微积分学基本定理) 设函数f(x)在闭区间 a，b上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则

11、有 (3)基本积分法 1)直接运用公式法 例 直接运用牛-莱公式计算下列定积分： 解 2)换元积分法 定理3.6 设函数f(x)在a，b上连续，若x=(t) 满足： 1 ()=a，()=b； 2在区间，(或，)上单调且有连续 导数. 则有定积分换元公式： 例 计算下列定积分： (3.16) 解 3)分部积分法 设函数u(x)，v(x)在a，b上具有连续导数u(x)， v(x)，由不定积分的分部积分法与牛- 莱公式， 得 即 这就是定积分的分部积分法. 例 计算定积分： (3.17) 解 例 求广义积分： 解 是一无穷区间上的广义积分， 先取上限为有限值b，作为正常积分处理，将此积 分积出后必为

12、上限b的函数，再让b+视其极限 是否存在.于是 可得 所以 此时称广义积分 收敛. 由定积分可加性，得 而 所以 3.3 积分学的应用 3.3.1 定积分在几何中的应用 (1)平面图形的面积 在定积分的几何意义中已经指出，设f(x)在a， b上连续，则下面曲边梯形的面积(如图3.8和图 3.9)S分别为： 当f(x) 0时， 当f(x) 0时， 更一般的情况，设函数f1(x)、 f2(x)在 a，b 上 连续，且总有0 f1(x) f2(x) ，则曲线y= f2(x)， y= f1(x)，与x=a，x=b所围图形的面积(图3.10)为 图3.8图3.9 这个公式对于图3.11也成立，事实上，如

13、在a， b上函数值有正、有负，可将x轴向下平移一段， 使曲线全位于x轴上方.此时两个函数同时增加一 个常数C，它们之差 不变，从而得证. 把上述公式形象地写成： (3.18) 图3.10图3.11 提醒读者注意：这里必须保证在a，b上，上 曲线y2=f上 (x)的位置始终在下曲线y1=f下 (x) 的上 方.否则，就要分区间进行. 归纳由定积分计算平面图形面积的步骤如下： 画出平面图形的草图，求出曲线交点； 选择适当的积分变量，确定积分限； 写出面积元素，进而计算定积分. (2)旋转体体积 设一立体是由连续曲线y=f(x)与直线x=a，x=b(a b)及x轴所围成平面图形绕着x轴旋转一周所得到

14、的 旋转体(如图3.16)，下面来研究该旋转体的体积问 题. 该旋转体可视为区间a，b上各小区间对应的窄 曲边梯形绕x轴旋转而成的小旋转体之和.取x作为 积分变量，积分区间为a，b，任取x，x+dx 上一薄片旋转体，其体积近似等于以f(x)为底半径， dx为高的小圆柱柱体体积.得体积元素： dV=底面积高=f 2(x)dx 故所求旋转体体积为： (3.19) 图3.16图3.17 例 求底半径为r，高为h的正圆锥体的体积. 解 如图3.17所示，该正圆锥体可视为直线 与直线x=h以及x轴所围成的平面直角三角 形绕x轴旋转一周而成.选x为积分变量，积分区间 为0，h，体积元素为 于是所求旋转体体

15、积为 3.3.2 积分学在经济分析中的应用举例 (1)已知边际量求总量 例 某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成 本y的变化率(即边际成本)是日产量x的函数 ，已知固定成本为1 000元，求总 成本y与日产量x的关系. 解 因为总成本是边际成本的一个原函数，所以 又已知固定成本为1 000元，即当x=0时，y= 1 000，代入上式得 C=1 000 于是得y=1 000+7x+50KF(x (元)，所以，总成本 y与日产量x的函数关系为： (2)利润、产量与开工时数的最佳值的确定 例 某厂生产一种产品，年产量为x吨时，总费用 的变化率(即边际费用)为f(x)=0.25x+8(单位：百元 t

16、)，这种产品每吨的销售价为3 000元，问一年 生产多少产品工厂利润最大？并求出年利润的最 大值. 解 设产量为x吨时利润为L(x)，因总费用是边际 费用的一个原函数，所以有总费用： 而收入函数R(x)=30 x，因为利润函数L(x)=R (x) - C(x)，所以 令L(x)=22-0.25x=0，得x=88().此时 又 因此，年产量为88 t时工厂利润最大，且利润最大 值为96 800元. (3)资本存量问题 例 资本存量S=S (t)是时间t的函数，它的导数等 于净投资I(t)，现知道净投资I(t)=3 (单位：10 万元年)，求第一年年底到第四年年底的资本存 量. 解 因资本存量S是

17、净投资的一个原函数，所以从 t=1到t=4年的总存量为： 所以，第一年年底到第四年年底的资本总存量为 1 400 000元. 3.3.3 积分法用于求解常微分方程 引例 一曲线上任一点的切线斜率为该点横坐标 的(-2)倍，且过点P0(0，-1)，求此曲线方程. 解 设所求曲线为y=f(x)，P(x，y)为该曲线上任 一点.根据函数在点P(x，y)处导数的几何意义：是 该函数对应的曲线在该点P(x，y)切线的斜率，依 题意有 两边积分 得 y=-x2+C (2) 通解 又由曲线过点P0 (0，-1)，即 (1) 一阶微分方程 (3)初始条件 代入式(2)，-1=-02+C，所以C=-1 故 y=

18、-x2-1 (4) 特解 因而所求曲线方程为y=-x2-1. 例 求解下列微分方程： 解 所谓微分方程是指含有未知函数的导数或微 分的方程，求解微分方程是指如何通过积分方法 求出微分方程中未知函数y=f(x)的解法过程.所求 出的这个函数y=f(x)叫微分方程的解. 两边积分 两边取自然对数 这种解叫通解(其中C为任意常数，且一阶微分方 程通解中必含一个任意常数). 2)将(xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0变形 两边积分 (2)积分形式不变性 如果f(x)dx=F(x) ，则等式 f(u)du=F(u)+ 也成立，这个性质叫 积分形式不变性. 性质2 被积函数常数因子可提到积分号外面，即 事实上，上式右边的导数 这恰好是左边的被积函数.从而知 是kf(x) 的不定积分，即 (3.4) 类型8 若 则 通过以上各类不定积分举例的求解看出，利用这 种“凑微分法”求解不定积分，最关键的一步是 把被积表达式“凑成”某个函数的微分形式，即 将 f(x) dx凑成g(x) (x) dx或g(x) d(x)=d (G(x)，其中G(x)= g(x)，然后