材料力学-第四章 扭转

1、 一 扭转的概念和实例 二 外力偶矩、扭矩和扭矩图 三 圆轴扭转时的强度计算 四 圆轴扭转时的变形计算 五 扭转超静定问题 六 矩形截面杆的自由扭转 七 薄壁杆的自由扭转 一 扭转的概念和实例 对称扳手拧紧镙帽对称扳手拧紧镙帽 承受扭转变形的构件 传动轴传动轴 汽车传动轴汽车传动轴 m m m m 这些构件的 受力特点: 所受外力是一些力偶矩,作用在垂直于杆轴的平面内。 变形特点: 杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。 二 外力偶矩、扭矩和扭矩图 1 外力偶矩的计算 外力偶矩与功率和转速之间的关系 )( 02.7mkN n N m 马力 )( 55.9mkN n N m KW 2 求扭转

2、内力的方法截面法 I I Mn 3 受扭圆轴横截面上的内力扭矩 右手定则：右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的 指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相 同，规定扭矩为正，反之为负。 n M n M 扭矩符号规定： 4 扭矩的符号规定右手螺旋法则 m I I n M m I I n M I I n M m I I n M m 例题 已知圆轴受外力偶矩mA 、mB 、mC 作用而处于 匀速转动平衡状态，试求1-1、2-2截面上的扭矩。 A m C m B m B m A m C m 0 CBA MMM 已知圆轴受外力偶矩作已知圆轴受外力偶矩作 用，匀速转动。则用，匀速转动。则

3、 用截面法求内力：用截面法求内力： A M 1n M 1 1 1n M CBAn MMMM 1 扭矩扭矩 C M B M B M A M C M B M A M 截面截面2-22-2上的内力：上的内力： 2n M C M 2n M CBAn MMMM 2 （+） B m A m C m 5 扭矩随圆轴横截面的位置变化的图线扭矩图 An MM 1 （-） Cn MM 2 扭矩图扭矩图 例题例题 图示传动轴上，经由A轮输入功率10KW，经由B、C、D轮 输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速n=300r/min，求作该轴 的扭矩图。如将A、D轮的位置更换放置是否合理？ A CB D I I II

4、II III III A CB D 经由经由A A、B B、C C、D D轮传递的外力偶矩分别为轮传递的外力偶矩分别为 解：解： )( 3 .318 300 10 549. 9549. 9mN n P m A A )(7 .63 300 2 9549549. 9mN n P m B B ),( 5 .95mNmC),(2 .159mNM D I I II II III III B m I I 1n M )(2 .159 3 mNMM Dn B m C M II II 2n M )(2 .159 2 mNMMM CBn )(7 .63 1 mNMM Bn D M III III 3n m 绘出扭

5、矩图：绘出扭矩图： A CB D 7 .63 （-） 扭矩扭矩Mn-图图 2 .159 2 .159 （+） )(2 .159 max, mNM n （在（在CA段和段和AD段）段） I I II II III III 将将A A、D D轮的位置更换，则轮的位置更换，则 A CB D 扭矩扭矩Mn-Mn-图图 7 .63 （-） 2 .159 3 .318 )( 3 .318 max, mNMn（AD段）段） 因此将A、 D轮的 位置更换 不合理。 I I II II III III A m B m C m 1 1 2 2 轮轮 轴轴 轴承轴承 6KNm 4KNm 三 圆轴扭转时的强度计算 1

6、 受扭圆轴横截面上的剪应力 （1）公式推导的思路 Me Me 平面假定 变形几何 1 受扭圆轴横截面上的剪应力 （2）公式推导过程 x dx Mn Mn d d dx dx d G G dx d G A n MdA n A MdA dx d G 2 Ip P n GI M dx d P n GI M P n I M dx d x dx T T d dx dx d G dx d G A n MdA n A MdA dx d G 2 Ip P GI T dx d P n GI M P n I M d P n I M (3)受扭圆轴横截面上的剪 应力计算公式 P n I M P n I rM max

7、 r I W P P 扭转截面系数扭转截面系数 P n W M max (3)受扭圆轴横截面上 的剪应力计算公式: 实心圆截面实心圆截面 d d A P dAI 2 A d 2 2 2 0 3 2 d d 32 4 d I P 16 3 d WP 空心圆截面 D d P I 2 2 3 2 D d d 44 32 dD D d 4 4 1 32 D IP 4 3 1 16 D WP 解：解： 7 .185 360 7 9550,.557 120 7 9550 .1114 120 14 955095509550 32 1 1 1 mMNm MN n p n N m 16 )07.0( 16 33

8、 11141114 d 2 受扭圆轴任意斜截面上的应力分析 m m A A e f sindA cosdA dA x n e f 0 F 0cossinsincos dAdAdA 0 F 0sinsincoscos dAdAdA 2sin 2cos 2sin 2cos 讨论: 0 45 max 450 0 45 min 450 max min 0 0 45 0 0 45 0 0 0 0 0 max 00 3 圆轴扭转时的强度条件 为保证圆轴安全工作，要求轴内的最大工作切 应力不超过材料的许用切应力，即： P n W M max max 式中的许用扭转切应力 ,是根据扭转试验, 并考虑适当的工作

9、安全系数确定的. m m dx GI M d GI M dx d P n P n ，轴为等直杆，则有：若二截面间扭矩constM n P iin P n l P n l P n l GI lM GI lM dx GI M dx GI M d或 00 0.8kNm 1.5kNm 0.8m1.0m 1 m 2 m 3 m 1 d 2 d A B C 32 4 1 1 d I P 4 1 .25 cm 32 4 2 2 d I P 4 236cm 1 11 P n AB GI LM rad0318. 0 2 22 P n BC GI LM rad0079. 0 BCABAC radrad0079.

10、00318. 0 rad0239. 0 5kN 1.5kN 4kN 500500 1 m 2 m 3 m 4 m 500 4 3 1 16 D WP maxn P M W max 4 3 1 16 n MD 3 4 max 3 1 16 n M D mm7 .76 mmD78mmd39 P n GI LM 21 21 rad00734. 0 P n GI LM 13 13 rad00917. 0 P n GI LM 34 34 rad00275. 0 34132124 rad00458. 0 已知钻探机杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速 n=180r/min，钻

11、杆入土深度L=40m，G=80GPa，=40MPa。设土壤对钻杆的阻 力是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩m；（2） 作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；（3）求A、B两截面相对扭转角。 m A l B A B )(xM n x n M n P M n 3 1055. 9 Nm390 单位长度阻力矩 L M m n m Nm 40 390 m Nm75. 9 P n W M max 16 60 50 160 10390 4 3 3 MPa7 .17 l P n AB GI dxxM 0 MxxM n x L M n dx GI l x M l P n AB 0 2 l G

12、I M P n 21050601080 4039032 12449 rad148.0 一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆结合成一组合圆 轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且 G1=G2/2，假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。试问两杆横 截面上的最大切应力之比1/2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。 d D 1 2 e M 2 1 因两杆扭转变形时无相对转动 21 22 2 11 1 P n P n IG LM IG LM 22 11 2 1 P P n n IG IG M M 2 2 1 1 2 1 2 2

13、P n P n I d M I D M d D IT IT P P 12 21 2 2 1 G G 1 3 圆轴扭转时的刚度条件 )( 180 0 m P n GI M l 要求单位长度的扭转角不超过某一许用值,即: 试分别按实心圆轴和空心圆轴选择其直径，并比较二种截面轴 之重量。 解：解：1. 计算外力偶矩计算外力偶矩 画扭矩图。画扭矩图。 mN n N m mN n N mm mN n N m D D B CB A A 4456 300 140 95509550 3502 300 110 95509550 11460 300 360 95509550 已知：n300（r.p.n）， dD1

14、2， 输入功率: NA360kW， 输出功率:NBNC 110kW，ND140kW； . 3.0 ,80,40 0 m GPaGMPa BCAD mB mCmA mD 7004 4456 x o T/N.m 3502 TN.m x 3502 7004 4456 危险截面：危险截面：AC段。段。 mNM n 7004 max 2. 选择实心圆轴直径选择实心圆轴直径 按强度条件按强度条件 16 maxmax max3 d n P n M W M cmm M d n 6 . 9096. 0 1040 700416 16 3 6 3 max 按刚度条件按刚度条件 m n P n d G M GI M

15、0 0 4 max 0 max max 180 32 180 cmm G M d n 4 .11114. 0 3 . 01080 32180700432180 4 29 4 2 max 2. 选择空心圆轴直径选择空心圆轴直径 按强度条件按强度条件 cmD D M D M W M nn P n 8 .9 16 15 16 1 16 3 max 4 3 maxmax max 按刚度条件按刚度条件 cmD D G M GI M m n P n 6 .11 180 16 15 32 180 0 0 4 max 0 max max 由此应选直径由此应选直径 D=11.6cm，dD25.8cm 3. 重量

16、比重量比 763.0 4.11 16.11 2 4 22 4 2 1 2 1 2 1 2 1 A A lA lA V V W W 由此应选直径由此应选直径 cmddd4 .114 .11, 6 . 9maxmax， 刚强 解：解： 由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量： )1 ( 16 43 DW p ) 2 (1 16 4 3 D tDD 36 1024.29m 轴的最大剪应力 例题例题2 2 某汽车传动轴，用某汽车传动轴，用4545号钢无缝钢管制成，其外径号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,D=90mm, 壁厚壁厚t=2.5mmt=2.5mm，使用时最大扭矩为，

17、使用时最大扭矩为M Mx x=1500 N.m,=1500 N.m,试校核此轴的强度。试校核此轴的强度。 已知已知 =60MPa=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相 当，则实心轴的直径当，则实心轴的直径 为？为？ 1 D P x W M max, max MPa3 .51 1024.29 1500 6 MPa60 所以此轴安全。所以此轴安全。 若此轴改为实心轴，若此轴改为实心轴，而而 MPa W M P n 3 .51 1 max max 3 11 16 DW p 式中式中 解得：解得： m M D x 053. 0 103 .5

18、1 16 3 6 max, 1 实心轴的横截面面积为实心轴的横截面面积为 2 11 4 DA 2 2205mm 空心轴的横截面面积空心轴的横截面面积 222 2 687)( 4 mmdDA 空心轴与实心轴的重量之比：空心轴与实心轴的重量之比： %31 2205 687 1 2 1 2 A A G G 因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节 约材料、比较经济。约材料、比较经济。 采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为因为 根据应力分布规律，根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴轴

19、心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴 心附近处的材料没有较好地发挥其作用；心附近处的材料没有较好地发挥其作用； 从截面的几何性质分析，从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料横截面面积相同的条件下，空心轴材料 分布远离轴心，其极惯性矩分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比也比 较大，强度和刚度均可提高；较大，强度和刚度均可提高； 通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不 变，即指截面图形极惯性矩保持不变。变，即指截面图形极惯性矩保持不变。 对于轴的强度或刚度，采

20、用空心轴比实心轴都较为合理。对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。 例题例题3 3 图示等截面圆轴，已知图示等截面圆轴，已知d=90mm ,l=50cm, ,d=90mm ,l=50cm, , 。轴的材料为钢，。轴的材料为钢，G=80GPa,G=80GPa,求求 （1 1）轴的最大剪应力；）轴的最大剪应力； （2 2）截面）截面B B和截面和截面C C的扭转角；的扭转角； （3 3）若要求）若要求BCBC段的单位扭转角与段的单位扭转角与ABAB段的相等，则在段的相等，则在BCBC段钻孔段钻孔 的孔径的孔径d d 应为多大？应为多大？ mKNm.8 1 mKNm.3 2 1 m 2

21、m A ll BC d 1 1 2 2 1 M 2 M A ll BC d （+） mKN.5 （-） mKN .3 扭矩图扭矩图 解解：(1)轴的最大剪应力轴的最大剪应力 作扭矩图：作扭矩图： 2 2 1 1 mKNMMn.3 21 mKNMMMn.5 212 mKNMM nn .5 2max 因此因此 P n W M max max 3 3 16 105 d MPa5 .25 1 M 2 M A ll BC d （2 2）扭转角）扭转角 截面截面B： p ABn ABB GI lM 2 49 3 ) 1 . 0( 32 1082 5 . 0105 178.0rad00311.0 截面截面C

22、 C ACC rad00125.0 BCAB 00311.0 p BCn GI lM 1 49 3 ) 1 . 0( 32 1082 5 . 0103 00311.0 072.0 1 M 2 M A ll BC d （3 3）BCBC段孔径段孔径dd 由由 BCAB 1 1 2 2 p n p n GI M GI M 得 2 1 2 44 1 )( 32 n n pp M M IddI 解得：解得： cmm M M dd n n 808. 014 2 1 1 M 2 M A ll BC d 例题4 图示圆截面杆AB左端固定，承受一集度为t的均布 力偶矩作用。试导出计算截面B的扭转角公式。 L

23、t x dx 解：解： 取微段作为研究对象。取微段作为研究对象。 Mx(x)Mx(x) L-x t Mx(x) 根据平衡条件求得横截面上的扭根据平衡条件求得横截面上的扭 矩为：矩为： )(xLtMx 微段两端截面的相对扭转角为微段两端截面的相对扭转角为 p x GI dxxM d )( A B 因此因此 L p x L ABB GI dxxM d )( L p GI dxxLt 0 )( p GI tL 2 2 L t AB 五 扭转超静定问题 扭转超静定问题的解法：扭转超静定问题的解法： （1 1）建立静力平衡方程；）建立静力平衡方程； （2 2）由变形协调条件建立变形协调方程；）由变形协调

24、条件建立变形协调方程； （3 3）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系：）应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系： ， 代入变形协调方程，得到补充方程；代入变形协调方程，得到补充方程； p n GI lM （4 4）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反）补充方程与静力平衡方程联立，求解所有的未知反 力偶或扭矩。力偶或扭矩。 例题例题6 6 一两端固定的圆截面杆一两端固定的圆截面杆ABAB受力偶矩作用如图。要求受力偶矩作用如图。要求：1 1） 作扭矩图；作扭矩图；2 2）若）若m=10KN.m,m=10KN.m,材料的材料的 =60MPa=60MPa，试选择此等直圆，试选择此等直圆 截面杆直径。截面杆直径。 M A B C l M D ll 例题7 一组合杆由实心杆1和空心管2结合在一起所组成，杆和 管的材料相同。剪切模量为G,试求组合杆承受外力偶矩m以后， 杆和管内的最大剪应力，并绘出横截面上应力分布的规律。如果 杆和管的材料不相同，结果又怎样？ m m 2 d 1 d1 2 Mn 1 2 2n M 解：解： （1 1）静力学关系）静力学关系 MMMM nnn 21 （2）变形协调条件）变形协调条件 21 1n M （3 3）物理关系：）物理关系： , 32 4 1 1 1 dG lM n )( 32 4 1 4 2 2