证明或判断等差(等比)数列常用方法

1、v1.0可编辑可修改证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省 王卫华玉翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢且听笔者一一道来.、利用等差（等比）数列的定义在数列 an中，若 anan 1anan 1q，q为常数），则数列an为等差（等比）数列.这是证明数列an为等差（等比）数更最主要的方法.如:6wordn为偶数(i)a2n 1求a2,解：（i） a2所以b1a114,a3 ；aia3n 1,2,3,.(d)判断数列14,3bn是否为等比数列，并证明你的结论.a3一,所以81-a21一 a4218 1- a416a3b3a5（2005北京

2、卷）设数列an的首项a1 a j ,且a4an猜想：bn是公比为证明如下：因为bn 1a2na2n1.，-bn, (n2所以bn是首项为a公比为评析：此题并不知道数列bn的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明,这是常规做法。例2 . ( 2005山东卷)已知数列an的首项a1 5,前n项和为sn,且 sn 1 2sn n 5(n n) (l)证明数列an 1是等比数列；(n)略.解：由已知sn 1 2sn n 5(n n )可得n 2时，sn 2sn 1 n 4两式相减 得：sni sn 2(sn 0 1) 1 ,即 hn 1 2% 1 ,从而烝 1 1 2(% 1),当 n1时，s2

3、 2s1 1 5,所以a2 s12al6,又阚5 ,所以a211 ,从而a212(a11).a 1故总有 an 1 1 2(an 1), n n ,又 a1 5, a1 1 0,从而上一 2 . an 1所以数列an 1是等比数列.评析：这是常见题型，由依照含sn的式子再类似写出含 sn 1的式子，得到an 1 pan q 的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论.本题若是先求出通项an的表达式，则较繁.注意事项：用定义法时常采用的两个式子 an an 1 d和an 1 an d有差别，前者必 须加上“n2”，否则n 1时a0无意义，等比中一样有：n2时，有旦 | q (常 an 1r11数

4、0);n n时，有aw q (常数 0).an11二.运用等差或等比中项性质2 , anan22an1an是等差数列，anan 2 an 1(an0)an是等比数列，这是证明数列an为等差(等比)数列的另一种主要方法.例3. (2005江苏卷)设数列an的前项为sn,已知a1 1, a2 6, a3 11,且(5n8)sn1 (5n2)snanb,n1,2,3,|,其中a,b为常数.(1)求a与b的值；(2)证明数列an为等差数列；(3)略.解：(1)由a11,a26,a3 11,得 s1,s27,s318 .把 n1,2 分别代入(5n 8)sn 1 (5n 2)5nana b2a b28,

5、4820n 8,即(n)由(i)知，5n(sn1 sn) 8sn1 2&5nan i 8sn 12s 20n 8 ,又 5(n 1)an 2 8sn 2 2sn 120(n 1) 8 .-得，5(n1)an2 5nan18an22an120,即(5n 3)an 2(5n2)4 120.又(5n 2居 3(5n7电 220.-得，(5n 2)(，3 2a0 2 a01) an 3an 2 an 2an 1hi a3因此，数列 an是首项为1,公差为5的等差数列.评析：此题对考生要求较高，通过挖掘sn的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算.例4.（高考题改编）正数

6、数列七和bn满足：对任意自然数 4七，4，an 1成等差数列，bn，an1，bn 1成等比数列.证明：数列扃为等差数列.证明：依题意，an 0, bn 0,2bn an an 1 ,且 hn 1 jba 1 ,an jbn e（n 2）.2bnbn 1b1,rbn1.由此可得2匹 府 府.即加二 瓜 西二（n?2）.数列质 为等差数列.评析：本题依据条件得到 an与bn的递推关系，通过消元代换构造了关于质的等差数列，使问题得以解决.n k时命三.运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“题成立”到“ n k 1时命题成立”要会过渡.an例5 . (2004全国

7、高考题)数列an的前n项和记为snn 21sn(nn1,2, ) .证明：数列snn是等比数列.证明：由a1, n 2-，”1, an 1 sn(n 1,2,n2 1)，知 a23a1ssn是首项为1, n公比为2的等比数列.卜面用数学归纳法证明：令bn(1)当 n2时，b2 26,成立.(2)当 n3时，s3aia2 a3 1 3 2(13)12,b3 42b2 ,成立.那么当综上知k时命题成立，即n k 1时，bkssn是首项为1, n例6 .( 2005浙江卷)设点bk2bk 1 .sk 1skak 1k 1 k 1sk/sk12 一-sk 2bk,命题成立. k公比为2的等比数歹u.a

8、n(xn，0) pn(xn，2n 1)和抛物线cn：yx2 anx bn(n 八，11,n),其中an2 4n 17, xn由以下万法得到：x1 1,点2n 1p2(x2,2)在抛物线ci : y2.一 、 一一xa1x b1上，点a (x1,0)到p2的距离是a1到c1上点的最短距离，点 pn 1(xn 1,2n)在抛物线 cn ： y x2 anxbn上，点an(xn,0)到pn 1的距离是an到cn上点的最短距离.(1)求x2及c1的方程.(2)证明xn是等差数列.解：(i)由题意得： a(1,0),c1:y x2 7x n.设点 p(x,y)是 c1 上任意一点，则 |ap| j(x

9、1)2 y2 j(x 1)2 (x2 7x b，2令 f(x) (x 1)2 (x2 7x b)2,则 f(x) 2(x 1) 2(x2 7x b1)(2x 7). 2由题意：f (x2) 0,即 2(x2 1) 2(x27x2 bi)(2x2 7) 0.2又 p2(x2,2)在 g 上，2 x2 7x2 b1,解得：x2 3心 14.，故c1方程为y x2 7x 14.(ii)设点 p(x, y)是 cn 上任意一点，则 1alp| j(x xn)2 (x2 * 0)2 令 g(x) (x xn )2 (x2 anx )2,2则 g (x) 2(x xn) 2(xanx bn)(2x an)

10、.由题意得 g(xn1) 0,即 2(xn1 xn) 2(xn12 a。4 1 4)(24 1 an) 02n2xn 1an xn 1bn,(xn1xn)2n(2xn1a)0(n1).即(12n1)xn1xn2%0(*)卜面用数学归纳法证明 xn 2n 1当n 1时，x11,等式成立.假设当n k时，等式成立，即xk 2k 1,则当 n k 1 时，由(*)知(1 2k 1)xk 1 xk 2kak012k又 ak2 4k 21nxk 1kak 2k 1.1 2k 1即当n k 1时，等式成立.由知，等式对 n n成立.xn是等差数列.评析：例5是常规的猜想证明题， 考查学生掌握猜想证明题的基

11、本技能、 掌握数列前n项和 这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法； 例6是个综合性比较强的题目， 通过求二次 函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明， 解法显得简洁明了， 如果直接 利用递推关系式找通项，反而不好作.四.反证法解决数学问题的思维过程， 一般总是从正面入手， 即从已知条件出发， 经过一系列的推 理和运算，最后得到所要求的结论， 但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去v1.0可编辑可修改考虑.如：例7.（2000年全国高考（理）设an bn是公比不相等的两等比数列，cn a。 bn .证 明数列cn不是等比数列.证明：设an bn的公比分别为p, q,

12、p q , cn an bn ,为证cn不是等比数 列只需证 c2事实上，c2 （ai p bq）2 a； p2 bi2q2 2 a1blpq（2,2、2 2,2 2, ,22、c3（aibi）（a3b3）（a bi）（apbq ）a pbi qabi（pq ）222, p q, p q 2pq ,又a1，b不为零，c2，故cn不是等比数列.评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力， 对逻辑思维能力有较高要求.要证cn不是等比数列，只要由特殊项（如c2 。k3）就可否定.一般地讲，否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性 .五.看

13、通项与前n项和法若数列通项an能表示成an an b（ a, b为常数）的形式，则数列 an是等差数列； 若通项an能表示成an cqn（c, q均为不为0的常数，n n ）的形式，则数列 an是等 比数列.若数列an的前n项和&能表示成sn an2 bn （a, b为常数）的形式，则数列 an等差数列；若 &能表示成sn aqn a（ a, q均为不等于0的常数且qwl）的形式， 则数列an是公比不为1的等比数列.这些结论用在选择填空题上可大大节约时间.例8. （2001年全国题）若sn是数列an的前n项和，sn n2,则an是（）.a.等比数列，但不是等差数列b .等差数列，但不是等比数列

14、c.等差数列，而且也是等比数列d.既非等比数列又非等差数列解析：用到上述方法，一下子就知道答案为b,大大节约了时间，同时大大提高了命中率.六.熟记一些常规结论，有助于解题若数列an是公比为q的等比数列，则（1）数列an an（为不等于零的常数）仍是公比为 q的等比数列； 6wordv1.0可编辑可修改(2)若灯是公比为q的等比数列，则数列%忖是公比为qq的等比数列；11(3)数列 是公比为1的等比数列； anq(4) an是公比为q的等比数列；(5)在数列an中，每隔k(k n )项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk 1 ;（6）an an 出 anan1 a2n 1

15、 a2n , a1a2a3, a4a5a6, a7a8a9,|0,10word等都是等比数列;若 m, n, p（m,n,p n )成等差数列时,am,an, ap成等比数列; sn, s2nsn, s3ns2n均不为零时，则sn,s2nsn, s3ns2n成等比数列;(9)若log ban是一个等差数列，则正项数列an是个等比数列.若数列an是公差为d等差数列，则(1) kan b成等差数列，公差为 kd (其中k 0, k, b是实常数)；(2) s(n 1)k skn , ( k n, k为常数)，仍成等差数列，其公差为k2d ；(3)若an bn都是等差数列，公差分别为 d1, d2,则an bn是等差数列，公差为 d1 d2;(4)当数列an是各项均为正数的等比数列时，数列 lg an是公差为lgq的等差数列；(5) m, n, p(m, n, p n )成等差数列时，am, an, ap成等差数列.例9.(96年全国高考题)等差数列an的前n项和为30,前2n项和为100则它的前3n项和为()a. 130b. 170c. 210d. 260解：由上面的性质得：s2n sn, s3n s2n成等比数列，故 2(s2