材料力学课件(刘鸿文版)5

1、 第十一章第十一章 交变应力交变应力 第十一章第十一章 交变应力交变应力 11-1 11-1 交变应力与疲劳极限交变应力与疲劳极限 11-2 11-2 影响持久极限的因数影响持久极限的因数 1 1、构件有加速度时动应力计算、构件有加速度时动应力计算 （1）直线运动构件的动应力）直线运动构件的动应力 g a K d 1 （2 2）水平面转动构件的动应力）水平面转动构件的动应力 2 2、构件受冲击时动应力计算、构件受冲击时动应力计算 （1 1）自由落体冲击问题）自由落体冲击问题 ) 2 11 ( st d h K （2）水平冲击问题）水平冲击问题 st d g v K 2 g a K n d 动响

2、应动响应= =Kd 静响应静响应 11-1 11-1 交变应力交变应力 疲劳极限疲劳极限 交变应力的基本参量交变应力的基本参量 在交变荷载作用下应力随时间变化的曲线，称为在交变荷载作用下应力随时间变化的曲线，称为应力谱应力谱。 随着时间的变化，应力在一固定的最小值和最大值之间作周期性的交替变化，随着时间的变化，应力在一固定的最小值和最大值之间作周期性的交替变化， 应力每重复变化一次的过程称为一个应力每重复变化一次的过程称为一个应力循环应力循环。 一个应力循环一个应力循环 t O min max 通常用以下参数描述循环应力的特征通常用以下参数描述循环应力的特征 应力比应力比 r r max mi

3、n r (2)(2)应力幅应力幅 minmax (3)(3)平均应力平均应力 m )( 2 1 minmaxm 一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 m 上叠加一个应力幅为上叠加一个应力幅为 的对称循环应力组合构成。的对称循环应力组合构成。 r = -1 ：对称循环：对称循环 ； r 0 ：拉拉循环：拉拉循环 或压压循环。或压压循环。 疲劳极限疲劳极限 将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验机上依次进行将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验机上依次进行r r = -1= -1 的常幅疲劳试验。各试样加载应力幅的常幅疲劳试验。各试样加载

4、应力幅 均不同，因此疲劳破坏所经历均不同，因此疲劳破坏所经历 的应力循环次数的应力循环次数N N 各不相同。各不相同。 以以 为纵坐标，以为纵坐标，以N N 为横坐标（通常为对数坐标），便可绘出该材料的应为横坐标（通常为对数坐标），便可绘出该材料的应 力力寿命曲线即寿命曲线即S-N S-N 曲线如图（以曲线如图（以40Cr40Cr钢为例）钢为例） 注注：由于在：由于在r r =-1=-1时，时， max max = = /2/2，故，故S-N S-N 曲线纵坐标也可以采用曲线纵坐标也可以采用 max max 。 。 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 550 650 750 85

5、0 N max/MPa 从图可以得出三点结论：从图可以得出三点结论： (1)(1)对于疲劳，决定寿命的对于疲劳，决定寿命的 最重要因素是应力幅最重要因素是应力幅 。 (2)(2)材料的疲劳寿命材料的疲劳寿命N N 随应力幅随应力幅 的增大而减小。的增大而减小。 (3) (3)存在这样一个应力幅，低于该应力幅，疲劳破坏不会发生，该应力幅称存在这样一个应力幅，低于该应力幅，疲劳破坏不会发生，该应力幅称 为为疲劳极限疲劳极限，记为，记为 -1 -1 。 。 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 550 650 750 850 N max/MPa 对低碳钢，其对低碳钢，其MPa500400

6、 b 其弯曲疲劳极限其弯曲疲劳极限 MPa220170)( b1 - 拉压疲劳极限拉压疲劳极限 MPa160120)( t1 - 对于铝合金等有色金属，其对于铝合金等有色金属，其S-NS-N曲线没有明显的水平部分，一般规定曲线没有明显的水平部分，一般规定 时对应的时对应的 称为称为条件疲劳极限条件疲劳极限，用，用 表示。表示。 76 0 10105N 0 1 N max 11-4. 11-4. 影响持久极限的因数影响持久极限的因数 1.1.构件外形的影响构件外形的影响 构件外形的突然变化，例如构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，将引起应力集中构件外形的突然变化，例如构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，将引

7、起应力集中 1 1 d K K 1 1 d K K 或或有效应力集中因数有效应力集中因数 理论应力集中因数理论应力集中因数 max n K 2.2.零件尺寸的影响零件尺寸的影响尺寸因数尺寸因数 1 1) ( d d )( 1 光滑零件的疲劳极限光滑零件的疲劳极限 1 试样的疲劳极限试样的疲劳极限 3.3.表面加工质量的影响表面加工质量的影响表面质量因数表面质量因数 1 1) ( 1 磨削加工（试样）磨削加工（试样） 1 其他加工其他加工 一般情况下，构件的最大应力发生于表层，疲劳裂纹也多于表层生成。表面一般情况下，构件的最大应力发生于表层，疲劳裂纹也多于表层生成。表面 加工的刀痕、擦伤等将引起

8、应力集中，降低持久极限。所以表面加工质量对加工的刀痕、擦伤等将引起应力集中，降低持久极限。所以表面加工质量对 持久极限有明显的影响。持久极限有明显的影响。 看表看表11.2 11.2 不同表面粗糙度的表面质量因数不同表面粗糙度的表面质量因数 查看表查看表11.1 11.1 尺寸因数尺寸因数 第十三章第十三章 能量法能量法 13-1 概概 述述 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生 变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能， 简称应变能。简称应变能。 物体在外力作用下发生变形，物体的变形物体在外力作用下发生变形，物体的变形

9、 能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移 上所做的功，即上所做的功，即 =W V 13-2 杆件变形能计算杆件变形能计算 一、轴向拉伸和压缩一、轴向拉伸和压缩 WV F F l l lF 2 1 EA lF F 2 1 EA lF EA lF N 22 2 2 l N x xEA xF Vd )(2 )( 2 二、扭转二、扭转 WV m m e M 2 1 pp e p e e IG lT IG lM IG lM M 222 1 2 2 lp x xIG xT Vd )(2 )( 2 三、弯曲三、弯曲 WV 纯弯曲：纯弯曲： 横力弯曲：横力弯曲： l

10、x xIE xM Vd )(2 )( 2 e M 2 1 IE lM M e e 2 1 IE lM IE lM e 22 2 2 13-3 变形能的普遍表达式变形能的普遍表达式 1 F 2 F 3 F 1 2 3 332211 2 1 2 1 2 1 FFFWV 即即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的 总和。总和。 )(xN )(xN )(xM)(xM )(xT )(xT LLPL N GI dxxT EI dxxM EA dxxF V 2 )( 2 )( 2 )( 22 2 所有的广义力均以静力方式，按一定比

11、例由所有的广义力均以静力方式，按一定比例由O增加至最终值。任一广义位移增加至最终值。任一广义位移 与与 整个力系有关，但与其相应的广义力整个力系有关，但与其相应的广义力 呈线性关系。呈线性关系。 i i F 例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 能原理求自由端能原理求自由端B的挠度。的挠度。 F x l 解：解： xFxM)( l EI lF x IE xM V 6 d 2 )( 322 B wFW 2 1 ，得由WV EI Fl wB 3 3 例题：悬臂梁在自由端承受集中力例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩及集中力偶矩M0作用。设作用。设EI为常

12、数，试求为常数，试求 梁的应变能。梁的应变能。 L F Me AB 解：解： 弯矩方程弯矩方程 FxMxM e )( 变形能变形能 EI LF EI FLM EI LM dxFxM EI dx EI xM V ee L e L 622 )( 2 1 2 )( 2222 2 2 L F M0 AB 当当F和和M0分别作用时分别作用时 EI LF V EI LM V e 62 32 21 VVV 21 用普遍定理用普遍定理 EI LM EI FL www e MAFAA 23 )()( 23 0 EI LM EI FL e MAFAA e 2 )()( 2 EI LM EI FM EI LF MF

13、wWV ee AeA 2262 1 2 1 2232 13-4 互等定理互等定理 ji 位移发生点位移发生点 荷载作用点荷载作用点 1 2 F1F2 F1 11 21 F2 12 22 F1 11 21 ，外力所作的功：，后作用先作用 21 FF 121222111 2 1 2 1 FFFVe ，外力所作的功：，后作用先作用 12 FF 212111222 2 1 2 1 FFFVe F2 12 22 F1 11 21 功的互等定理功的互等定理: 212121 FF 位移互等定理位移互等定理: ，则得若 21 FF 2112 例：求图示简支梁例：求图示简支梁C截面的挠度。截面的挠度。 1C w

14、 B2 21BC MwF解：由功的互等定理 IE lF MwF C 16 2 1 得： IE lM wC 16 2 1 由此得： F 例：求图示悬臂梁中点例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移处的铅垂位移 。 C 1C w B2 21BC MwF解：由功的互等定理 IE l F MwF C 2 2 2 1 得： IE Ml wC 8 2 1 由此得： F 13-5 卡氏定理卡氏定理 332211 2 1 2 1 2 1 FFFWV i F 1 F 2 F 3 F 1 2 3 i 若只给若只给 以增量以增量 ，其余不变，在，其余不变，在 作用下，原各力作用点将作用下，原各力作用点将 产生位移产生位移

15、 i F i F , 21i 变形能的增加量：变形能的增加量： iiii FFFFV 2211 2 1 i F 略去二阶小量，则：略去二阶小量，则： ii FFFV 2211 如果把原有诸力看成第一组力，把如果把原有诸力看成第一组力，把 看作第二组力，根据互等看作第二组力，根据互等 定理：定理： i F iiii FFFF 2211 所以：所以： ii FV i i F V 0 i F i i F V 变形能对任一载荷变形能对任一载荷Fi 的偏导数，等于的偏导数，等于Fi作用点沿作用点沿Fi方向的位移方向的位移 卡氏第二定理卡氏第二定理 推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构。推导过程使

16、用了互等定理，所以只适用线弹性结构。 横力弯曲： Li Lii i dx F xM EI xM dx EI xM FF V )()( ) 2 )( ( 2 桁架杆件受拉压： n j j jjN EA LF V 1 2 2 n j i jN j jjN i i F F EA LF F V 1 轴受扭矩作用： LiPi i dx F xT GI xT F V)()( 13-6 单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分 1 F 2 F C M x( ) Mx 0 ( ) M xMx( )( ) 0 1 F 2 F C C l x IE xM Vd 2 )( 2 l x IE xM Vd 2 )( 20

17、 0 l x IE xMxM Vd 2 )()( 20 1 1 F 2 F C 0 F 1 0 F C 1 0 F 1 F 2 F 作功： 0 F 0 V 作功：、 21 FF V 上又作功：在 0 F1 1 01 VVW 共做功 11 VW l x IE xMxM VVd 2 )()( 1 20 0 Mx EI x Mx EI x M x Mx EI x lll 2020 22 ( )( )( )( ) ddd 1 0 M x Mx EI x l ( )( ) d M x Mx EI x l ( )( ) 0 d M x Mx EI x l ( )( ) 0 d 莫尔定理莫尔定理 （莫尔积分

18、）（莫尔积分） M x Mx EI x l ( )( ) 0 d llpl NN x IE xMxM x IG xTxT x AE xFxF d )()( d )()( d )()( 00 0 对于组合变形： 注意：上式中 应看成广义位移，把单位力看成与广 义位移对应的广义力 例：试用莫尔定例：试用莫尔定 理计算图理计算图(a)所所示示 悬臂梁自由端悬臂梁自由端B 的挠度和转角。的挠度和转角。 F A B A B A B l x x x 1 1 xxMFxxM bB )(,)( )(,) 1 ( 0 所示如图截面作用一单位力在解： v M x Mx EI x B l ( )( ) 0 d l

19、x IE Fx 0 2 d EI Fl 3 3 1)(,)( )(,)2( 0 xMFxxM cB所示如图截面作用一单位力偶在 B l M x Mx EI x ( )( ) 0 d l x IE Fx 0 d EI Fl 2 2 13-7计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形 式的积分：式的积分： l x IE xMxM d )()( l xxMxMd )()( 对于等直杆，对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，可以提到积分号外， 故只需计算积分故只需计算积分 直杆的直杆的M0(x)图必定是直线或折线。图必定

20、是直线或折线。 tg)( xxM l l xxMx xxMxM d)(tg d)()( tg xC CM IE M x IE xMxM C l d )()( 顶点顶点 顶点顶点 2 3 lh 1 3 lh 二次抛物线二次抛物线 例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示悬臂梁自由端示悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。 L F IE M x IE xMxM w C l B d )()( 3 2 2 1 2 lFl IE IE Fl 3 3 Fl F 解（1）求自由端的挠度 Fl F m=1 (2) 求自由端的转角求自由端的转角 1 2 1 2 Fl IE B 顺时针 IE Fl 2 2 例：

21、试用图乘法求例：试用图乘法求所所示简支梁的最大挠度和最大示简支梁的最大挠度和最大 转角。转角。 q l ql 2 8/ l/4 M 32 5 823 22 2 max lqll IE w 5 384 4 ql EI 解解（1）简支梁的最大挠度简支梁的最大挠度 2 1 83 21 2 max ql l IE ql EI 3 24 ql 2 8/ （2）求最大转角）求最大转角 最大转角发生在两个支座处最大转角发生在两个支座处 例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示简支梁示简支梁C截面的挠截面的挠 度和度和A、B截面的转角。截面的转角。 CL12TU34 解：解： 28 1 2 Ml IE wC I

22、E lm 16 2 l / 4 A EI ml 1 2 1 3 ml EI6 顺时针 B EI ml 1 2 2 3 ml EI3 逆时针 例：试用图乘法求例：试用图乘法求所所示悬臂梁自由端示悬臂梁自由端B的的 挠度和转角。挠度和转角。 CL12TU35 解：解： 4 3 23 1 2 lqll IE wB ql EI 4 8 ql 2 2 B EI lql 1 32 1 2 ql EI 3 6 顺时针 ql 2 2 例：试用图乘法求图示悬臂梁中点例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的处的 铅垂位移。铅垂位移。 CL12TU36 解：解： m l IE wC 8 1 2 ml EI 2 8 例：

23、图示梁，抗弯刚度为例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载，承受均布载 荷荷q及集中力及集中力X作用。用图乘法求：作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的集中力作用端挠度为零时的X值；值； (2)集中力作用端转角为零时的集中力作用端转角为零时的X值。值。 CL12TU37 F 解：解：(1) 2123 2 23 2 2 1 32 aqlaFaaFal IE C 0 ql 2 8/ )(8 3 ala ql F F (2) 2 1 12 1 23 2 2 1 32 qlFaFal IE C 0 ql 2 8/ )32(4 3 ala ql F 例：图示梁的抗弯刚度为例：图示梁的抗弯刚度为

24、EI，试求，试求D点的点的 铅垂位移。铅垂位移。 CL12TU38 解：解： 3 2 2 3 2 aPa IE C Pa EI 3 例：图示开口刚架，例：图示开口刚架，EI=const。求。求A、B两两 截面的相对角位移截面的相对角位移 AB 和沿和沿P力作用线方向的力作用线方向的 相对线位移相对线位移 AB 。 CL12TU39 解：解： AB Pa EI 21 8 1 3 2 1 2 1 2 3 2 3 3 Pa EI AB 0 例：用图乘法求图示阶梯状梁例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转截面的转 角及角及E截面的挠度。截面的挠度。 CL12TU40 解：解： A Pa EI Pa EI

25、 2 2 1 2 5 6 1 2 1 6 2 2 1 2 Pa EI 2 1 2 3 2 2 3 1 2 1 3 3 IE Pa IE Pa E 13 12 3 Pa EI 例：图示刚架，例：图示刚架，EI=const。求。求A截面的水截面的水 平位移平位移 AH 和转角和转角A 。 CL12TU41 解：解： qa 2 qa / 2 qa qa 2 2 AH qa EI qa EI 44 1 4 2 3 1 3 5 8 3 8 第十四章第十四章 超静定结构超静定结构 第十四章第十四章 超静定结构超静定结构 14-1 14-1 超静定结构概念超静定结构概念 14-2 14-2 用用力法解超静定

26、结构力法解超静定结构 14-3 14-3 对称及反对称性质的利用对称及反对称性质的利用 14-1 14-1 超静定（静不定）结构概述超静定（静不定）结构概述 在超静定系统中，按其多余约束的情况，可以分为在超静定系统中，按其多余约束的情况，可以分为： 外力超静定：外力超静定： 内力超静定：内力超静定： 支座反力不能全由平衡方程求出；支座反力不能全由平衡方程求出； 外力超静定外力超静定系统和系统和内力超静定内力超静定系统。系统。 支座反力可由平衡方程求出，但杆件支座反力可由平衡方程求出，但杆件 的内力却不能全由平衡方程求出的内力却不能全由平衡方程求出. . 例如例如 解除多余约束，解除多余约束，代

27、之以多余约束反力然后代之以多余约束反力然后 根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程 进行求解。进行求解。 我们称我们称与多余约束对应的约束力为多余约束力。与多余约束对应的约束力为多余约束力。 解除多余约束后得到的静定结构，解除多余约束后得到的静定结构，称为原称为原 超静定系统的超静定系统的基本静定系统基本静定系统或或相当系统相当系统。 （本章主要学习用（本章主要学习用力法解超静定结构力法解超静定结构） 求解超静定系统的基本方法是：求解超静定系统的基本方法是： 14-2 14-2 用力法解超静定结构用力法解超静定结构 在求解超静定结构时，在求解超静定结构

28、时， 我们把这种以我们把这种以“力力”为为未知量未知量，求解超静定的方法，求解超静定的方法 称为称为“力法力法”。 一般先解除多余约束，一般先解除多余约束， 代之以多余约束力，代之以多余约束力，得到基本静定系，得到基本静定系， 再根据再根据变形协调条件变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。得到关于多余约束力的补充方程。 该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁解除多余支座解除多余支座B，并以多余约束，并以多余约束X1代替代替 若以若以 表示表示B端沿竖直方向的位移，则：端沿竖直方向的位移，则： 1 是在是在F单独作用下引起的位移单独作用下引起的位移

29、F1 是在是在X1单独作用下引起的位移单独作用下引起的位移 1 1X 1 111 0 (*) FX 例如：例如： 对于线弹性结构，位移与力成正比，对于线弹性结构，位移与力成正比，X1是单位力是单位力“1”的的X1倍，故倍，故 也是也是 的的X1倍，即有倍，即有 1 1X 11 1 1111X X 0 1111 F X 若：若： EI l 3 3 11 )3( 6 2 1 al EI Fa F 于是可求得于是可求得 )3 ( 2 3 2 1 al l Fa X 所以（所以（*）式可变为：）式可变为： 例例14.114.1：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆

30、 EI=EI=常数。常数。 EI a aa aa EI3 4 3 2 2 1 3 2 2 11 EI qa a qa EI P 22 1 43 1 8 3 0 11111 qa XX P 得由 8 3 , 0 qa YX BB 逆时针 8 , 8 11 , 0 2 qa M qa YX AAA 解：解： 例例14.214.2：两端固定的梁，跨中受集中力作用，设梁的抗弯刚度：两端固定的梁，跨中受集中力作用，设梁的抗弯刚度 为为EIEI，不计轴力影响，求梁中点的挠度。，不计轴力影响，求梁中点的挠度。 EI l l EI 1 1 11 EI PlPl EI P 8 1 8 1 22 1 0 1111

31、 P X由 8 1 Pl X 得 2 33 8 2 4816192 C Pl l PlPl w EIEIEI 解：解： 例例14.314.3：求图示刚架的支反力。：求图示刚架的支反力。 EI aaa EI3 2 3 2 2 2 32 11 EI qaa a qa EI P 24283 21 42 1 0 1111 P X由 16 1 qa X 得 16 9 , 16 qa Y qa X BB 16 7qa YA 解：解： , 16 qa X A 上面我们讲的是只有一个多余约束的情况！上面我们讲的是只有一个多余约束的情况！ 那么当多余约束不止一个时，力法方程是什么样的呢？那么当多余约束不止一个时

32、，力法方程是什么样的呢？ 0 321 0 11111 321 PXXX 0P XXX 0 23232221212 P XXX 0 33332321313 P XXX 由叠加原理：由叠加原理： 同理同理 变形协调条件变形协调条件 ： 表示表示 作用点沿着作用点沿着 方向的位移方向的位移 i i X i X 0 0 0 2211 22222121 11212111 nFnnnnn Fnn Fnn XXX XXX XXX 力法正则方程：力法正则方程： 矩阵形式：矩阵形式： 0 2 1 2 1 21 22221 11211 nF F F nnnnn n n X X X 表示沿

33、着表示沿着 方向方向 单独作用时所产生的位移单独作用时所产生的位移 i X1 i X ii 表示沿着表示沿着 方向方向 单独作用时所产生的位移单独作用时所产生的位移 1 j X ij i X 表示沿着表示沿着 方向载荷方向载荷F单独作用时所产生的位移单独作用时所产生的位移 iF i X d iF iF l M M x E I d ij ij l M M x E I 则则 ： d ii ii l M M x E I 1 i X 引起的弯矩为引起的弯矩为 引起的弯矩为引起的弯矩为 载荷载荷F引起的弯矩为引起的弯矩为 i M j M F M 1 j X 设：设： 对称性质的利用：对称性质的利用： 对

34、称结构：对称结构：若将结构绕对称轴对折后，若将结构绕对称轴对折后， 结构在对称轴两边的部分将完全重合。结构在对称轴两边的部分将完全重合。 14-3 14-3 对称及反对称性质的利用对称及反对称性质的利用 对称载荷：对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷完将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷完 全重合（即对折后载荷的作用点和作用方向重合，且作用力的全重合（即对折后载荷的作用点和作用方向重合，且作用力的 大小也相等）。大小也相等）。 反对称载荷：反对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷 作用点重合、作用力大小相等、但是作用

35、方向相反。作用点重合、作用力大小相等、但是作用方向相反。 当对称结构上受对称载荷作用时，当对称结构上受对称载荷作用时， 0 32232112 于是正则方程可化为于是正则方程可化为 0 222 3333131 1313111 X XX XX F F 在对称面上反对称在对称面上反对称内力内力等于零等于零。 对称结构在对称载荷作用下的情况：对称结构在对称载荷作用下的情况： 用图乘法可证明用图乘法可证明 可得可得： 对称结构在反对称载荷作用下的情况：对称结构在反对称载荷作用下的情况： 同样用图乘法可证明同样用图乘法可证明 当对称结构上受反对称载荷作用时，当对称结构上受反对称载荷作用时， 在对称面上对称

36、内力等于零。在对称面上对称内力等于零。 0 32232112 可得可得： 于是正则方程可化为于是正则方程可化为 F X XX XX 2222 333131 313111 0 0 例例14.4:14.4:平面刚架受力如图，各杆平面刚架受力如图，各杆 EI=EI=常数。试求常数。试求C C处的约束力及处的约束力及 A A、B B处的支座反力。处的支座反力。 EI aaa EI33 2 2 1 32 11 EI qaqaa EI P 1682 1 422 1 :由力法正则方程得：0 1111 P X ， 16 3qa X C ，0 C Y0 C M 16 3 1 qa X , 16 3 )()( q

37、a XX BA 2 qa YY BA 16 )()( 2 qa MM BA 逆时针顺时针 解：解： 例例14.514.5：等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及：等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及 其作用位置。其作用位置。 PPQ 2 2 45cos 解：载荷关于对角线解：载荷关于对角线ACAC和和BDBD反对称反对称 由平衡条件可得：由平衡条件可得： )( 2 maxmax 作用点处发生在外载荷 PM Pa M 附录附录I I 平面图形的几何性质平面图形的几何性质 I-1 I-1 静矩和形心静矩和形心 I-2 I-2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径 附录附录I I平

38、面图形的几何性质平面图形的几何性质 I1 静矩和形心静矩和形心 dA y y z z O Sy A z A d ,Sz A y A d 1.1.静矩静矩 形心坐标：形心坐标： A Az z A Ay y AA d , d C y y z z O 静矩和形心坐标之间的关系：静矩和形心坐标之间的关系： A S z A S y y z C y y z z O AzSAyS yz , 例：计算由抛物线、例：计算由抛物线、y轴和轴和z轴所围成的平面图轴所围成的平面图 形对形对y轴和轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。轴的静矩，并确定图形的形心坐标。 zh y b 1 2 2 y z O zh y b

39、1 2 2 y dy b h S z A y A 2 d 解：解： Sy A z A d 1 2 1 0 2 2 2 2 b h y b yd yh y b y b 0 2 2 1d y z O 4 15 2 bh b h 2 4 AA A d 形心坐标为: 8 3 3 2 4 2 b bh bh A S y z 5 2 3 2 15 4 2 h bh bh A S z y 0 2 2 1 b h y b yd 2 3 bh 例：确定图示图形形心例：确定图示图形形心C的位置。的位置。 解：解： A S y z mm7 .39 7001200 510706012010 A S z y 10120

40、5701045 1200700 19 7 . mm 例：求图示阴影部分的面积对例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。轴的静矩。 Sb h aa ha y 242 解：解： b h a 24 2 2 I-2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径 一、惯性矩一、惯性矩 IyAIzA z A y A 22 dd, Ad y y z z O 工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与 某一长度平方的乘积，即某一长度平方的乘积，即 分别称为平面图形对分别称为平面图形对y轴和轴和z轴的惯性半径轴的惯性半径ii yz 、 IA i yy 2 或i I A y y IAii I

41、A zzz z 2 或 IA p A 2 d 222 yz III pyz 二、极惯性矩二、极惯性矩 dA y y z z O 例：求图示矩形对对称轴例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。的惯性矩。 解：解： IzA y A 2 d z dz z b z h h 2 2 2 / / d bh 3 12 例：求图示圆平面对例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。轴的惯性矩。 I d p 4 32 II yz III yzp 惯性积惯性积 Iyz A yz A d dA y z z O y 如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴 是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性

42、积是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积 必等于零。必等于零。 I yz 0 z y dAdA 几个主要定义几个主要定义: (1)主惯性轴主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐当平面图形对某一对正交坐 标轴标轴y0、z0的惯性积的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴时，则坐标轴 y0、z0 称为主惯性轴。称为主惯性轴。 因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标 轴一定是平面图形的主惯性轴。轴一定是平面图形的主惯性轴。 (2)主惯性矩主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的平面图形对任一主惯性轴的 惯性矩称为主惯性矩。惯性矩称为主惯性矩。 (3)形心主惯性轴形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为过形心的主惯性轴称为 形心主惯性轴。形心主惯性轴。 可以证明可以证明:任意平面图形必定存在一对相任意平面图形必定存在一对相 互垂直的形心主惯性轴。互垂直的形心主惯性轴。 (4)形心主惯性矩形心主惯性矩 平面图形对任一形心主平面