材料力学8(24)第八章4-5节1

1、1 1、扭转变形、扭转变形 受力特点及变形特点；受力特点及变形特点； 截面法计算扭矩（扭矩的正负号规定），画截面法计算扭矩（扭矩的正负号规定），画 扭矩图。扭矩图。 前课回顾前课回顾 2、 薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的 计算公式：计算公式： R T 2 2 0 P GI lT I T p 3、剪切胡克定律剪切胡克定律 4、圆杆扭转时横截面上的切圆杆扭转时横截面上的切 应力（公式的推导与应用）应力（公式的推导与应用） 55、 圆杆扭转时的变形圆杆扭转时的变形 相对扭转角相对扭转角 前课回顾前课回顾 G 低碳钢试件：低碳钢试件： 沿横截面断开。沿横截面断开。 铸铁试

2、件：铸铁试件： 沿与轴线约成沿与轴线约成45 的的 螺旋线断开。螺旋线断开。 因此还需要研究斜截面上的应力。因此还需要研究斜截面上的应力。 四、斜截面上的应力四、斜截面上的应力 x M T A 单元体单元体: 微小的正六面体微小的正六面体 在圆杆的表面在圆杆的表面 A点取出一个点取出一个单元体单元体 , 单元体单元体 左左, 右右 侧面属于杆的横侧面属于杆的横 截面截面, 顶面和底面属于杆的径向截面顶面和底面属于杆的径向截面 , 前前, 后面属于杆的切向平面后面属于杆的切向平面 x M T A d a bc d a bc 研究于前后面垂直的任意斜截面研究于前后面垂直的任意斜截面 de 上的应力

3、上的应力 da b c d a bc e d c e 假设假设 de 的面积为的面积为 dA dc 的面积为的面积为 dAcos ce 的面积为的面积为 dAsin d a bc n x e d c e t n x 0cos)sin(sin)cos( dAdAdA 0sin)sin(cos)cos( dAdAdA 0t 0n )cos( dA )sin( dA dA dA e d C t n e b e t n x 2sin 2cos 斜截面上应力的计算公式斜截面上应力的计算公式 d C e d a bc n x e n t x 2sin 2cos 0 45 0 45 0 max 45 0 m

4、in a b c d x n f e 在在 = - 450 和和 = + 450 的两斜截面上正应力分别为的两斜截面上正应力分别为 中的中的 最大值和最小值，它们的绝对值都等于最大值和最小值，它们的绝对值都等于 ，但一个为拉应力，但一个为拉应力， 一个为压应力。且在这两截面上切应力等于零。一个为压应力。且在这两截面上切应力等于零。 以上结论是以上结论是纯剪切应力状态纯剪切应力状态的特点，并不限于等直圆杆的特点，并不限于等直圆杆 扭转时这一特殊情况。扭转时这一特殊情况。 45 结论：结论： 如果材料的如果材料的抗剪切能力差抗剪切能力差，构件就，构件就沿横截面发生破坏沿横截面发生破坏 （塑性材料）

5、；（塑性材料）； 如果材料的如果材料的抗拉压能力差抗拉压能力差，构件就，构件就沿沿45450 0斜截面发生破坏斜截面发生破坏 （脆性材料）。（脆性材料）。 84 强度条件和刚度条件强度条件和刚度条件 一、强度条件一、强度条件 对于等截面杆，切应力最大的点（危险点）在扭矩最大的横截对于等截面杆，切应力最大的点（危险点）在扭矩最大的横截 面的边缘处。面的边缘处。 强度条件为危险点的切应力，即杆中最大的工作应力不超过强度条件为危险点的切应力，即杆中最大的工作应力不超过 材料的许用应力。材料的许用应力。 max 对于等截面杆强度条件为对于等截面杆强度条件为 max W T P max W T P 强度

6、条件可以解决三方面的问题强度条件可以解决三方面的问题 强度校核强度校核 选择截面选择截面 计算许可荷载计算许可荷载 二、刚度条件二、刚度条件 刚度要求扭转角沿杆长变化率刚度要求扭转角沿杆长变化率 （ = d /dx )的最大值的最大值 max 不不 超过某一规定的许用值超过某一规定的许用值 。 刚度条件为刚度条件为 )/( 180 0max max m GI T P 例题例题：一实心圆截面传动轴，其直径：一实心圆截面传动轴，其直径 d = 40 mm ，所传递的功率，所传递的功率 为为30KW，转速为，转速为 n = 1400r/min，该轴由，该轴由 45 号钢制成，许用切号钢制成，许用切

7、应力应力 = 40 MPa，切变模量切变模量 G = 8 104MPa，单位长度轴的许单位长度轴的许 用扭转角用扭转角 = 2（0 /m）。试校核轴的强度）。试校核轴的强度和刚度。和刚度。 解：先计算扭转力偶矩解：先计算扭转力偶矩 . /min 9.55204. kW kN m r N m P M n mNMT.204 3 .16 16 3 max MPa d T W T P mNMT.204 00 4 max p 180180 0.58m 2/ dGI 32 TT m G 此轴对强度条件和刚度条件均满足。此轴对强度条件和刚度条件均满足。 例题例题：一传动轴如图所示，其转速：一传动轴如图所示，

8、其转速 n = 300r/min ，主动轮，主动轮 A 输入输入 的功率为的功率为P1 = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，若不计轴承摩擦所耗的功率， 三个从动轮三个从动轮 B， C， D 输出的功率分别为输出的功率分别为 P2 = P3 = 150 kW ， P4 = 200 kW。该轴是用。该轴是用 45 号钢制成的空心圆截面杆，其内外号钢制成的空心圆截面杆，其内外 径之比径之比 = ，材料的许用切应力，材料的许用切应力 = 40 MPa ，切变模量，切变模量G = 8 104 MPa ， 单位长度杆的许用扭转角单位长度杆的许用扭转角 = 0.3(0)/m，试作轴的扭试作轴的扭

9、矩图，并按强度条件和刚度条件选择轴的直径。矩图，并按强度条件和刚度条件选择轴的直径。 A BC D n P1 P2P3 P4 A BC D n P1 P2P3P4 解：计算轴上的外力偶矩解：计算轴上的外力偶矩 mkN n P M .9 .1555. 9 1 1 kN.m. MM 784 32 mKN M .37. 6 4 B M2 ABC D M2 M3 M1 M4 1 1 T1 在在 BC 段内，假设段内，假设 T1 为正值为正值 mKN. MT 784 21 结果为负号，说明结果为负号，说明 T1 应是负值扭矩应是负值扭矩 一、画扭矩图一、画扭矩图 BC M2 M3 CA 段：假设段：假设

10、 T2 为正值。为正值。 (-) 0, 0 232 TMMMx mKN T .56. 9 2 ABC D M2 M3 M1 M4 2 2 T2 ABC D M2 M3 M1 M4 3 3 T3 M4 D 在在 AD 段内段内 mKN. MT 376 43 mKN T 56. 9 max + 4.78 9.56 6.37 最大扭矩在最大扭矩在 CA段内。段内。 ABC D M2 M3 M1 M4 mKN. T 376 3 mKN. T 784 1 mKN T .56. 9 2 单位：单位：KN.m mKN T 56. 9 max 二、分别按强度条件和刚度条件选择轴的直径二、分别按强度条件和刚度条

11、件选择轴的直径 )1 ( 16 4 3 maxmax max D T W T P mmD109 180 )1 ( 32 180 4 4 maxmax max D G T GI T P mmD126 空心圆外径应取空心圆外径应取 D = 126mm，或更大。，或更大。 而内径而内径 d=D/2=63mm，或略小。，或略小。 在此例中，控制截面尺寸的是刚度条件。在此例中，控制截面尺寸的是刚度条件。 例题例题: 图（图（a）所示阶梯圆轴，）所示阶梯圆轴，AB段的直径段的直径d1 =120 mm ，BC 段的直径段的直径 d2 = 100 mm。扭转力偶矩为。扭转力偶矩为 mA = 22 kN. m，

12、 mB = 36 kN. m ， mC =14 kN. m 。已知材料的许用切应力。已知材料的许用切应力 = 80MPa，试，试校核该轴的强度。校核该轴的强度。 解解：作轴的扭矩图（图作轴的扭矩图（图b) + 22 14 (b) 单位：单位：KN. m 虽然虽然 T1 T2 ，但是，但是d1 d2 ， 因此要分别校核该两段轴的强度。因此要分别校核该两段轴的强度。 max p max T W AB C (a)mA mB mC 3 11 1max33 1p1 22 10 64.84 (0.12 ) 1616 TT MPa dW 3 22 2max33 2p2 14 10 71.3 (0.1 ) 1

13、616 TT MPa dW 因此，该轴满足强度要求。因此，该轴满足强度要求。 + 22 14 (b) 单位：单位：KN. m AB C (a)mA mB mC 例题例题 ： 实心圆轴和空心圆轴（图实心圆轴和空心圆轴（图a、b）材料、扭转力）材料、扭转力 偶矩偶矩 m 和长度和长度 l 均相等，最大切应力也相等。若空心圆轴的内外均相等，最大切应力也相等。若空心圆轴的内外 径之比为径之比为 = 0.8 ，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比 及两轴的重量比及两轴的重量比。 解：设实心圆截面直径为解：设实心圆截面直径为 d1，空，空 心圆截面的内、外径分

14、别为心圆截面的内、外径分别为 d2、 D2 ; 又扭转力偶矩相等，则两轴又扭转力偶矩相等，则两轴 的扭矩也相等，设为的扭矩也相等，设为 T 。 l (a) d1 l (b) D2d2 2max1max 由已知由已知 p1p 2 WW 所以：所以： m ax 1m ax 2 p1p 2 , TT WW 3 1 p1 34 2 p2 16 (1) 16 d W D W 16 )1( 16 43 2 3 1 Dd 因此因此 194. 1 8 . 01 1 3 4 1 2 d D 解得解得 l (a) d1 l (b) D2d2 两轴材料、长度均相等，故两轴的重量比等于两轴的横两轴材料、长度均相等，故

15、两轴的重量比等于两轴的横 截面积之比。截面积之比。 512. 0)8 . 01 (194. 1 )1 ( 4 )( 422 2 1 22 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 d D d dD A A W W 说明：说明： 在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻， 即节省材料。即节省材料。 MM 由实验得出，当外力偶由实验得出，当外力偶 M 在某一范围内时，在某一范围内时， 与与 M（在数（在数 值上等于值上等于 T ）成正比。）成正比。 o T 85 等圆截面直杆扭转时的应变能等圆截面直杆扭转时的应变能 MM o T M W Ve 2 1 2 1GI Tl P GI l T P2 2 由功能原理：由功能原理：V = W M GI l T V P2 2 GI l T V P2 2 GI Tl P 2 2l GI V P 总结总结 1. 圆杆扭转时的强度条件：圆杆扭转时的强度条件： 2. 圆杆扭转时的刚度条件：圆杆扭转时的刚度条件： 强（刚）度条件可以解决三方面的问题：强（刚）度条件可以解决三方面的问题： 强（刚）度校核、选择截面、计算许可荷载。强（刚）度校核、选择截面、计算许可荷载。 3. 等直