双曲线抛物线知识点大总结绝对好和全

1、选彳1-1第二章2.3双曲线宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来攀大数学老师陈老师上门一对QQ:351855291双曲线=1(a . 0,b 0)标准方程（焦点在x轴）标准方程（焦点在y轴）22L 工=1（a . 0,b . 0） a b第一定义：平面内与两个定点 F1, F2的距离的差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的 点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。定义M MF/ 1MF2 =2a) 2a :二 FE第二定义：平面内与一个定点 F和一条定直线l的距离的比是常数e,当e1时, 动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线

2、的准线，常数 e （e1）叫做双曲线的离心率。范围x 户 a,yWR| y| a , x = R对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中 心原点O(0,0)隹声坐八 、八、一1-标Fi(-c,0)F2(c,0)E(0,p)F2(0,C)焦点在实轴上，c=Ja2+b2；焦距：F1F2I =2c顶点坐 标(-a,0) ( a,0)(0, -a,) (0 , a)离心率c , e = _(e 1)=a准线方 程2 a x = c2y$八一一, C准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的跑离： 巴 c顶点到 准线的 距离一一 f-、一、-2顶点A (A2)到准线1i (的距离为a上 c一

3、，2顶点A (A2)到准线l2 (L)的距离为2+ac隹点至| 八、八、-J准线的距离2焦点F1 (F2)到准线1i (l2)的距离为c_土 c2焦点F1 (F2)到准线l2 (1i)的距离为T+c c渐近线 方程b y =x aay = x b共渐近 线的双 曲线系 方程22、匕=k (k#0)a2 b2224j=k (k0)a2 b21 .双曲线的定义 当|MF| |MF|=2a时，则表示点M在双曲线右支上；当 MF2 -MF1 =2a时，则表示点M在双曲线左支上； 注意定义中的“(小于|FF2 )”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。若2a=2c时，即MFi -MF2

4、 =讦2，当MF1 MF2=F1F2 ,动点轨迹是以F2为端点向 右延伸的一条射线；当MF2 -MF1 =F1F2时，动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一 条射线；若2a2c时，动点轨迹不存在.2 .双曲线的标准方程判别方法是：如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b,因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判 断焦点在哪一条坐标轴上.3 .双曲线的内外部2222(1)点 P(X0,y0)在双曲线 x2 y2 =1(a0,b0)的内部 U T1.a ba b2222(2)点P(xo,y0)在双曲线与-uMaAObAO)的外部u能-

5、多0,1y0,双曲线的焦点在x轴上；A B5 .求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定 系数法求解.宝剑锋从磨砺出梅花香自苦寒来攀大数学老师陈老师上门一对QQ:3518552916.离心率与渐近线之间的关系2222c a b . b -i +222a aa7.双曲线的方程与渐近线方程的关系22(1)若双曲线方程为 各-=1=渐近线方程:a2 b222x y 八一二二0 :二a b(2)若渐近线方程为y=士bxu x且 = 0=双曲线可设为 a a b2 x-2 ab y - - x.a2 y _ F - ,. b22若双曲

6、线与二a2、=1有公共渐近线, b22可设为三-ab2焦点在x轴上，九m0,焦点在y轴上).2与=，(:0) b222(4)与双曲线勺-4=1共渐近线的双曲线系方程是a b2222(5)与双曲线4=1共焦点的双曲线系方程是 一J、J=1a ba k b - k(6)当a=b时u离心率e = J2u两渐近线互相垂直，分别为 y=x,此时双曲 线为等轴双曲线，可设为x2 - y2 =儿；8.双曲线的切线方程22双曲线-，=1(a0,bA0)上一点1飞。)处的切线方程是 笔-券=1. a ba b22(2)过双曲线xy-号=1(a0,bA0)外一点P(xo,y)所引两条切线的切点弦方程 a b是笺-

7、誓=1. a b22(3 )双曲线二工 a bA x B y 0C切的条件是9.直线与双曲线的位置关系直线 1 ： y = kx+ m(m 丰 0)双曲线C:2 x-2 a= 1(a0,bA0)与2 22. 22A a -B b = c .2二=1 ( a0, b 0)b22 y_ b2二 (b2 - a2k2)x2 - 2a2mkx - a2m2 - a2b2 = 01)当b2 - a2k2 = 0 ,即k=B时，直线1与双曲线的渐进线.平行直线与双 a曲线C相交于一点；2)当 b2-a2k2w0,即 k#b 时，=(-2a2mk)2-4(b 2-a2k2)(-a 2k2)(-a 2n2-a

8、2b2) a AA0时，直线l与双曲线相交，有两个公共点 = 0时，直线l与双曲线相切，有且仅有一个公共点 Y 0时，直线l与双曲线相离，无公共点3)直线与双曲线只有一个公共点，则直线与双曲线必相切吗？为什么？(不一定)10.关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法 22直线 l： y = kx+m(m#0) 双曲线 C：斗4=1 (a0, b 0) a2 b2y = kx m222,21、ab联立方程法：二 (b2 - a2k2)x2 - 2a2mkx - a2m2 - a2b2 = 0设交点坐标为A(x1,y1), B(x2, y2),则有 0 ,以及x1+x2, x1x2,还可进一步求

9、出 y1 y2 = kx1 m kx2 m = k(x1 x2) 2m22y1y2 =(kx1 m)(kx2 m) =k x1x2 km(x1 x2) m在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长AB| = & +k2|x1 -x2| =由 +k2 V(x1 +x2)2 -4x1x2 =同在a选彳医1-1宝剑锋从磨砺出梅花香自苦寒来攀大数学老师陈老师上门一对QQ:351855291或 ab = Ji +-2 y1 一 y2 = Ji+(y + y2 1 一 4y1 y2 = V1 + k2 k kV k|a|b.中点 M(x0,y。)，x

10、0=j，y0= j 22点差法：设交点坐标为A(xi，yj, B(X2,y2),代入双曲线方程，得2 Xi -2 a2 yi b2二i22泣”_12 一 / 一a b将两式相减，可得(XiX2 )( Xi -X2)2 a2yi -y2b (Xi X2)二 J2,rXi -X2a (yi y2) a.在涉及斜率问题时，kAB = J（* +X2）a （yi y2）b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M （Xo，yo）, 22yi -丫2b *2Xob Xo一2 Xi -X2a *2yoa y0即kAB =辂，a V。2ii.焦点三角形面积公式：S&PG =,(8 =/FiPF2)tan

11、二2一、双曲线的定义1、第一定义：|PFi - PF2I =2a 。）。注意：（i）距离之差的绝对值。（2） 2a|FiF2|时，动点轨迹不存在。当a=。时，轨迹为两定点连线中垂线。2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数 e（e i）二、双曲线的标准方程（c2 =b2 +a2,其中|Fi F2|=2c,焦点位置看谁的系数为正数 ）2222焦点在 x 轴上：X2 _ y =i （a0, b。）；焦点在 y 轴上：-y-=i （a0, b0）a ba b焦点不确定时：mX2 +ny2 =i,（mn。）；与椭圆共焦点的双曲线系方程为：宝剑锋从磨砺出梅花香自苦寒来攀大数学

12、老师陈老师上门一对一i5i8i289i04 QQ:35i85529i2222与双曲线 与_=1共焦点的双曲线系方程是二_ =1 （_a2k0,b0）上，则过P0的切线方程是-02- 一202y = 1. a ba b22_x y右P0（xo,yo）在双曲线 Fq=1（a0,b0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为a bPi、P2,则切点弦P1P2的直线方程是x02x-02y=1. a b22, 2x yb5、双曲线 =1 （a0,bo）的焦点角形的面积为 S = a2 b2,F1PF2tan26、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相交.7、点P处的切线PT平分PF1F2在点P处 的内角.2

13、28、设双曲线4=1 （a 0,b 0）的两个焦点为Fi、F2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一 a2 b2点，在PF1F2 中，记NF1PF2 =& , ZPF1F2 = P / F1F2P = ,则有sin = =e-(sin -sin -) a22，一，x y110 42b2 a2b2-;(2) |OP2+|OQ2的取小值为存一2 ; (3) SPQ的取小值是2 a bb -ab -a9、已知双曲线 二彳=1 （ba 0）, O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP_LOQ. a b1 1（1）f221,Fi、F2 是匕=11620|OP| |OQ|的焦点，其上一点P到F1的距离

14、等于9则P到焦点F2的距离.172 .双曲线x2-y2=8的左焦点R有一条弦PQ&支上，若|PQ=7, F2是双曲线的右焦点，则 PFQ的周长是.2 x =14223 .过点（2, 2）且与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程是上224 .已知F1 ,F2是双曲线的左、右焦点,过Fi且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点，若AABF2 是正三角形，那么双曲线的离心率为%325 .过点A （0, 2）可以作4_条直线与双曲线x2- -=1有且只有一个公共点4选彳1-16 .过点P(4,4且与双曲线X6-=1只有一个交点的直线有注16 92 x 7.若一92y求 S&PF2 =16、.

15、3求顶点A的轨迹匚=1 上点P满足| PF1 | | PF2 | = 64 (或/FiPF2=),1638 .动点与两定点连线斜率之积为正常数时，动点的轨迹为?4一 A， ，一一 一一39 .若B(5,0),C(5,0)是三角形ABC 的顶点，且sin B sinC = sin A5222210 .圆M与圆C1：(x+4) +y =2外切，与圆C2 :(x4) +y =2内切，求m轨迹11 .已知双曲线的渐近线方程是y=| ,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为_12求与2x2 +y2 =8有公共焦点的双曲线，使它们交点为顶点的四边形面积最大也80, b0),双曲线C的方程为xy2=

16、1. a b3整理得(1 3k2)x2-6kmx- 3m2-3= 0.1 - 3k2wo直线与双曲线有两个不同的交点，2( 2十1 3k2) o可得m23k2 1且k2三设 M(x1，y1), N(x2, 丫2), MN 的中点为 B(x, y).宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来攀大数学老师陈老师上门一对QQ:3518552916km贝 U x1 +x2=:12 1 - 3k_ x + x2 _ 3km2 x= 2 =1-3k2y0 = kx0 + m =m1-3k2.由题意，ABXMN, , kAB =m 2+ 11 -3k3km1 3k2k(kwQ mw0.)整理得

17、 3k2=4m+1 将代入，得m2 4 m 0mv 0 或m4.又 3k2=4m+ 10(kw 0)即1 m-4.m的取值范围是1 c、4, 0 ,U (4, + 8).19.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2, 0),右顶点为( 233中O为原点).求k的取值范围.(_工3) = (3,1)33(其2219直线l： y=kx+1与双曲线C： 2x -y =1的右支交于不同的两点A、 Bo(I)求实数k的取值范围；(n)是否存在实数 k ,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 出k的值。若不存在，说明理由。C的右焦点F?若存在,解：(I)将直线l的方程y = kx+1代入双曲线C的方程2x2

18、 - y2 =1后,整理得 22(k2 -2)x2 +2kx + 2=0. 依直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故 解得k的取值范围是-2 k -v,2(n)设Xix2A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2 ,y2)，则由式得2kD假设存在实数k,使得以线段 AB为直径的圆经过双曲线x2 x2 = -2.k -2的右焦点F (c,0).则由FAFB得：(Xi -c)(X2 -c) y* =0.即(x1 -c)(x2 -c) (kx1 1)(kx2 1) =0.整理得(k2 +1)x1x2 + (k -c)(x1 + x2) + c2 +1=0.df把式及c = 代入式化简得 5k2 2

19、 6k - 6 = 0.266 Tl 6-6斛得k = -或k =可知k2,-行)(舍去)使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点.520.已知两定点F1(拒,0), F2(J5,0)，满足条件 PF21 -pFi1 = 2的点P的轨迹是曲线E,直线y= kx1与曲线E交于A、B两点。(I )求k的取值范围;(n)如果器|=6点且曲线E上存在点C,使膘(I)由双曲线的定义可知，曲线求m的值和AABC的面积SoE是以F1 (-72,0 )尸2(石,0 )为焦点的双曲线的左支,且 c = J2, a=1,易知 b=1,故曲线E的方程为x2y2=1（x0）y = kx _ 1设A（x1，y1

20、） B（x2,y2 ）,由题意建立方程组 2 22x -y =122消去y ,得（1 -k ）x +2kx -2=0,又已知直线与双曲线左支交于两点A,B ,有21 -k2 -022U2k -8 1 -k20-2k八x1 x2 - 2 0 01 -k- 2x1x2 =2 01 2 1 -k2解得八2 :二k ： -1AB-1k2 x1 -x2=21 k2 2-k2221-k2二6、, 3整理后得一 42 一 一25.228k -55k +25=0 . k =或 k7.5, 一 、.5故直线AB的方程为Xx+y+1=02+ I-2-4设 Cloy。)，由已知 OA + OB = mOC ,得(k

21、,W)十(x2, y2 )=( m%, my)x1 x2 y1 y2-mx0, my0 二,又 xix2 =2k2 -14.512k22y2=kx1 x2 -2=匚-2=8，点将点C代入E的方程,8064不合题意但当m = Y时，所得的点在双曲线的右支上, . m =4 ,点C的坐标为（-75, 2 ）C到AB的距离为AABC 的面积 S =1M 66父1 = V3 23-12抛物线焦点弦性质总结30条基础回顾1. 以AB为直径的圆与准线 L相切;22. X(X2 = P-;43. yLy2 - -p2 ；4. ACB =90；;5. . AFB =90：;6. AB=Xl+X2+p=2(X3

22、 子房7.8.9.10.11.12.13.112af| |bf| 一p;_ _ _A。B三点共线;_ _ 日。A三点共线;oP2S AOB =；2sin 二S2 AOBABP 3 :(2)3（定值）PAF =; BF1 一 cos 二P1 cos 二BC垂直平分B F ；选彳1-1宝剑锋从磨砺出梅花香自苦寒来攀大数学老师陈老师上门一对一14. AC垂直平分A F ;15. C F _LAB ；16. AB 至2P ;1117. CC =AB = ( AA + BB)； 22dO P18. KAB=;y319. tan =-y2; X2-2220. AB =4AF BF ;121. CF =-A

23、B.222. 切线方程 y0y = m(x0 +x)性质深究)焦点弦与切线1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有 何特殊之处？结论1:交点在准线上先猜后证：当弦AB_Lx轴时，则点P的坐标为p,0 ；在准线上.0)焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，AA1 1 l ,BB1 _L l ,过A, B的切线相交于 P, PQ与抛物线交于点 M则有结论6PALPB结论7PN AB结论8 M平分PQ结论9 PA平分/ AAB PB平分P B1BA结论io网卜B2=PF选彳1-1结论 11 S PAB min = p2)非焦点弦与切线思考：当弦 AB不过焦点，切线交于 P点时,

24、 也有与上述结论类似结果：结论12小、2 一y y2， yp =2p2结论13 PA平分/ A1AB，同理PB平分/ BiBA结论 14 . PFA = . PFB结论15点M平分PQ- -2结论 16 FA FB =PF相关考题1、已知抛物线x2=4y的焦点为F, A, B是抛物线上的两动点， 且AF = KFB (九0),过A, B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M(1)证明：FM，AB的值；(2)设 MBM的面积为S,写出S=fGC的表达式，并求 S的最小值.22、已知抛物线C的万程为x =4y,焦点为F,准线为l ,直线m交抛物线于两点 A, B；(1)过点A的抛物线C的切线与y轴交

25、于点D,求证：AF = DF ;(2)若直线 m过焦点F,分别过点 A, B的两条切线相交于点 M求证：AML BM且点M 在直线l上.3、对每个正整数n, An(Xn,yn )是抛物线x2=4y上的点，过焦点 F的直线FA交抛物线于另一点 Bn(Sn,tn ), (1)试证：Xn 岛=一4 (n1)(2)取Xn =2n,并G为抛物线上分别以 A与B为切点的两条切线的交点，求证：FC1 + FC2 + FCn =2n 2 + +1 (n 1)抛物线的一个优美性质几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自 然地想得到有关这个几何图形的美妙的性质， 作为几何中的圆锥曲线的研

26、究，正 是这方面的一个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学 美的认识，起着相当重要的作用。因此，在研究圆锥曲线的过程中，有意识地得 到一些有关圆锥曲线的几何性质并且加以归纳，并在教学中与学生一起进行一些 可行的研究，一方面，作为高考命题也会往这个方向上尝试，另一方面，作为新 课程的一个理念，让学生进行一些学有余力的研究，提高学生学习数学的兴趣， 提高学生自己研究问题的能力也很有帮助。 本人从一个在教学中学生遇到的习题 结合该知识点有关的一些性质，并结合高考的热点题对这一性质作了一些研究。题：抛物线y2=2px (p0)的准线与x轴交于Q点，过点Q作斜率为k的直 线L。则“直

27、线L与抛物线有且只有一个交点”是“ k=1”的条件。本题设计意图是考查学生对于直线与抛物线有且只有一个交点的问题的了 解，要求学生掌握直线与抛物线相切时是只有一个交点，还有当直线与抛物线的 对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，因此，经过简单的验证可知道上 题的答案是必要不充分条件。结合抛物线的下面的性质及上题的图形，我们发现了一些共同点。yBAiA图2POF性质1:已知AB是经过抛物线y2=2pX (p0)的焦点F的弦，则以,AB为直径y图1的圆与抛物线的准线相切。证明：由图 2可知，BF=BB, AF=AA, 2PP=AA+BB。所以 2PP=AR其中图1是图2的一个特例，即当焦点弦是

28、通径时，图 2即变成了图1。这 就引导我们思考在图2中的两条直线P1A、RB是否也是抛物线的两条切线，这样 我们得出了抛物线的一个性质：性质2:已知AB是经过抛物线y2=2pX (p0)的焦点F的弦，则以A、B为切点的两条切线的交点P落在其准线上。证明：设 A(X1, yO , B(X2, y2) 点A在抛物线上：y12=2pX1点B在抛物线上：y22=2pX2(X, (1)y)过点A的切线方程: 过点B的切线方程:yy尸pyy2=p(X+X1)(X+X2)(4)直线AB经过点F:X1y1_p2y2x -卫X22(5)将（1）式与（2）式分别代入（3）、（4）、（5）式，得到22yy尸p (x

29、+-yL)(3 )yy2=p (x+)(4 )2p2pyiy2=-p2(5，)因为点P (x, y)的坐标满足(3 )、(4)，所以yi、y2可视为是方程yt=p（x+）的两根，因此由韦达定理可得 yiy2=-p2=2pxo gp x=- - 02p2所以点P的轨迹为抛物线的准线。从上面的证明中我们可以看出，当A、B两点的坐标满足某种条件时，则以A、 B为切点的两条切线的交点一定落在某条固定的直线上。因此，我们更进一步地 得出了更好的性质：性质3:已知AB是经过抛物线y2=2px （p0）的对称轴（即x轴）上一定点 P （m, 0） （m0的弦，则以A B为切点的两条切线的交点 Q的轨迹是一条

30、直线 x=-m。证明：略。对于上述性质的得出，我们使用了抛物线上已知切点坐标的切线方程的写法，但如果换一个角度看这个问题，我们也可以得出另一种形式的性质：性质3:动点P在直线x=-m上运动，过点P作抛物线的两条切线PA PB, 切点分别为A、B,连结AB,得到弦AB,那么弦AB过定点（m, 0）。证明：略。根据上面的讨论，我们得到了关于抛物线的一个性质，特别是对于抛物线的 切线以及抛物线中动弦中的定值问题的结合，在高考题的命题中也常有涉及。例1: （2007江苏高考第19题）如图，过C （0, c） （c0）作直线与抛物线 y=x2相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线y

31、+c=0交 于P、Qv奉（1）若OAOB=2,求c的值；（2）若P为线段AB的中点，求证：AQ为抛物线的切线；C (0, c)点B在抛物线上：y2=x22(2)（3）试问（2）的逆命题是否成立。解：（1）设 A （xb y1），B （x2, v2点A在抛物线上：y1=x12（，直线AB经过点C: y1c=y2cx1x2将（1）式与（2）式分别代入（3）式，得到x1x2=-c , y1y2=c2由 OA OB = x 1x2+y1y2=2,彳3 c=2。（2） P为线段AB的中点，得点Q的坐标为（上上迄，-c）22由AQ的斜率k1=y1 c=2（x1 -x1x2）=2x1 ,过点A的切线的斜率为k2=2x1x1 x2x1 - x2x1 - 1 22所以直线AQ是抛物线的切线。宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来攀大数学老师陈老师上门一对QQ:351855291选彳1-1(3)过点A的切线方程为y-yi=2 Xi (x-x。与直线y=-c相交于点Q,将 y=-c 代入 y-y i