导数运算例题

1、2021/3/10讲解：XX1 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 2021/3/10讲解：XX2 基本初等函数的导数公式：基本初等函数的导数公式： (1)()0 ();cc 为为 常常 数数 );()()2( 1 为为任任意意实实数数 xx ;sin)(cos,cos)(sin)3(xxxx ;cotcsc)(csc,tansec)(secxxxxxx ;csc)(cot,sec)(tan)4( 22 xxxx 2021/3/10讲解：XX3 11 (6) (log), (ln ); ln a xx xax (5) ()ln , (e )e; xxxx aaa 2021/3/10讲解：XX

2、4 求导法则：求导法则： );()( ,)()2(为为常常数数cuccuvuvuuv ; 1 ,)3( 22 v v vv vuvu v u ;)()1(vuvu 2021/3/10讲解：XX5 例例1 1.sin2 23 的导数的导数求求xxxy 解解 2 3xy x4 例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 x xx 1 cossin2 .cos x .2sin 1 ln2cos2x x xx 2021/3/10讲解：XX6 例例3 3 .)1(sin 102 的导数的导数求函数求函数 xy

3、解解 )1(sin)1(sin10 292 xx dx dy xxx2cos)1(sin10 292 .cos)1(sin20 292 xxx 2021/3/10讲解：XX7 例例4 4 .)2( 2 1sin ln 3 2 的的导导数数求求函函数数 x x xx y 解解 ),2ln( 3 1 )1ln(sin 2 1 2 xxxy )2(3 1 1sin 12 2 cos 2 1 2 2 x xx x x x y 例例5 5 . 3 cos 1 sin 的导数的导数求函数求函数 x ey 解解 ) 3 (cos) 1 (sin 1 sin x ey x ) 1 ( 1 cos 1 sin

4、xx e x . 1 cos 1 1 sin 2 x e x x )2(3 1 1sin1 cos1 2 1 22 2 x xxx xxx 2021/3/10讲解：XX8 解解(3x4) = 3(x4) ， (5cos x) = 5(cos x) ，(cos x) = - - sin x， (ex) = ex， (1) = 0， 故故f (x) = (3x4 ex + 5cos x 1) = (3x4) ( (ex ) ) + (5cos x) (1) = 12x3 ex 5sin x . f (0) = (12x3 ex 5sin x)|x=0 = 1 又又(x4) = 4x3， 例例 6设

5、设 f (x) = 3x4 ex + 5cos x - - 1， 求求 f (x) 及及 f (0). 2021/3/10讲解：XX9 例例 7设设 y = xlnx ， 求求 y . 解解根据乘法公式，有根据乘法公式，有 y = (xlnx) = x (lnx) (x) lnx x x xln1 1 .ln1x 2021/3/10讲解：XX10 解解根据除法公式，有根据除法公式，有 22 22 2 )1( )1()1()1)(1( 1 1 x xxxx x x y 例例 8设设 , 1 1 2 x x y 求求 y . 22 22 )1( )1()1()()1()(1( x xxxx . )

6、1( 12 )1( )1(2)1( 22 2 22 2 x xx x xxx 2021/3/10讲解：XX11 例例9 求下列函数的导数：求下列函数的导数： 22 2 22 cossin1 sec. coscos xx x xx (i),; n xn 是是正正整整数数(ii) tan, cot;xx (iii) sec , csc.xx 解解 1 1 2 1 (i) (). n nn nn nx xnx xx 2 sin(sin ) cossin (cos ) (ii) (tan ) cos cos xxxxx x x x 2021/3/10讲解：XX12 同理可得同理可得 sectan .x

7、x 22 1(cos )sin (iii) (sec) coscoscos xx x xxx (csc )csccot .xxx 2 2 1 (cot)csc. sin xx x 同理可得同理可得 2021/3/10讲解：XX13 例例10 求下列函数的导数求下列函数的导数: : 2 (i)1;x 2 1 (ii); 1x 2 (iii)ln(1).xx 2021/3/10讲解：XX14 解解 运用复合求导法则运用复合求导法则, , 分别计算如下分别计算如下: : 1 22 22 1 (i)()(1)(1) 1 2 xx x 2 . 1 x x 23 22 2 11 (ii)(1)(1) 2

8、1 xx x 2 3 . (1) x x 2021/3/10讲解：XX15 2 (iii)ln(1)xx 22 1 ( 1) 11 x xxx 2 2 1 (1) 1 xx xx 2 1 . 1x 2021/3/10讲解：XX16 例例 231 4 2 5 (1) (2) ,. (59) xx yy x 设设求求 2021/3/10讲解：XX17 解解 先对函数两边取对数先对函数两边取对数, 得得 再对上式两边求导再对上式两边求导, 又得又得 于是得到于是得到 ).95ln( 5 2 )2ln( 4 1 )1ln(3ln 2 xxxy 2 6125 . 4(2)5591 yx yxxx 2314 22 5 (1) (2)612 . 4(2)59(59)1 xxx y xxxx 2021/3/10讲解：XX18 基本初等函数的导数公式：基本初等函数的导数公式： (1)()0 ();cc 为为 常常 数数 );()()2( 1 为为任任意意实实数数 xx ;sin)(cos,cos)(sin)3(xxxx ;cotcsc)(csc,tansec)(secxxxxxx ;csc)(cot,sec)(tan)4( 22 xxxx 2021/3/10讲解：XX19 11 (6) (log), (ln ); ln a xx xax (5) ()ln