《高等数学》(北大第二版)第04章习题课

1、高等数学(北大第二版)第04章 习题课 （习（习 题题 课）课） 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 不定积分方法有三种：（一）逐项积分法逐项积分法；（二）换元法换元法 （三）分部积分法分部积分法.若被积函数为有理函数， 三角函数有理式及简 单无理函数等特殊类型的函数，还可采用一些特定有效的积分法. dx xx )1 ( xarctan 1 例 xd x x 2 )(1 arctan 2 )arctan(arctan2xdx .)( 2 Cxarctg （凑微分法）（凑微分法） dxe xx ln3 2 2例 dxee xx ln3 2 dxxe x 2 3 )3( 6 1 23 2 xd

2、e x . 6 1 2 3 Ce x 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 dx lnsinx ctgx 3 例 dxdx lnsinx lnsinx lnsinx ctgx ）（ 解 xdsinln lnsinx 1 .sinlnCx dx x 2 sin1 sinxcosx 4 例 xd x sin sin1 sinx 2 xd x 2 2 sin sin1 1 2 1 )sin1 ( sin1 1 2 1 2 2 xd x .sin1 2 Cx 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 dx x-a xa 3 例dx xa xa 22 2 )( taxsin 令 tdta taa taa

3、 cos sin sin 222 dx xa xa 22 dtta)sin1 ( Ctta)cos(.arcsin 22 Cxa a x a dx xx x x xxxxdxxx 2 2 22 1 1 1 )1ln()1ln(4例 dx x x xxx 2 2 1 )1ln( 2 2 2 12 )1 ( )1ln( x xd xxx .1)1ln( 22 Cxxxx 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 1 .积分倒代换积分倒代换 )( ) 1( 5 255 03 p xx dx 例 dxbaxxf n ),(. 1 n baxt令 dx dcx bax xf n ),(. 2 n dcx

4、bax t 令 化为有理函数的积分 2.简单的无理函数积分简单的无理函数积分 dxcbxaxxf),(. 3 2 进行配方后对cbxax 2 .再利用三角代换法积分 xt 令 , 1 t x 令 解解 , 1 t x , 1 2 dt t dx ;0tx时，当. 0tx时，当 03 ) 1(xx dx 0 3 2 ) 1 ( ) 1 ( dt t t t t 0 23 ) 1( )1 ( 1 td t 0 1 2 3 | 1 2 3 ) 1(t 0 | ! 2 t . 2 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 2 1 6 xx dx 例 3. 利用积分公式利用积分公式 22 ) 2 1 ()

5、 2 5 ( ) 2 1 ( x xd . 5 12 arcsinC x 4. 对定积分利用定积分的有关性质对定积分利用定积分的有关性质 dxexx x 2 2 | )|(| 例例 8 dxxedxex xx 2 2 | 2 2 | | 偶函数偶函数奇函数奇函数 dxxe x 2 0 2 . 6 2 2 e 2 0 | )22( xx exe 例例 9 dx x xx 2 22 4 42 ) 1ln(tan . 0) 42 ) 1ln(tan ( 2 22 42 dx x xxx 52 7 2 xx dx 例 22 2) 1( ) 1( x xd . 2 1 arctan 2 1 C x 高等

6、数学(北大第二版)第04章 习题课 例例 10 dxx 0 sin1dx xx 0 2 cos 2 sin21 dx xx 0 2 ) 2 cos 2 (sindx xx 0 | 2 cos 2 sin| ) 2 (| 2 cos 2 sin|2 0 x d xx = 2 x u 令 duuu 2 0 |cossin|2 duuu)sin(cos2 4 0 duuu)cos(sin2 2 4 4 0 cossin2 uu 2 4 sincos2 uu ) 1 2 2 2 2 (2 ) 2 2 1 2 2 (2 ).12(4 （去掉被积函数绝（去掉被积函数绝 对值符号，利用定对值符号，利用定 积

7、分对区间可加性积分对区间可加性 的性质）的性质） 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 5. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 dx xx xx sincos sincos 11例 , 2 x tanu令 , u1 2u sinx 2 , u1 u-1 cosx 2 2 . 1 2 2 du u dx xx xxd sincos )sin(cos .|cossin|lnCxx ).1( cosxsin xsin 12 2 0 p p pdx x I p 例 2 0 )(sin dxxf 2 0 )(cos dxxf 证明： , 2 tx 令.dtxd )( ) 2 (cos) 2 (

8、sin ) 2 (sin 0 2 p p dt tt t I p dx x p 2 0 p p cosxsin xcos 2 0 p p cosxsin xsin 2 dx x p dx x p 2 0 p p cosxsin xsin dx x p 2 0 p p cosxsin xcos dx x p 2 0 p pp cosxsin xcosxsin 2 0 dx. 2 . 4 I 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 6. 有理函数的积分有理函数的积分 dx x 4 1 1 13 例 dx x x 4 22 1 1x1 2 1 dx x dx x 4 2 4 2 1 1x 2 1 1

9、 x1 2 1 dx x x dx x 2 2 2 2 2 2 1 x 1 1 2 1 1 x x 1 1 2 1 2) x 1 (x ) 1 ( 2 1 2) x 1 -(x ) x 1 -d(x 2 1 22 x xd . 12 12 ln 8 2 2 1 4 2 2 22 C xx xx x x arctg 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 积分上限的函数积分上限的函数 定义 设f(x)在a,b上连续，称 )()()(bxadttfx x a 为积分上限的函数. 定理定理 （微积分基本定理）（微积分基本定理）设f(x)在a,b上连续，则 x a dttfx)()( 在a,b上连续，

10、且在(a,b)内可导并有 ).()()()(bxaxfdttf dx d x x a 由此可见，只要f(x)在a,b上连续，则它在a,b上的原函数是 存在的，例如 就是f(x)在a,b上的一个原函数. x a dttfx)()( 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 推广推广:当积分上、下限都是的函数时，有以下的求导公式 )()()()()( )( )( xxfxxfdttf dx d x x )()()( )( xxfdttf dx d x a ).()()( )( xtfdttf dx d b x 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 例例 14 x x x dtt dtt tan 0

11、 sin 0 0 sin tan lim) 0 0 ( )(tan)sin(tan )(sin)tan(sin lim 0 xx xx x x x x x 3 0 cos )sin(tan )tan(sin lim x x x tan sin lim 0 x x x 0 lim.1 )sin(tan )tan(sin lim 0 x x x x xx xx x 2 0 cos )sin(tansin tan)tan(sin lim .1 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 例例 15 )( ,)(lim连续其中xfdttf ax x x aax ax dttfx x a ax )( lim

12、 = 洛必达法则洛必达法则 1 )()( lim x a ax xxfdttf = 积分中值定理积分中值定理 在在x与与a之间之间 )()(limxxfaxf ax ).(aaf 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 证证 (母函数方法) x a x a ax tf dx dttfxF,)( )( )()( 2 令 , 0)(aF则 x a x a axdttf xftf dt xfxF)(2)( )( 1 )( )()( x a x a x a dtdt tf xf dt xf tf 2 )( )( )( )( t a t a dtdt yf xf xf yf 2 )( )( )( )(

13、, 0 )( )( )( )( 2 x a dt yf xf xf yf 即上是单调增函数在所以),()(,)(aFbFbaxF b a b a ab xf dx dxxf, 0)( )( )( 2 b a b a ab xf dx dxxf.)( )( )( 2 所以 例例 16 p265 设f(x)在区间a,b上连续,且f(x)0,证明 b a b a ab xf dx dxxf.)( )( )( 2 b a b a ab tf dt dttfbF,)( )( )()( 2 只要证明F(x)单调增加 ，即证. 0)( x F 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 例例 17 习题习题5-

14、2 p241 , 0)(),(,)( x fbabaxf内可导且在上连续在设 x a dttf ax xF.)( 1 )( . 0)(),( x Fba内证明在 证明证明 2 )( )()( )( ax dttfaxxf xF x a )( )( )()( 2 xa ax axfaxxf )( )()( ax fxf )( )( )( x ax xf . 0.)0, 0, 0)(axxf 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 例例 18 已知的f(x)一个原函数为(1+sinx)lnx,求 dxxf x)( 解解 只须利用原函数概念求出只须利用原函数概念求出f(x)就好办了就好办了 , si

15、n1 lncosln)sin1()( x x xxxxxf )()(xxdfdxxf x dxxfxxf)()( .ln)sin1 (sin1lncosCxxxxxx .sinln) 1sincos( 1 Cxxxxx 例例 19 已知 , 求f(x). x xf 1 )( 2 .sinln) 1sincos( 1 Cxxxxx 解解 只须求出导函数只须求出导函数 ,便不难得出原函数便不难得出原函数. )(x f , 1 )(, 2 t tftxtx则令 dt t dttftf 1 )()(,2Ct .2)(Cxxf.2)(Cxxf 考虑到上式中考虑到上式中 , 0 xx的 且题设且题设 ,

16、0 1 )( 2 x x xf的 所以应取所以应取x0,于是tx 应舍去负号应舍去负号, 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 练习练习: );(,tan2cos)(sin) 1 ( 22 xfxxxf求已知 ；dxxfx，xf x x )()( sin )2( 2 求的一个原函数是已知 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 )( 1 x arctan 2 x ed x 2 3 2 arctanarctan 2 )1 ( 1 x dx ee x x xx )( 1 1 1 arctan 2 arctan 2 xx ed x e x x xx e x e x x arctan 2 arcta

17、n 2 1 1 1 dx x x e x 2 3 2 arctan )1 ( . 1 1 2 1 I 2 Ce x x arctgx dx x I 2 3 2 arctanx )1 ( xe 20例 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 .)2(tanI 21 n 的递推公式建立例nxdx n xdxx n22 n tantanI 解dxxx n ) 1(sectan 22 xdxdxx nn222 tansectan xdxxdx nn22 tantantan ,tantan 1 1 21 xdxx n nn .tan 1 1 2 1 n n n Ix n I即 高等数学(北大第二版)第0

18、4章 习题课 例例 22 1 2 1 4 2 1 1 dx x x 1 2 1 2 2 2 1 1 1 dx x x x 1 2 1 22 ) 1 ()2( ) 1 ( dx x x x xd 1 2 1 | 2 1 arctan 2 1 x x . 22 3 arctan 2 1 例例 23 3 1 |2|dxx 3 2 2 1 )2()2(dxxdxx. 1 . 1 1ln 1 0 2 dx x x I 例例 24 解解 令x = tant ( 0 t / 4 ) , 则 t = arctanx, dx x x 1 0 2 1 1ln 则 4 0 .tan1ln dtt 高等数学(北大第二

19、版)第04章 习题课 , cos 4/sin2 t t t tt t cos sin 2 2 cos 2 2 2 tan1 而 1 .cosln) 4 sin(ln2ln 8 4 0 4 0 tdtdtt dtttcosln) 4 sin(ln2lnI 4 0 再令再令t= / 4 -u 则则 )( 4 cos(ln cosln 0 4 4 0 duutdu ,) 4 sin(ln 4 0 duu duu) 4 ( 2 sinln 4 0 从而 . 2ln 8 2ln 4 0 dxI方法二方法二. 1 1 t t x 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 xbx 2222 cossina t

20、gxdx 25 例 xdx bxtg 2 222 sec a tgx dtgx bxtg 222 a tgx 222 222 2 )( 2 1 bxtga bxtgad a .|ln 2 1 222 2 Cbxtga a )0, 0(ba 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 例例 26 已知已知: 试求常数试求常数a的值的值 ,4)(lim 22 dxex ax ax a xx x dxex a x 22 4 解解x a dex 22 2 dxexex x a a x222 4|2 a xxa exeea22 2222aaa eaeea 2222 22 x x ax ax )(lim x

21、x ax a ) 2 1 (lim ax ax a ax x ax a 2 2 ) 2 1(lim. 2a e 由 a e 2 aaa eaeea 2222 22 得a=0或a=-1. 0 2 lim 2 2 x x e x 注注: 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 用定积分定义计算数列和的极限的方法用定积分定义计算数列和的极限的方法: 若被积函数f(x)在a,b上连续,而连续函数是可积的,所以积分与区 间a,b的分法及点 的取法无关.因此若把a,b等份,分点为 i 长度的每个小区间),1(, 1 i n ab ai n ab axx ii ),1,2, 1( , nii n ab ax

22、i n ab xi ),1,2, 1( ni i n ab i 取 则积分和为 n i n ab i n ab af 1 )( b a n i n dxxf n ab i n ab af)()(lim 1 若积分区间为若积分区间为0,1,则则 1 0 1 )( 1 )(limdxxf nn i f n i n 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 例 27 求下列极限 );0( 21 lim)2( 1 p n n p ppp n ) 2 1 2 1 1 1 (lim)1 ( nnn n n i n in 1 1 lim n n i n i n 1 1 1 lim 1 dx x 1 0 1 1

23、 x xf 1 1 )(取 1 0 |1|lnx.2ln nn n p ppp n 121 lim nn i n i p n 1 )(lim 1 dxx p 1 0 1 0 1 | 1 1 p x p . 1 1 p n n n n ! lnlim)3( n n n n n ! ln 1 lim n n n n n! lnlim n i n n i n 1 ln 1 lim 1 0 ln xdx .1| )ln( 1 0 xxx .0)ln1ln1 (lim 0 1 0 |ln xx注注: n i n i f 1 1 )( 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 例例 28 x x dtt d

24、x d cos sin 2 )cos( x dtt dx d sin 0 2 )cos( x dtt dx d cos 0 2 )cos( )(cos)coscos( 2 xx)(sin)sincos( 2 xx )coscos(sin 2 xx)sincos(cos 2 xx )sincos(sin 2 xx)sincos(cos 2 xx ).cos)(sinsincos( 2 xxx 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 例例 29 dttx dx d x 0 2 )sin( = 令令x-t=u -dt=du )(sin 0 2 duu dx d x duu dx d x 0 2 si

25、n 2 sin x 例例 30 xx dttxtf x x sin )( lim 3 0 22 0 = utx 22 -2tdt=du xx duuf x x sin )( 2 1 lim 3 0 0 2 4 0 0 2 )( lim 2 1 x duuf x x 3 2 0 4 2)( lim 2 1 x xxf x 2 2 0 )( lim 4 1 x xf x ) 0 0 ( 设f(x)在x=0的某邻域内连续,且f(0)=0,求, 1)0( f 解解 xx dttxtf x x sin )( lim 3 0 22 0 4 )0( f 0 )0()( lim 4 1 2 2 0 x fxf

26、 x . 4 1 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 例例 31 设函数f(x)在 内连续,且),( x dttftxxF 0 )()2()( 试证试证 (1)若f(x)为偶函数,则F(x)也是偶函数; (2)若f(x)单调不增,则F(x)单调不减. 证证 (1) 由题设 x dttftxxF 0 )()2()( = 令令t=-u dt=-du x duufux 0 )()2( x duufux 0 )()2(),(xF 即f(x)为偶函数. 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 xx dtttfdttxfxF 00 )(2)()()2( xx dtttfdttfx 00 )(2)( )

27、(2)()()( 0 xxfxxfdttfxF x )()( 0 xxfdttf x = 积分中值定理积分中值定理 介于0与x之间 )()(xxfxf )()(xffx ,0)()(xffx 当x0时, 因f(x)单调不增, 故 ,0 x 0)()(xff .0)( x F从而当x0, , )( 1 )()(baxdt tf dttfxF x b x a 证明证明;2)()1 ( x F (2) 方程F(x)=0在区间(a,b)内有且有一个根. 证明证明 ,2 )( 1 )(2 xf xf )( 1 )()()1 ( xf xfxF a b a a dt tf dttfaF )( 1 )()(

28、)2(,0 )( 1 b a dt tf b b b a dt tf dttfbF )( 1 )()(,0)( b a dttf p265 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 因为积分上限的函数可导,知F(x)在a,b上连续,又由零点定理可知:方 程F(x)=0在(a,b)内至少有一个根; 又因 所以F(x)在上单调递增,从而方程F(x)=0 在(a,b内仅有有一个根. ,02)( x F 2 2 )1 ( 1 dx xx 例 27 2 2 2 )1 ( 1 2 dx xx xx 2 2 ) 1 1 (dx x x x 2 2 )1ln( 2 1 lnxx 2 2 1 ln x x 5 2

29、 ln0 .2ln5ln 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 例 33 设f(x)在0,1内可微,且满足,0)(2)1 ( 2 1 0 dxxxff 使得内至少存在一点在求证,1),0( . )( )( f f)0)()(ff 证证 2 1 0 )(2)1 (dxxxff = 积分中值定理积分中值定理 2 1 0 )(f 令F(x)=xf(x),F(x) 在 满足R定理的三个条件:1 , ;)1 ,()2( ;1 ,)1 (内可导在上连续在f(1).)f()()3(F ,)1 ,(内至少存在一点故在0)(F使得 (x)fxf(x)x)(F 0)(f)f( 1).0( 高等数学(北大第二版)

30、第04章 习题课 例例 34 设f(x)为连续函数,证明 dtduufdt xtx 000 )(t)-f(t)(x dtttftxfdt xx )()(t)-f(t)(x 00 证明证明 xx dtttfdttxf 00 )()( xx dtttfdttfx 00 )()( dtduufdtx xtx 000 )(t)-f(t)(x)(令 xx dtttfdttfx 00 )()(dtduuf xt 00 )( 0)()()(f(t)( 00 xx duufxxfxxfdtxCx )( ,0)0(又 0,x)(,0即C dtduufdt xtx 000 )(t)-f(t)(x所以 p265 高

31、等数学(北大第二版)第04章 习题课 例例 35 (p266) 设f(x)在区间a,b上连续,g(x)在区间a,b上连续且不变 号.证明至少存在一点使下式成立,ba b a b a dxxgfdxxgxf)()()()(积分第二中值定理积分第二中值定理) 证明证明 由于f(x)在a,b上连续,故f(x)在a,b上存在最大值M和最小 值m, ),()()()(, 0)() 1xMgxgxfxmgxg则若 ,)()()()( b a b a b a dxxgMdxxgxfdxxgm , )( )()( M dxxg dxxgxf m b a b a ),()()()(, 0)()2xMgxgxfx

32、mgxg则若 ,)()()()( b a b a b a dxxgMdxxgxfdxxgm , )( )()( M dxxg dxxgxf m b a b a 同样有同样有 由于f(x)在a,b上连续,由介值定理的推论知,必存在 使得 ,ba .)(Mxfm即有 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 , )( )()( )( b a b a dxxg dxxgxf f .)()()()( b a b a dxxgfdxxgxf故 例例 36 p265 设f(x)在区间a,b上连续,且f(x)0,证明 b a b a ab xf dx dxxf.)( )( )( 2 证法一证法一 上在则对于任

33、意的实数令,)(,) )( )()( 2 bax xf xfx . 0)(,x且连续 , 0) )( )()( 2 b a b a dx xf xfdxx . 0)()(2 )( 1 2 b a b a dxxfabdx xf 即 可知因的二次三项式上式左边可视作关于, 0, 2 CBxAx 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 从而有, 04 2 ACB ,)( )( 1 4)(4 2 b a b a dxxfdx xf ab b a b a ab xf dx dxxf.)( )( )( 2 证法二证法二(母函数方法) y a y a ay xf dx dxxfy,)( )( )()( 2

34、 令. 0)(a则 y a y a aydxxf yfxf dx yfy)(2)( )( 1 )( )()( y a y a y a dxdx yf xf dx xf yf 2 )( )( )( )( y a y a dxdx yf xf xf yf 2 )( )( )( )( , 0 )( )( )( )( 2 y a dx yf xf xf yf 即上是单调增函数在所以),()(,)(abbay b a b a ab xf dx dxxf, 0)( )( )( 2 b a b a ab xf dx dxxf.)( )( )( 2 所以 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 例37 在椭圆

35、 绕其长轴旋转而成的椭球体上,沿其长轴 方向穿心打圆孔,使其剩下部分的体积恰好等于椭球体积的一半,试 求该圆孔的直径. 1 4 2 2 y x -11 2 -2 0 A x y 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 例例 38 处有公共在点与曲线已知曲线),(ln)0( 00 yxxyaxay 切线,求 ;)2();,() 1 ( 00 sxyxa面积轴所围成的平面图形的两曲线与及切点常数 .)3(积轴旋转所得旋转体的体轴所围成的平面图形绕两曲线与xx 有依题意解,) 1 ( ) 1 (|)(ln|)( 00 xxxx xxa )2(ln 00 xxa 由(1)式,得 0 0 2 1 2xx

36、 a . 1 2 0 a x 得 得代入将),2( 1 2 0 a x 22 1 ln 2 11 aa a e a 1 2 2 0 1 e a x 1 1 2 00 e e xay ).1 ,( 2 e从而切点为 dyyees y )()2( 1 0 222 1 0 221 0 2 | 3 1 | 2 1 yee y . 2 1 6 1 2 e 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 x 0 y 1 1 xyln xey 1 2 e (3)旋转体的体积为 dxxdxx e V e x e 2 2 1 22 0 )(ln) 1 ( ln2|ln 4 | 2 2 22 1 1 2 0 2 2 e

37、ee xdxxx e x 2|ln24 42 1 2 2 1 1 22 e e dxxxee . 2 | 22 1 2 1 2 e xe 练习题练习题 (1)在曲线 上某点A处作一切线,使之与曲 线以及x轴所围图形的面积为 )0( 2 xxy :, 12 1 试求 (1) 切点A的坐标; (2) 过切点A的切线方程; (3)由上述所围平面图 形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积. (1) A(1,1); (2) y=2x-1; (3). 30 高等数学(北大第二版)第04章 习题课 例例 39 设直线y=ax与抛物线 所围成的图形面积为 ,它们与直 线x=1所围成的图形面积为 ,并且a1. 2 xy 1 s 2 s (1) 试确定a的值,使 达到最小,并求出最小值; 21 ss