一元函数积分学多元函数积分学

1、第十章 一元函数积分学一元函数积分学 多元函数积分学多元函数积分学 重积分重积分 曲线积分曲线积分 曲面积分曲面积分 重 积 分 一元函数积分学多元函数积分学 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节 一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第十章 一元函数积分学多元函数积分学 积分区域积分区域积分区域积分区域 定积分定积分 二重积分二重积分 三重积分三重积分 D 曲线积分曲线积分 曲面积分曲面积分 一型：对弧长一型：对弧长 二型：对坐标二型：对坐标 一型

2、：对面积一型：对面积 二型：对坐标二型：对坐标 Stokes 公式公式 高斯公式高斯公式 格林公式格林公式 1. 1. 一元函数积分学多元函数积分学 一元函数积分学多元函数积分学 解法解法: 类似定积分的思想类似定积分的思想: 一、引例一、引例 1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体: 0),(yxfz 底：底： xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D 顶顶: 连续曲面连续曲面 侧面：以侧面：以 D 的边界为准线的边界为准线 , 母线平行于母线平行于 z 轴的柱面，轴的柱面， 求其体积求其体积. “大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求求 极限极限” 机动 目录

3、上页 下页 返回 结束 x 0 z y . . 一元函数积分学多元函数积分学 i x 1 i x 1 x i 2 x 1 1 化整为零化整为零 2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代变以常代变) ) iii xfS )( 3 3 积零为整积零为整 y x o y=f (x) 1n x n i ii xfS 1 )( a b . . 分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值 回顾：回顾： f ( i) . 一元函数积分学多元函数积分学 i x 1 i x i 4 4 取极限取极限 y x o y=f (x) 令分法无限变细令分法无限变细 . a b. . . 分法越细，越接近精确值分法越细，

4、越接近精确值 1 1 化整为零化整为零 2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代变以常代变) ) 3 3 积零为整积零为整 n i ii xfS 1 )( iii xfS )( 1.1. . f ( i) 一元函数积分学多元函数积分学 i x 1 i x i 4 4 取极限取极限 y x o y=f (x) 令分法无限变细令分法无限变细 . . . . 分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值 1 1 化整为零化整为零 2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代变以常代变) ) 3 3 积零为整积零为整 n i ii xfS 1 )( iii xfS )( 1.1. . f ( i) n i i

5、i xf 1 )(lim 记记 S = . b a xxfd )( S . a b 一元函数积分学多元函数积分学 x 0 z y D S S : z = f (x,y) 1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零 2 以平代曲以平代曲 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 i 一元函数积分学多元函数积分学 x 0 z y D S : z = f (x,y) iiii yxfV ),( 3 积零为整积零为整 n i iii yxfV 1 ),( 2 以平代曲以平代曲 1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 . i 一元函数积分学多元函数积分学 x 0 z

6、 y D S : z = f (x,y) iiii yxfV ),( 3 积零为整积零为整 n i iii yxfV 1 ),( 4 取极限取极限 i 2 以平代曲以平代曲 1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 . n i iii yxf 1 ),(lim V = 一元函数积分学多元函数积分学 x 0 z y D i . S : z = f (x,y) iiii yxfV ),( 3 积零为整积零为整 n i iii yxfV 1 ),( 4 取极限取极限 2 以平代曲以平代曲 1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零 曲顶柱体的体积曲顶柱

7、体的体积 n i iii yxf 1 ),(limV = 一元函数积分学多元函数积分学 x 0 z y S : z = f (x,y) iiii yxfV ),( iiii yxfV ),( 3 积零为整积零为整 4 取极限取极限 )d(y,xf D 记记 V 2 以平代曲以平代曲 1 任意分割区域任意分割区域 D,化整为零化整为零 . 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 . n i iii yxf 1 ),(limV = n i iii yxfV 1 ),( 一元函数积分学多元函数积分学 2. 平面薄片的质量平面薄片的质量（若面密度为常数，质量（若面密度为常数，质量=面密度面密度面积）面积） 有一

8、个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , ,),(Cyx计算该薄片的质量 M .度为 ),(),(常数若yx设D 的面积为 , 则 M 若),(yx非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , 21n 相应把薄片也分为小区域 . D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x 一元函数积分学多元函数积分学 2)“常代变常代变” 中任取一点 k 在每个),( kk 3)“近似和近似和” n k k MM 1 n k kkk 1 ),( 4)“取极限取极限” )(max 1 k nk 令 n k

9、kkk M 1 0 ),(lim k ),( kk ),2, 1(),(nkM kkkk 则第 k 小块的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x 一元函数积分学多元函数积分学 两个问题的共性共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” n k kkk fV 1 0 ),(lim n k kkk M 1 0 ),(lim 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学多元函数积分学 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性 定义定义:),(yxf设 将区域 D 任意分成 n 个小

10、区域),2,1(nk k 任取一点,),( kkk 若存在一个常数 I , 使 n k kkk fI 1 0 ),(lim 可积可积 , ),(yxf则称 D yxfd),( ),(yxfI为称在D上的二重积分二重积分. 称为积分变量yx, 积分和积分和 D yxfd),( 积分域积分域被积函数被积函数 积分表达式积分表达式 面积元素面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学多元函数积分学 D yxfVd),( 引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积: D yxMd),( 引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量: 如果 在D上可

11、积,),(yxf 也常d ,ddyx二重积分记作 .dd),( D yxyxf , kkk yx 这时分区域D , 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 D yxyxfdd),( D yxyxdd),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学多元函数积分学 二重积分存在定理二重积分存在定理: 若函数),(yxf ),(yxf 定理定理2.),(yxf (证明略) 定理定理1. 在D上可积可积. 限个点或有限个光滑曲线外都连续连续 , 积积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 例如例如, yx yx yxf 22 ),(在D : 10 x 1

12、0 y 上二重积分存在上二重积分存在 ; yx yxf 1 ),(但在D 上 y 1 xo 1 D 二重积分不存在二重积分不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 ),(yxf在D上可可 一元函数积分学多元函数积分学 三、二重积分的性质三、二重积分的性质(八个性质）八个性质） D yxfkd),(. 1( k 为常数) D yxgyxfd),(),(. 2 21 d),(d),(d),(. 3 DDD yxfyxfyxf , 1),(. 4yxfD上若在 DD dd1 为D 的面积, 则 ),( 2121 无公共内点DDDDD D yxfkd),( DD yxgyxfd),(d),(

13、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学多元函数积分学 特别, 由于),(),(),(yxfyxfyxf D yxfd),( 则 D yxfd),( D yxd),( 5. 若在D上),(yxf, ),(yx D yxfd),( 6. 设),(min),(maxyxfmyxfM DD D 的面积为 , Myxfm D d),(则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学多元函数积分学 7.(二重积分的中值定理二重积分的中值定理) ),(yxf设函数 ,),(D ),(),(fdyxf D 证证: 由性质6 可知, Myxfm D d),( 1 由连续函数介值定理, 至少

14、有一点D),( D yxff d),( 1 ),( ),(d),(fyxf D 在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点 使 使 连续, 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学多元函数积分学 例例1. 比较下列积分的大小比较下列积分的大小: d)(,d)( 32 DD yxyx 其中 2) 1()2( : 22 yxD 解解: 积分域 D 的边界为圆周 1 yx 3 32 )()(yxyx 2) 1()2( 22 yx 它与 x 轴交于点 (1,0) , .1相切与直线 yx而域 D 位 , 1 yx从而 d)(d)( 32 DD yxyx 于直线的上方, 故在 D 上

15、1 y 2 xo 1 D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学多元函数积分学 例例2. 判断积分yxyx yx dd1 4 3 22 22 的正负号. 解解: 分积分域为, 321 DDD则 原式 =yxyx D dd1 1 3 22 yxyx D dd1 2 3 22 yxyx D dd1 3 3 22 1 dd D yxyx D dd13 3 3 )34(2 3 2 3 D 3 2 D 1 1 D y x o 0)21 ( 3 猜想结果为负猜想结果为负 但不好估计但不好估计 . 因为是负，先 不考虑此项 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时时得得到到放放大大值值 上上取取在

16、在当当 0 1 22 Dyx 时时得得到到放放大大值值上上取取在在当当3 3 22 Dyx 一元函数积分学多元函数积分学 例例3. 估计下列积分之值 10: coscos100 dd I 22 yxD yx yx D 解解: D 的面积为200)210( 2 由于 yx 22 coscos100 1 积分性质积分性质5 100 200 I 102 200 即: 1.96 I 2 10 10 1010 D 100 1 102 1 x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学多元函数积分学 x y o D 8. 设函数设函数),(yxf D 位于 x 轴上方的部分为D1 , ),

17、(),() 1 (yxfyxf ),(),()2(yxfyxf d),( D yxf 0d),( D yxf 当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称, 函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时, 仍仍 1 D 在 D 上 d),(2 1 D yxf 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 则 则 有类似结果有类似结果. 在第一象限部分, 则有 1:, 22 1 yxDD 为圆域如 D yxyxdd)( 22 D yxyxdd)( 1 dd)(4 22 D yxyx 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学多元函数积分学 x b a d 四、曲顶柱体体积的计算四、曲顶柱

18、体体积的计算 设曲顶柱的底底为 bxa xyx yxD )()( ),( 21 任取, , 0 bax 平面 0 xx 故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为 D yxfVd),( yyxfxA x x d),()( )( )( 00 02 01 截面积截面积为 yyxf x x d),( )( )( 2 1 b a xxAd )( 截柱体的 )( 2 xy )( 1 xy z x y oab 0 x D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学多元函数积分学 y d c x o )( 2 yx )( 1 yx y y d c d dycyxyyxD),()(),( 21 同样同样, 曲顶

19、柱的底为曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算 D yxfVd),( xyxf y y d),( )( )( 2 1 xyxf y y d),( )( )( 2 1 d c yd 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学多元函数积分学 例例4. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积. x y z R Ro 解解: 设两个直圆柱方程为 , 222 Ryx 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 则所求体积为 yxxRV D dd8 22 22 0 d xR y xxR R d)(8 0 22 3 3

20、 16 R 222 Rzx 22 xRz 0 0 :),( 22 Rx xRy Dyx xxR R d8 0 22 222 Ryx 222 Rzx D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学多元函数积分学 内容小结内容小结 1. 二重积分的定义 D yxfd),( iii n i f ),(lim 1 0 )dd(dyx 2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) 3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法二次积分法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学多元函数积分学 被积函数相同相同, 且非负非负, 思考与练习思考与练习 yxyxI yx dd 1 1 22 yxyxI yx dd 1 2 yxyxIdd 1 1 1 1 3 解解: 321 ,III 由它们的积分域范围可知 312 III 1 1 x y o 1. 比较下列积分值的大小关系: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一元函数积分学多元函数积分学 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 ,d 3 1 D xyI,d 32 2 D xyI D xyId 3 2 1 3 的大小顺序为 ( ) .)(;)( ;)(;)( 213123 312321 IIIDIIIC IIIBIIIA 提示提示: 因 0 y 1, 故; 2 1 2 yyy D 故在