空间向量知识点归纳总结(经典)

1、名师推荐精心整理学习必备 空间向量与立体几何知识点归纳总结 一.知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 (2)向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)AoOA AB = a:加法交换律:b ；BA= OA-OB = 2-b ； OP= a（ R）a b 二 b aOB 二运算律加法结合律：(a b) a (b c)数乘分配律：(a bb运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3.共线向量。(1) 如果表示空间向

2、量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a平行于b，记作a/b。(2) 共线向量定理：空间任意两个向量a、b ( b工0 ), a/ b存在实数入使a = Zb(3) 三点共线：A、B、C三点共线 AB二 AC OC xOA yOB其很 r 1)一a土 (4)与a共线的单位向量为-a4.共面向量(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。弓.弓(2) 共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，P与向量a,b共面的条件是存在实数 x, y 使 p = xa yb。(3)四点共面：若A、 * B、C、P 四点共面 v

3、= AP 二 xAB yAC OP二 xOA5.空间向量基本定理：如果三个向量+ zOC(其中 x y z = J),c不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x, y, z，使p= xa yb zc。4片片名师推卷耳精心整理学习必备叫做基向量,注：点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为（x,-y,-z）,关于xoy平面的对称点为（x,y,-z）. 即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为（0,y,0）,在平面yOz中的点设为（0,y,z）（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，T片片一 * 一 用i,

4、 j,k表示。空间中任一向量a= xkyjzk =（x,y,z）（3）空间向量的直角坐标运算律：彳片若a 心总月3），b = Qbb），则 a b = （abi,a2 b2,a d），$ 呻b 二（a da - bzQ - d）, a = （ aa?, a?R），$ b jaQ a?b? asd， ab =a厂 ga?八 bz 八 d（R），a _ b 二 a1b1 a2b2 a3b3 = 0。 若人（人，,乙），B（x?,y2,z?），则 AB 二（x? - 咅？ 一 %乙-弓）。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标。 定比分点公式：若人（人,力

5、,召），Bz）， （冷 + 丸x? y扎y? zzL） （v ）AP 二 PB ,则点P坐标为(x,y,z)则(xyi,z Z1Y (x2 - x,y2 yz z)，显然,当P为AB中点若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底， 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,AB,C是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x, y, z，使 OP 二 xOA yOB zOC。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点a，存在唯一的有序实数组（x, y,z），# * 使0A二xi

6、yi zk，有序实数组（X, y,z）叫作向量A在空间直角坐标系O_xyz中的坐标， 记作A（x, y,z）， x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。名师推荐精心整理P(X1 + X2 甘 y2 Z1 + Z2 时，P( 2,2,2)丄ABC中，A (知/月化小Z),Cgyz)，三角形重心p坐标为P(XiX2X3 yy y3 乙z Z3)3厶ABC的五心:内心p：内切圆的圆心,角平分线的交点AB AC、APAB AC)(单位向量)外心P：外接圆的圆心,中垂线的交点。PPB PC垂心P：高的交点：PA PB = PA PCP:中线的交点，三等分点(中位线比) 中心：正三角形的所有心的合一。*(4)

7、.模长公式：若 a=(ai,a2,a3),则 | a 卜 a a = a12 -重心二PB PC (移项，内积为o,贝y垂直) i -AP (AB AC)3二 ”bTaaibi a2b2asbs2 2 a2a3 , |b| =一 / b |a| |b|a12 a22 a3 b12 - b22 b32 ABC中ABAC 0A为锐角ABAC ： 0A为钝角，钝角 (6)两点间的距离公式：若 A(x1, y1 ,z1) , B(x2, y2,z2), 贝S |AB卜吗A=(或dA,B(X2 -xj2 (y2 -yj2 (Z2 -zj2(5)夹角公式：cosla b2 2 2x2-xj (丫2-力)(

8、z2-zj ,:a,b二一，则称a与b互相垂直，记作:a_ b。 十的长度或模，记作：靑|。a,b，则|a|b|8S* a,b叫做a,b的数量积，记O(3) 作a b，即7. 空间向量的数量积。_、(1)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点 O，作则 AOB叫做向量aOA二a,O b ,则AOB叫做向量a与b的夹角，记作疳a,b ；且规定0： a,b 心二，显然有 ”：a,b =： b, a ；若2(2)向量的模：设OA為,则有向线段OA的长度叫做向量 数量积：已知向量 二 |a| |b| cos a, b(4)空间向量数量积的性质：a e =|a |cos a,e 。

9、 a b = a b = 0。 |a |2 =(5)空间向量数量积运算律：名犁荐-a （ b）。（a, b 二a （ba b a d （分配律）。申心整理学习必备I b 二 b a （交交换律）。不满足乘法结合率：（a b） a（b c）.空间向量与立体几何1.线线平行二两线的方向向量平行1-1线面平行二线的方向向量与面的法向量垂直1- 2面面平行：=两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2- 1线面垂直二线与面的法向量平行2-2面面垂直二两面的法向量垂直 3线线夹角二（共面与异面）0,90二两线的方向向量ni, n2的夹角或夹角的补角,cos日=cos n1,n2 3-1

10、线面夹角 珂0,90:求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，贝y取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sin日=cos AP,n3-2面面夹角（二面角）二0,180:若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量口小2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.cos - cos n 1, n24.点面距离h :求点P Xo,yo到平面的距离：在平面上去一点Q x,y，得向量PQ；计算平面:的法向量n ;. hPQ -* n4-1线面距离（线面平行）:转化为点面距离4-2面面距离（面面平行）:转化为点面距离【典型例题】1. 基本运算与基

11、本知识（）例丄已知平行六面体_ABCD二A BCD ，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。 AB BC ； AB AD AA ；名师推荐精心整理学习必备 AB AD 1(AB AD AA)。23例2对空间任一点O和不共线的三点代B,C，问满足向量式：I T T TOP =xOA yOB zOC (其中xyz=1 )的四点P,代B,C是否共面？O O O O。例 3 已知空间三点(0, 2, 3), B (-2, 1, 6), C (1, 1, 5) 求以向量AB, AC为一组邻邻边的平行四边形的面积 S;若向量a分别与向量AB, AC垂直，且|a |= . 3，求向量a的坐标。2. 基底法

12、(如何找，转化为基底运算)3. 坐标法(如何建立空间直角坐标系，找坐标)4. 几何法编号03晚自习测试；17, 18题例 4女口图，在空间四边形 OABC中, 0A=8 , AB =6 , AC = 4 , BC =5 , - OAC =45：, OABYO；，求OA与BC的夹角的余弦值。说明：由图形知向量的夹角易出错，女口OA,aC =135易错写成：OA,A -45，切记!例5.长方体ABCDARGU中，AB=BC=4， E为AG与BD的交点，F为BG与BC的 交点，又AF _BE，求长方体的高BB,。；母，设M ,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达 （1） AB BC CD ；1（

13、3） AG （AB AC）。2【模拟试题】1.已知空间四边形ABCD，连结AC母，设 式，并标出化简结果向量：、U 1 -（2） AB （BD BC）；22.工知平行四边形BCD，扌平面AC外一点O引向量 OE=kOAOF =kOB,OG=kOC,OH =kOD。（1）求证：四点E,F,G,H共面；（2）平面AC /平面EG。名师推荐精心整理学习必备A3.如图正方体 ABCDABGU中，E D1F-AB1，求与DR所成角的余弦。4D.门5. 已知平行六面体abcd-a bCD中，AB =4, AD = 3, AA = 5, BAD 二 90，.BAA，EDAA =60，求 AC 的长。学习必备

14、O四边形ABCD是平行四边形， 忌忌7D,(1)1 11-1(2) AB (BD BC) =AB BC BD7 .22-=AB BM MG = AG ；1(3) AG (AB AC)=AG-AM MG。22.解口 1J明：/ EG =0G -QE ,名师推荐精心整理参考答案1.解：如图,T ? t T T T=k OC -k OA =k(OC -OA) =kAC =k(AB AD)T I T T * J I i= k(OB -OA OD -OA)=OF -OE OH -OET T二EF EH二 E,F,G,H 共面(2)解：T EF =OF-OE 二 k(OB-OA)二 k AB，又 T EG

15、 二 k AC ,/. EF/AB, EG/AC。所以，平面AC/平面EG3.aX解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O-xyz，1冃（0,；,1），4则 B(1,1,0) , E1(1,3,1),41二 BE1 =(0,1),4 討=孔于,1 1 一 444T15cos BE1,DF11615。/ 如如 17D(0,0,0),DF11牛,1),BEi DFi =0 0 (-1 丄)1 1 二154 416名师推荐精心整理12AC解得x5.解：|：4.分析：；=2,1,3),AC =(1,；,2),. cos BAC =-/ BAC = 60, S=|AB|AC|sin60 =7.3 设 a =( x, y, Z),则 a丄 A