三重积分的概念直角坐标下的计算机动

1、三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 第三节 一、三重积分的概念三重积分的概念 二、直角坐标下的计算二、直角坐标下的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第九章 三、柱坐标下的计算三、柱坐标下的计算 四、球坐标下的计算四、球坐标下的计算 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 kkkk v),( ),( kkk k v 引例引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质,),(Czyx求分布在 内的物质的 可得 n k 1 0 lim M “大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限

2、” 解决方法解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 定义定义. 设,),( , ),(zyxzyxf kkk n k k vf ),(lim 1 0 存在,),(zyxf vzyxfd),( 称为体积元素体积元素, vd.dddzyx 若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分三重积分. 在直角坐标系下常写作 三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 ),2,1(nkvk,),( kkkk v下列 “乘 中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续, 则存在,),(使得 v

3、zyxfd),(Vf),( V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 二、直角坐标下三重积分的计算二、直角坐标下三重积分的计算 方法方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) ,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 (一一)坐标面投影法坐标面投影法 (“先一后二先一后二”) z x y D ),(

4、1 yxzz 2 ( , )zzx y xoy 则称为XY-型. 的类型1 在 , x y 作垂直 边界交点不多于两个, 记 12 ( , )( , ),z x yzzx y , x yD 围 顶 过D内任一点 面投影是有界闭区域记为D , 面的直线与 xoy 如图, : , x y 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 类似可以定义YZ-型, XZ-型 12 , ( , )( , ) yz y zD x y zxxy z YZ-型记为 XZ-型记为 12 , ( , )( , ) xz x zD y x zyyx z z x y xz D 1( , ) y x z 2( , ) yx z 三

5、重积分的概念直角坐标下的计算 机动 2.坐标面投影法坐标面投影法 (“先一后二”)计算三重积计算三重积 分分 ,0),(zyxf(1)先假设连续函数 并将它看作某物体 是该物体的质量引出下列各计算 的密度函数 , 则 vzyxfd),( 我们通过计算该物体的质量的方法引出计算三重积 分的方法. 首先假设为XY-型 Dyx yxzzyxz ),( ),(),( : 21 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 z x y D 2 1 ( , ) ( , ) ( , )( , , )d zx y zx y m x yf x y zz 该物体的质量 vzyxfd),( 2 1 ( , ) ( , )

6、( , , )d zx y Dzx y f x y zz dxdy d d D x y ),( 2 yxzz ),( 1 yxzz 记作 ( , )x y 将线段的质量压缩到点( , ) x y ,则得到 区域D的点密度 ( , )m x y 如图线段的质量为 ( , )d d D m x yx y 先一 后二 2 1 ( , ) ( , ) ( , , )d zx y zx y f x y zz 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 若 12 ( )( ) : xyx D axb vzyxfd),( D yxz yxz zzyxfyx ),( ),( 2 1 d),(dd 记作 则 vzyx

7、fd),( 22 11 ( )( , ) ( )( , ) ( , , )d ) bxzx y axzx y dxf x y zz dy 记作 22 11 ( )( , ) ( )( , ) ( , , )d bxzx y axzx y dxdyf x y zz 三重积分的计算方法之一是用先一后二的方法最终 将它转化为三次积分进行计算. 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 当被积函数在积分域上变号时, 因为 ),(zyxf 2 ),(),(zyxfzyxf ),( 1 zyxf),( 2 zyxf 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算. 2 ),(),(zyxfzyxf 三重

8、积分的概念直角坐标下的计算 机动 结论结论 为XY-型 12 , ( , )( , ) yz y zD x y zxxy z 为YZ-型 为XZ-型 12 , ( , )( , ) xz x zD y x zyyx z 12 , ( , )( , ) xy x yD z x yzzx y 2 1 ( , ) ( , ) d d( , , )d xy zx y Dzx y x yf x y zz vzyxfd),( vzyxfd),( 2 1 ( , ) ( , ) d d( , , )d yz xy z Dxy z y zf x y zx vzyxfd),( 2 1 ( , ) ( , ) d

9、 d( , , )d xz yx z Dyx z x zf x y zy 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 注注(1)用先一后二法计算三重积分其关键是 “顶是定积分的上下限” “围是二重积分的积分区域”. (2)若不XY-型或YZ-型或XZ-型则需要将其分割. 将围围和顶顶表达出来”“ 最终将三重积分转化三次积分 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 (3) 对称性对称性 设关于XOY面对称,设上半面部分为 1 若 ( , , )( , ,)f x y zf x yz即函数关于Z是偶函数,则 vzyxfd),( 1 2( , , )df x y zv 若( , , )( , ,)f x y

10、 zf x yz ( , , )d0f x y zv 即函数关于Z是奇函数,则 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 (3) 对称性对称性 设关于XOZ面对称,设右半面部分为 1 若( , )( , , )f xy zf x y z即函数关于Y是偶函数,则 vzyxfd),( 1 2( , , )df x y zv 若( , )( , , )f xy zf x y z ( , , )d0f x y zv 即函数关于Y是奇函数,则 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 (3) 对称性对称性 设关于YOZ面对称,设前半面部分为 1 若 (, , )( , , )fx y zf x y z即函数关于

11、X是偶函数,则 vzyxfd),( 1 2( , , )df x y zv 若(, , )( , ,)fx y zf x yz ( , , )d0f x y zv 即函数关于X是奇函数,则 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分,ddd zyxx 12zyx所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 解解: : zyxxddd )1( 0 1 0 2 1 d)21 (d x yyxxx 12 0 d xy xz 1 0 32 d)2( 4 1 xxxx )1( 0 2 1 d x y 1 0 d x 48 1 面及平面 机动 目录 上页 下页 返回 结

12、束 y 是XOY型, 01 : 1 0(1) 2 x D yx 顶为yxz210 x 21xy 1 1 2 D 围为 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 1 x y z 1 2 1 解解: : zyxxddd 1(1) 00 1 d(1)d 2 x xxxzz 1 2 0 d x z xy 1 0 32 d)2( 4 1 xxxx 1 0 d x z 1 0 dx 48 1 z 是XOZ型, 01 : 0(1) xz x D zx 顶为 1 0 2 xz y x 1xZ 1 1 xz D 围为 法二 注意到也 是XOZ型, 同样也 是YOZ型,如何计算 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动

13、x y z 例例2. 将,ddd 2 zyxz . 1: 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 其中 解解: 2 2 2 2 2 2 (1) (1) x b a x b a dy d a a x a b c 2 22 2 22 22 2 22 (1) 2 (1) xy c ab xy c ab z dz 2 d ddzxyz 写成三次积分 2222 22 2222 , : (1)(1) x yD xyxy czc abab 22 22 ,|1 xy Dx y ab 其中 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 法二法二: 2 d ddzxyz 2 2 2 (1) 0 x b a dy

14、0 8d a x 为为 关于XOY平面对称, 2 z 1 2 2d ddzxyz 1 关于XOZ平面对称, 上半部分 1 22 2 22 (1) 2 0 xy c ab z dz 是关于y的偶函数, 2 z zyxzddd 2 2 2 4d ddzxyz 为为 第一四卦限 2 是关于z的偶函数,则 2 d ddzxyz 2 关于YOZ平面对称,是关于x的偶函数, 2 z zyxzddd 2 3 2 8d ddzxyz 为为 第一卦限 3 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 用先一后二的方法计算三重积分关键是确定围和顶 下面介绍一种方法求围和顶. 1 由曲面( , )zg x y和( , )z

15、h x y围成围成 的围的围是有交线 ( , ) ( , ) zg x y zh x y 在XOY投影线围成的区域D 的顶的顶是 ( , )( , )g x yzh x y(若( , ), ( , )( , )x yD g x yh x y 注注 若在区域D上 ( , ), ( , )g x y h x y大小不一致,则需分割 区域D,在每一小块保证其一致性 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 由 例例3. ( , , )d d d ,f x y zx y z 所围成. 分析分析: 将 22 43()zxy 22 zxy 先一后二的方法写成三次 积分 22 22 43()zxy zxy

16、 43zz 22 11zxy 故围围为 22 1xy围成的圆域 在 22 1xy 内,显然 2222 43()xyxy 故顶顶为 2222 43()xyzxy 为消去z 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 由 例例3. ( , , )d d d ,f x y zx y z 所围成. 将 22 43()zxy 22 zxy 先一后二的方法写成三次 积分 解解: ( , , )d d df x y zx y z 22 22 4 3 ( , , ) xy xy f x y z dz 2 2 1 1 x x dy 1 1 dx 2222 , : 43() x yD xyzxy 22 ,|1Dx

17、 yxy其中 故 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 由 例例. ( , , )d d d ,f x y zx y z 所围成. 分析分析: 将 22 2zaxy 22 ,azxy 用先一后二的方法写成三次 积分 22 22 2zaxy azxy 2 (2)azaz 222 zaxya 故围围为 222 xya 围成的圆域 在 222 xya内,显然 2222 1 ()2xyaxy a 故顶顶为 2222 1 ()2xyzaxy a 消去z 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 由 例例. ( , , )d d d ,f x y zx y z 所围成. 将 22 2zaxy 22

18、 ,azxy 用先一后二的方法写成三次 积分 解解: ( , , )d d df x y zx y z 22 22 2 1 () ( , , ) axy xy a f x y z dz 2 2 a x a x dy a a dx 2222 , : 1 ()2 x yD xyzaxy a 222 ,|Dx yxya 其中 故 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 2a a 22 2zaxy 22 xyaz . 2a 0 x y z )( aazyx:曲曲面面所所围围区区域域与与 yxaz 4 4 . zyxzyxfIddd ),( 222 xya 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 2 由曲面

19、由曲面( , )zg x y和和( , )zh x y 围成围成 的顶顶是( , )( , )g x yzh x y (若( , ), ( , )( , )x yD g x yh x y 及及 ( , )0(1,2,) i x yik (1) 柱面柱面 ( , )0(1) i x yik 在XOY投影线围成闭闭区域D, ( , ) ( , ) zg x y zh x y 在XOY投影线不不形成闭闭区域(2) 柱面柱面( , )0 i x y 投影线来补成封闭封闭区域D, 用 柱面方程柱面方程 的顶顶是( , )( , )g x yzh x y (若( , ), ( , )( , )x yD g

20、 x yh x y D则为围围. D则为围围 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 由 例例5. ( , , )d d d ,f x y zx y z 所围成. 分析分析: 将 0,36,3212yxyxy 先一后二的方法 写成三次积分, 及0,0,6yzxyz 36,3212xyxy 在XOY面投影线如图: 它们围成闭闭区域D. 0 y x 2 4 D 6 3212xy 36xy 围成另外两张曲面为 60 xy 故顶顶为 06zxy 围成 的柱面有 故 的围围为D. 在D上显然有 0,6,zzxy 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 由 例例5. ( , , )d d d ,f

21、 x y zx y z 所围成. 将 先一后二的方法 写成三次积分, 及0,0,6yzxyz 36,3212xyxy 0 x 2 4 D 6 3212xy 36xy 解解: , : 06 x yD zxy 其中D如图 ( , , )d d df x y zx y z 6 0 ( , , ) x y f x y z dz 12 2 3 6 3 y y dx 6 0 dy 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 . 5. x 0 z y zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和

22、和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 . 5 x 0 z y zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 5. 6 6 6 x 0 z y 4 2 zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成

23、的区域所围成的区域 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 z = 0 y = 0 4 2 x+y+z=6 . x 0 z y 6 6 6 zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域 5 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 5. 6 6 6 x 0 z y 4 2 zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的

24、区域 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 4 2 . x 0 z y 6 6 6 ：平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和 x+y+z = 6所围成的区域所围成的区域 5.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 yx D zz , y,xfyxI 6 0 )d(dd . D 0 y x 6 24 D yx y y zzyxfxyI 6 0 3 2 4 3 2 6 0 d),(dd . 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 由 例例6. ( , , )d d d ,f x y zx y z 分析分析: 将 22 22 1 xy ab 先一后二的方法

25、写成 三次积分, 及c (0) ,0zxy cz 在第一卦限是闭区域D如图. 在D上显然有0 xy c 故顶顶为 0 xy z c 所围成.在第一卦限部分 围成 的柱面有 22 22 1, xy ab 它在XOY面投影线 围成另外两张曲面为 ,0 xy zz c 故 的围围为D. 22 22 1 xy ab a b x y 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 由 例例6. ( , , )d d d ,f x y zx y z 将 22 22 1 xy ab 先一后二的方法写成 三次积分, 及c (0) ,0zxy cz 所围成.在第一卦限部分 解解: , : 0 x yD xy z c

26、 其中D如图 22 22 1 xy ab a b x y 0 d d( , , )d xy c D Ix yf x y z z 22 000 dd( , , )d bxy aax ac xyf x y z z 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 a z o b 1 2 2 2 2 b y a x y x cz=xy . 6.6. 区区域域。 所所围围成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及 z b y a x cxyz: , )( c zyxzyxfIddd ),( 计计算算 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 z z = 0 a 1 2 2 2 2 b y a x cz=xy y x b .

27、 6.6. 区区域域。 所所围围成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及 z b y a x cxyz: , )( c zyxzyxfIddd ),( 计计算算 o 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 a z o x y . zzyxfyxI D c xy d ),(dd zzyxfyx c xy axa a b d ),(dd cz=xy b . 6.6. 区区域域。 所所围围成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及 z b y a x cxyz: , )( c zyxzyxfIddd ),( 计计算算 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 积分,其中 由 例例7 ( , , )d d df x

28、y zx y z 及三个坐标面所围成. 分析分析: 将先一后二的方法写成三次 22 1,4zxyxy 22 10 xy 4,0,0 xyxy 它们在XOY面投影线围成闭闭区域D. 4 4 4xy 围成 的柱面有 故 的围围为D. 在D上显然有 故顶顶为 围成另外两张曲面为 22 1,0zxyz 22 01zxy 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 积分,其中 由 例例7 ( , , )d d df x y zx y z 及三个坐标面所围成. 将先一后二的方法写成三次 22 1,4zxyxy 4 4 4xy 解解: ( , , )d d df x y zx y z 4 0 dx 22 x1 0

29、 ( , , )d y f x y zz 4 0 d x y 22 , : 01 x yD zxy 其中D如图 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 4 1: 22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxz y 1 4 x+ y = 4 x = 0 x z o 1 22 yxz . 7.7.zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 4 1: 22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxz y 1 4 x+ y = 4 x z o 1 1 22 yxz . 7.7.zyxz , y

30、,xfIddd )( 计计算算 取第一卦限部分取第一卦限部分 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 4 1: 22 及及三三个个坐坐标标面面所所围围区区域域平平面面, , 曲曲面面 yxyxz 4 x+ y = 4 y = 0 x y z D yx zz , y,xfyxId )(dd 1 0 22 . D zzyxfyx yxx d ),(dd . . 7.7. o zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 1 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 由 例例8. ( , , )d d d ,f x y zx y z 所围成. 分析分析: 将 2 xz 先一后二的方法写成 三次积分

31、，及,0,0yx zy 交线在XOY面投影线为 故顶顶为0 2 zx 2 x yx 2 x 它们在XOY面投影线不不围成闭区域. 围成 的柱面有 故 的围围为D. 在D上显然有 围成另外两张曲面 ,0,yx y ,0 2 xzz 与先前的投影线围成闭区域D. 围成另外两张曲面为 ,0, 2 zx z 0 2 x 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 由 例例8. ( , , )d d d ,f x y zx y z 所围成. 将 2 xz 先一后二的方法写成 三次积分，及,0,0yx zy yx 2 x 解解: ( , , )d d df x y zx y z , : 0 2 x yD

32、zx 其中D如图 2 0 dx 2 0 ( , , )d x f x y zz 0 d x y 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 y2=x x y z o . 8 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy 2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 zx 2 2 2 y2=x x y z o . 8. 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy 2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 z = 0 y=0 2

33、 2 x y z o zzyxfyxI x x d ),(dd 2 00 2 0 。 。 D x zz , y,xfyxI 2 0 )d(dd 0 y x 2 xy y2=x . 8. 所围成的区域。所围成的区域。与平面与平面抛物柱面抛物柱面 zx,z,yxy 2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 D 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 由 例例9. ( , , )d d df x y zx y z 所围成. 分析分析: 将先一后二的方法写成 三次积分， ,1,0zxy xyz 故顶顶为0zxy 0 xy y x 1 1 交线在XOY面投影线为 围成 的柱面有

34、 故 的围围为D. 在D上显然有 围成另外两张曲面 与先前的投影线围成闭区域D. 围成另外两张曲面为 1 ,xy 它们在XOY面投影线不不围成闭区域. ,0zxy z 即 0,0 xy ,0,zxy z0,xy 1xy 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 由 例例9. ( , , )d d df x y zx y z 所围成. 将先一后二的方法写成 三次积分， ,1,0zxy xyz y x 1 1 1xy 解解: , : 0 x yD zxy 其中D如图 ( , , )d d df x y zx y z 1 0 dx 0 ( , , )d xy f x y zz 1 0 d x y

35、三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 1 x+ y=1 y o z x 1 z=xy . 9.9. 所围成的区域所围成的区域 与与 : z,yxxyz zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 z =0 1 x+ y=1 o z x 1 y z=xy . 9.9. 所围成的区域所围成的区域 与与 : z,yxxyz zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 1 1 z =0o z x x+ y=1 y D xy zz ,y,xfyxI 0 )d(dd 。 zz , y,xfyx xyx d )(dd 0 1

36、 0 1 0 。 z=xy . 9.9. 所围成的区域所围成的区域 与与 : z,yxxyz zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 由 例例10. ( , , )d d df x y zx y z 所围成. 分析分析: 将 先一后二的方法写成 三次积分， 2 2,1,0 422 xyz yxz 24xy 0 y -2 1 2 故顶顶为 交线在XOY面投影线为 围成 的柱面有 故 的围围为D. 在D上显然有 围成另外两张曲面 与先前的投影线围成闭区域D. 围成另外两张曲面为 它们在XOY面投影线不不围成闭区域. 2 2,yx 1,0 422

37、xyz z 1,0, 422 xyz z 02 2 x zy 20, 2 x y 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 由 例例10. ( , , )d d df x y zx y z 所围成. 将 先一后二的方法写成 三次积分， 2 2,1,0 422 xyz yxz 0 y -2 1 2 解解: , : 02 2 x yD x zy 其中D如图 ( , , )d d df x y zx y z 1 2 dx 2 2 0 ( , , )d x y f x y zz 2 4 2 2 d y y y 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 10 所所围围区区域域。和和平平面面抛抛物物柱柱面面

38、 z, zyx xy: y 0 x z . zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 10 所所围围区区域域。和和平平面面抛抛物物柱柱面面 z, zyx xy: 2 4 xy 2 2 1 224 zyx . zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 y 0 x z 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 z =0 4 xy 2 2 1 224 zyx . . )( d),(dd yx y y zzyxfxy ) 24 1(2 0 )d(dd yx D zz , y,xfyxI xy Dxy . 10. 所所围围区区域域。和和平平面面抛抛物物柱柱面

39、面 z, zyx xy: zyxz , y,xfIddd )( 计计算算 y 0 x z 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 a b (二二). 坐标轴投影法坐标轴投影法 (“先二后先二后 一一”) , z D x y z z z D 1: Z型区域将投影Z轴得区间 , a b 对 ,za b 是一个平面区域 类似可以定义X 型区域, Y型区域 过z作平行于XOY平面截 称为Z型区域 ( , , )|( , ), z x y zx yD azb Z型区域 表示为 注：注：由z不同所截平面区域可不同，所截平面区域与z有关 故记为 z D 记为 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 a b 2

40、坐标轴投影法坐标轴投影法 (“先二后一先二后一”) bza Dyx z ),( : 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 z D以 x y z 该物体的质量为 vzyxfd),( b a Z D yxzyxfdd),( Z D b a yxzyxfzdd),(d zd z z D z D yxzyxfdd),( zzyxfd),( 面密度 zd 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为Z型区域为例以 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 x y z 例例. 计算三重积分,ddd 2 zyxz . 1: 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 其中 解解: : zyxzddd 2 c

41、 c z c z bazd)1(2 2 2 2 czc 2 2 2 2 2 2 1: c z b y a x Dz z D yxdd c c zz d 2 3 15 4 cba a b c 用用“先二后一先二后一 ” z D z 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 若 （）被积函数仅是Z的函数， 注 z D（）面积容易计算() z S D ( )df zv b a dz ( )d d Z D f zxy ( ) b a f z dz d d Z D xy ( ) () b Z a f z S D dz 对X型区域, Y型区域有类似的结论 （）为Z型区域， 采用先二后一的方法计算 三重积分的概

42、念直角坐标下的计算 机动 o x y z 三三. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,R),( 3 zyxM设,代替用极坐标将yx),z（则 就称为点M 的柱坐标. z 20 0 siny zz cosx 直角坐标与柱面坐标的关系: 常数 坐标面分别为 圆柱面 常数半平面 常数z 平面 o z ),(zyxM )0 ,(yx 是点M到Z轴距离 是向量O M*与X轴正半轴的夹角 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 z zd d d zvdddd 因此 zyxzyxfddd),( (cos ,sin , )fz zddd x y z o d d

43、若的柱坐标为 12 12 ( ) (cos ,sin )(cos ,sin )zzz 则 ( , , )d d df x y zx y z 2 1 ( cos , sin ) ( cos , sin ) ( cos ,sin , ) z z fzdz 2 1 ( ) ( ) d d 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 柱坐标系计算其实质是先一后二的计算时在计算 重积分时采用了极坐标 注：注： 其一部分时，或被积函数有 ：积分域在XOY面上的投影区域为圆、圆环或 3： 的柱坐标表示 1)先将表示成XY型 12 ( , )( , ),z x yzzx y, x yD 2)对平面区域表示成极坐标

44、12 ( )( ) :D )sinyzz cosx利用 12 (cos ,sin )(cos ,sin )zzz 得柱坐标 12 12 ( ) (cos ,sin )(cos ,sin )zzz 2 2 xy时， 适合用柱坐标。 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 例例12. 计算三重积分 zyxyxzddd 22 xyx2 22 0),0(, 0yaazz 在柱面坐标系下: cos20 2 0 及平面 2 a x y z o 为由柱面 所围成半圆柱体. az 0 x y xyx2 22 分析分析: 如图 , : 0 x yD za 其中D如图 在直角坐标系下 注注: 也可以用求围定顶

45、的方法获得表示 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 其中 例例12. 计算三重积分 zyxyxzddd 22 xyx2 22 0),0(, 0yaazz 在柱面坐标系下 2 0 : 02cos 0za 及平面 2 a x y z o 为由柱面 所围成半圆柱体. x y xyx2 22 解解: 2cos 0 d dcos 3 4 2 0 3 2 a 2 0 d 2 0 d a zz zzddd 2 原式 3 9 8 a 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 o x y z 例例13. 计算三重积分 故在柱面坐标系下 h : 2 4 zh h20 20 , 1 ddd 22 yx zyx zyx

46、4 22 )0( hhz 所围成 . 与平面 其中由抛物面 22 4xyh 分析分析: 如图在直角坐标系下 22 , : 4 x yD xy zh 其中D如图 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 o x y z 例例13. 计算三重积分 h 2 4 02 : 02 h zh , 1 ddd 22 yx zyx zyx4 22 )0( hhz 所围成 . 与平面 其中由抛物面 22 4xyh 在柱面坐标系下解解: h z 4 2d h dh 2 0 2 2 ) 4 ( 1 2 4)41ln()41( 4 hhh h2 0 2 d 1 2 0 d 原式 = 2 dd d 1 z 三重积分的概念直

47、角坐标下的计算 机动 四四. 球坐标下计算三重积分球坐标下计算三重积分 ,R),( 3 zyxM设),(z其柱坐标为 就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 ,ZOM M o x y z z r ),(r则 0 20 0rcossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为 常数r 球面 常数 半平面 常数 锥面 , rOM 令 ),(rM sinr cosrz 注:要记住, ,r 几何意义,及取值范围 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 写出下列区域的球坐标 z a 2222 : xyza 02 0 0ra : 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 y z x a 222

48、2 :()xyzaa 02 0 2 02 cosra : (1)将投影到XOY面上得到区域D， 极坐标中 取值范围也为球坐标中的 取值范围。 (3)取定， 过原点做射线与边界的两个交点来确定 注注根据区域D的 (2) 由其几何意义及图形来确定取值范围 r取值范围 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 r dr d rsin x z y 0 圆锥面圆锥面 rd 球面r 圆锥面圆锥面 +d 球面球面r+d r 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成： d rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素 半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面； 圆

49、锥面圆锥面 及及 +d 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 r dr d x z y 0 d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成： rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素 . 半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面； 圆锥面圆锥面 及及 +d r 2 dV dV ()rddr 2 sinrdrd d ( sin)rd 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 dddsind 2 rrv 因此得 ( , , )f x y z dv ),(rF 其中 )cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF dddsin 2 rr

50、 sincos sinsin cos xr yr zr 又 ( , , )f x y z dxdydz 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 若的球坐标为 12 ,rrr ( , , )f x y z dxdydz 2 2 , 2 , ( , , )sin r r F rrdr d d 2 2 , 2 , ( , , ) r r F rr dr sin d d 则 其中 )cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF 2 sind dd( , , )rFrr 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 注注 ：注意球坐标系与柱坐标系的不同，不要搞混淆， 例在球坐标系中 222 xyz 22

51、22 sinxyr ：被积函数含 时，或积分区域为球形域 或为球形域的一部分时，适合用球坐标计算 ：一般的先对r积分，次对积分，最后对 积分 ：积分区域的球坐标表示是用球坐标积分的关键。 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 例例14. 计算三重积分 222 (),xyzdxd ydz 22 yxz为锥面 2222 Rzyx 解解: 在球面坐标系下: 所围立体. 4 0 Rr 0 20 其中 与球面 R rr 0 4 d )22( 5 1 5 R 4 0 dsin 2 0 d x y z o 4 Rr 机动 目录 上页 下页 返回 结束 22 0 (sin )d R rrr 4 0 d 2 0 d 原式 2 r 2 sind ddrr 三重积分的概念直角坐标下的计算 机动 z o x y 2 例例15. 设由锥面 22 yxz和球面4 222 zyx 所围成 , 计算.d)( 2 vzyxI 解解: 4 222 ()dxyzv vzxzyyxzyxId)222( 222 2 22 0 sindr rr 4 0 d 2 0 d