第四章 4.2.2 圆与圆的位置关系(共45张PPT)

1、4.2.2圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系及判定圆与圆的位置关系及判定 已知两圆已知两圆C C1 1：(x(xx x1 1) )2 2(y(yy y1 1) )2 2r r1 12 2, , 圆圆C C2 2：(x(xx x2 2) )2 2(y(yy y2 2) )2 2r r2 22 2, , 圆心距圆心距d=|Cd=|C1 1C C2 2|=_.|=_. 则两圆则两圆C C1 1，C C2 2有以下位置关系：有以下位置关系： 22 1212 xxyy 位置关系位置关系外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含 图示图示 d d与与r r1 1,r,r2 2的的 关系关系 d d r r1

2、 1+r+r2 2 d=rd=r1 1+r+r2 2 |r|r1 1- - r r2 2|d|d rr1 1+r+r2 2 d=|rd=|r1 1- - r r2 2| | d|rd|r1 1- - r r2 2| | 思考思考: :当两个不重合的圆的圆心距等于零时两圆位置关系如何当两个不重合的圆的圆心距等于零时两圆位置关系如何? ? 提示提示: :当两个不重合的圆的圆心距为零时当两个不重合的圆的圆心距为零时, ,两个圆内含且为同两个圆内含且为同 心圆心圆. . 【知识点拨】【知识点拨】 1.1.对圆与圆的位置关系的两点说明对圆与圆的位置关系的两点说明 (1)(1)根据圆心距与圆的半径之和或之

3、差的绝对值的大小关系根据圆心距与圆的半径之和或之差的绝对值的大小关系, , 两个圆的位置关系分为外离、外切、相交、内切和内含五种两个圆的位置关系分为外离、外切、相交、内切和内含五种 位置关系位置关系. . (2)(2)圆与圆的公共点个数圆与圆的公共点个数: :当两圆外离或内含时当两圆外离或内含时, ,两圆无公共点两圆无公共点; ; 当两圆内切或外切时当两圆内切或外切时, ,两圆仅有一个公共点两圆仅有一个公共点; ;当两圆相交时当两圆相交时, ,两两 圆有两个公共点圆有两个公共点. . 2.2.圆与圆位置关系的判断圆与圆位置关系的判断 判断两圆位置关系可采用代数法和几何法两种方法判断两圆位置关系

4、可采用代数法和几何法两种方法. . (1)(1)几何法几何法: :主要利用圆心距主要利用圆心距d d与两圆半径之和或之差的绝对值与两圆半径之和或之差的绝对值 之间的关系之间的关系. . (2)(2)代数法代数法: :将两圆的方程联立解方程组将两圆的方程联立解方程组, ,若方程组有两解若方程组有两解, ,则则 两圆相交两圆相交; ;若方程组只有一解若方程组只有一解, ,则两圆外切或内切则两圆外切或内切; ;若方程组没若方程组没 有实数解有实数解, ,则两圆内含或外离则两圆内含或外离. . 类型类型 一一 圆与圆的位置关系的判定圆与圆的位置关系的判定 【典型例题】【典型例题】 1.(1)(2012

5、1.(1)(2012山东高考山东高考) )圆圆(x+2)(x+2)2 2+y+y2 2=4=4与圆与圆(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=9=9 的位置关系为的位置关系为( () ) A.A.内切内切 B.B.相交相交 C.C.外切外切 D.D.外离外离 (2)(2013(2)(2013雅安高二检测雅安高二检测) )圆圆O O1 1:x:x2 2+y+y2 2-6x+4y+12=0-6x+4y+12=0与圆与圆O O2 2: : x x2 2+y+y2 2-14x-2y+14=0-14x-2y+14=0的位置关系是的位置关系是( () ) A.A.外离外离 B.B.内含内

6、含 C.C.外切外切 D.D.内切内切 2.2.已知两圆已知两圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2+4x-6y+12=0,C+4x-6y+12=0,C2 2:x:x2 2+y+y2 2-2x-14y+k=0(k50).-2x-14y+k=0(k50). 当两圆有如下位置关系时当两圆有如下位置关系时: : (1)(1)外切外切;(2);(2)内切内切;(3);(3)相交相交;(4);(4)内含内含;(5);(5)外离外离. . 试确定上述条件下试确定上述条件下k k的取值范围的取值范围. . 【解题探究】【解题探究】1.1.判定两圆位置关系有哪些方法判定两圆位置关系有哪些方法? ? 2.2

7、.解决与两圆位置关系有关的问题时圆的方程应如何处理解决与两圆位置关系有关的问题时圆的方程应如何处理? ? 探究提示探究提示: : 1.1.判断两圆位置关系的方法有几何法和代数法判断两圆位置关系的方法有几何法和代数法. . 2.2.解决与两圆位置关系有关的问题时要把圆的方程化为标准解决与两圆位置关系有关的问题时要把圆的方程化为标准 形式形式, ,找到圆心坐标与半径的大小找到圆心坐标与半径的大小. . 【解析】【解析】1.(1)1.(1)选选B.B.因为两圆的圆心距为因为两圆的圆心距为 又因为又因为3 32 32 32 2，所以两圆相交，所以两圆相交 (2)(2)选选D.D.分别将两圆的方程化为分

8、别将两圆的方程化为(x-3)(x-3)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1， (x-7)(x-7)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=36=36， 则圆心则圆心O O1 1(3,-2)(3,-2)，O O2 2(7,1)(7,1)，|O|O1 1O O2 2|= =5|= =5， 由于由于|O|O1 1O O2 2|=5=6-1|=5=6-1，故两圆内切，故两圆内切. . 22 2 21 017 ， 17 25 2.2.将两圆的方程化为标准方程：将两圆的方程化为标准方程： C C1 1:(x:(x2)2)2 2(y(y3)3)2 21 1；C C2 2:(x-1):(x-1)2 2(

9、y(y7)7)2 250-k.50-k. 则圆则圆C C1 1的圆心坐标的圆心坐标C C1 1(-2,3)(-2,3)，半径，半径r r1 1=1=1； 则圆则圆C C2 2的圆心坐标的圆心坐标C C2 2(1,7)(1,7)，半径，半径r r2 2= = 从而圆心距从而圆心距 (1)(1)当两圆外切时，当两圆外切时，d=rd=r1 1+r+r2 2，即，即 解得解得k=34.k=34. (2)(2)当两圆内切时，当两圆内切时，d=|rd=|r1 1-r-r2 2| |， 即即|1- |=5|1- |=5，解得，解得k=14.k=14. 50k. 22 d2 1375. 150k5 ， 50k

10、 (3)(3)当两圆相交时，当两圆相交时，|r|r1 1-r-r2 2| |d dr r1 1+r+r2 2， 即即|1- |1- |d d1+ 1+ ，解得，解得1414k k34.34. (4)(4)当两圆内含时，当两圆内含时，d d|r|r1 1-r-r2 2| |， 即即|1- |1- |5 5，解得，解得k k14.14. (5)(5)当两圆外离时，当两圆外离时，d dr r1 1+r+r2 2，即，即1+ 1+ 5 5，解得，解得k k34.34. 50k50k 50k 50k 【拓展提升】【拓展提升】判断两圆位置关系的步骤判断两圆位置关系的步骤 (1)(1)将圆的方程化为标准方程

11、，写出圆心和半径将圆的方程化为标准方程，写出圆心和半径. . (2)(2)计算两圆圆心的距离计算两圆圆心的距离d.d. (3)(3)通过通过d d，r r1 1+r+r2 2，|r|r1 1-r-r2 2| |的关系来判断两圆位置关系或求参的关系来判断两圆位置关系或求参 数范围数范围. . 【变式训练】【变式训练】(2013(2013锦州高一检测锦州高一检测) )两圆两圆x x2 2+y+y2 2-1=0-1=0和和x x2 2+y+y2 2- - 4x+2y-4=04x+2y-4=0的位置关系是的位置关系是( () ) A.A.内切内切 B.B.相交相交 C.C.外切外切 D.D.外离外离

12、【解析】【解析】选选B.B.圆圆x x2 2+y+y2 2-1=0-1=0的圆心的圆心C C1 1(0,0),(0,0),半径半径r r1 1=1,=1,圆圆x x2 2+y+y2 2- - 4x+2y-4=04x+2y-4=0的圆心的圆心C C2 2(2,-1),(2,-1),半径半径r r2 2=3,=3,两圆心距离两圆心距离d=|Cd=|C1 1C C2 2|=|= 又又r r2 2-r-r1 1=2,r=2,r1 1+r+r2 2=4,=4,所以所以r r2 2-r-r1 1drd0)(r0)， 由题知所求圆与圆由题知所求圆与圆x x2 2y y2 22x2x0 0外切，外切， 则则

13、r r1. 1. 又所求圆过点又所求圆过点M M的切线为直线的切线为直线x x y y0 0， 故故 2 a9+ 2 2 a 1b b3 3. a3 3 解由解由组成的方程组得组成的方程组得 a a4 4，b b0 0，r r2 2或或a a0 0，b b ，r r6.6. 故所求圆的方程为故所求圆的方程为 (x(x4)4)2 2y y2 24 4或或x x2 2(y(y ) )2 236.36. a3b r. 2 4 3 4 3 【互动探究】【互动探究】将题将题2 2变为变为“求与圆求与圆x x2 2y y2 22x2x0 0内切且圆心为内切且圆心为 M( )M( )的圆的方程的圆的方程”，

14、如何求解？，如何求解？ 【解析】【解析】由于由于3 32 2+( )+( )2 2-2-23 30 0，故点，故点M M在圆外，在圆外， 设所求圆的方程为设所求圆的方程为(x-3)(x-3)2 2+(y+ )+(y+ )2 2=r=r2 2(r0),(r0), 则有则有r-1= r-1= 所以所以r= +1,r= +1, 即所求圆的方程为即所求圆的方程为(x-3)(x-3)2 2+(y+ )+(y+ )2 2=( +1)=( +1)2 2, , 即即x x2 2+y+y2 2-6x+2 y+4-2 =0.-6x+2 y+4-2 =0. 3,3 3 3 22 (1 3)(03)7,7 37 37

15、 【拓展提升】【拓展提升】处理两圆相切问题两个步骤处理两圆相切问题两个步骤 (1)(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切， 则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论. . (2)(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于 两圆半径之差的绝对值两圆半径之差的绝对值( (内切时内切时) )或两圆半径之和或两圆半径之和( (外切时外切时).). 【变式训练】【变式训练】已知两圆已知两圆x x2 2+y+y2 2-2x-6y-1=

16、0-2x-6y-1=0和和x x2 2+y+y2 2-10 x-12y+m=0.-10 x-12y+m=0. 求求: : (1)m(1)m取何值时两圆外切取何值时两圆外切. . (2)m(2)m取何值时两圆内切取何值时两圆内切, ,此时公切线方程是什么此时公切线方程是什么? ? 【解析】【解析】两圆的标准方程分别为两圆的标准方程分别为 C C1 1:(x-1):(x-1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=11,C=11,C2 2:(x-5):(x-5)2 2+(y-6)+(y-6)2 2=61-m.=61-m. 圆心分别为圆心分别为C C1 1(1,3),C(1,3),C2 2(5,6).

17、(5,6). 半径分别为半径分别为 和和 1161m. (1)(1)当两圆外切时，当两圆外切时， 解得解得 (2)(2)当两圆内切时，因定圆的半径当两圆内切时，因定圆的半径 小于两圆圆心间距离小于两圆圆心间距离5 5， 故有故有 解得解得m m 因为因为 所以两圆公切线的斜率是所以两圆公切线的斜率是 设切线方程为设切线方程为y y x xb b，则有，则有 22 5 16 31161 m. m25 10 11. 11 61 m11 5. 25 10 11. 12 C C 6 33 k 5 14 ， 4 . 3 4 3 解得解得 容易验证，当容易验证，当 ，直线与后一圆相交，直线与后一圆相交，

18、故所求公切线方程为故所求公切线方程为 即即4x4x3y3y 13130.0. 2 4 |1 3b| 3 11. 4 ( )1 3 135 b11. 33 = 135 b11 33 4135 yx11. 333 5 11 类型类型 三三 与两圆相交有关的问题与两圆相交有关的问题 【典型例题】【典型例题】 1.1.若圆若圆x x2 2+y+y2 2=4=4与圆与圆x x2 2+y+y2 2+2ay-6=0(a0)+2ay-6=0(a0)的公共弦长为的公共弦长为 , ,则则 a=a=. . 2.2.已知圆已知圆C C的圆心为的圆心为(2,1),(2,1),若圆若圆C C与圆与圆x x2 2+y+y2

19、 2-3x=0-3x=0的公共弦所在的公共弦所在 直线经过点直线经过点(5,-2),(5,-2),求圆求圆C C的方程的方程. . 【解题探究】【解题探究】1.1.怎样确定两圆公共弦长怎样确定两圆公共弦长? ? 2.2.由两圆的方程如何求出公共弦所在的直线方程由两圆的方程如何求出公共弦所在的直线方程? ? 2 3 探究提示探究提示: : 1.1.确定两圆公共弦长时确定两圆公共弦长时, ,一般是通过由弦长的一半、半径和弦一般是通过由弦长的一半、半径和弦 心距组成的直角三角形求解心距组成的直角三角形求解. . 2.2.两圆方程相减即可得公共弦所在的直线方程两圆方程相减即可得公共弦所在的直线方程.

20、. 【解析】【解析】1.1.两方程作差得公共弦所在的直线方程为两方程作差得公共弦所在的直线方程为y y 由由 已知得，圆心已知得，圆心(0,0)(0,0)到公共弦的距离为到公共弦的距离为 所以所以 1 1，所以，所以a a1.1. 答案答案: :1 1 1 a ， 22 2( 3)1 ， 1 a 2.2.设圆设圆C C的半径长为的半径长为r,r,则圆则圆C C的方程为的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=r=r2 2, ,即即 x x2 2+y+y2 2-4x-2y+5=r-4x-2y+5=r2 2, ,两圆的方程相减得公共弦所在直线方程为两圆的方程相减得公共弦所在

21、直线方程为 x+2y-5=-rx+2y-5=-r2 2, ,因为该直线过点因为该直线过点(5,-2),(5,-2),所以所以r r2 2=4,=4,故圆故圆C C的方程为的方程为 (x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4. 【拓展提升】【拓展提升】处理两圆相交问题的方法处理两圆相交问题的方法 (1)(1)两圆的公共弦所在直线的方程两圆的公共弦所在直线的方程: :将两圆方程相减即得两圆将两圆方程相减即得两圆 公共弦所在直线方程公共弦所在直线方程, ,但必须注意只有当两圆方程中二次项系但必须注意只有当两圆方程中二次项系 数相同时数相同时, ,才能如此求解才能如此求解, ,

22、否则应先调整系数否则应先调整系数. . (2)(2)求两圆公共弦长的方法求两圆公共弦长的方法: :一是联立两圆方程求出交点坐标一是联立两圆方程求出交点坐标, , 再用距离公式求解再用距离公式求解; ;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程二是先求出两圆公共弦所在的直线方程, , 再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. . 【变式训练】【变式训练】圆圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2=1=1与圆与圆C C2 2:x:x2 2+y+y2 2-2x-2y+1=0-2x-2y+1=0的公共弦的公共弦 所在直线所在直线l被圆被圆C

23、C3 3:(x-1):(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2= = 所截得的弦长为所截得的弦长为. . 【解题指南】【解题指南】首先求出两圆的公共弦所在直线方程首先求出两圆的公共弦所在直线方程, ,再利用弦心再利用弦心 距、半径及弦长的一半构成的直角三角形求解距、半径及弦长的一半构成的直角三角形求解. . 25 4 【解析】【解析】由题意圆由题意圆C C1 1和圆和圆C C2 2公共弦所在的直线公共弦所在的直线l为为x+y-1x+y-10 0， 圆圆C C3 3的圆心为的圆心为(1,1)(1,1)，其到，其到l的距离的距离d d 由条件知，由条件知， 所以弦长为所以弦长为 答案答案:

24、: 1 2 ， 22 25123 rd 424 ， 23 223. 2 23 【规范解答】【规范解答】圆与圆相切问题的综合应用圆与圆相切问题的综合应用 【典例】【典例】 【条件分析】【条件分析】 【规范解答】【规范解答】设所求圆的圆心为设所求圆的圆心为P(aP(a，b)b)， 因为此圆与因为此圆与(x-2)(x-2)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4=4相切于点相切于点(4(4，-1)-1)且半径为且半径为1 1， 所以所以 (1)1(1)1分分 若若两圆外切两圆外切 ， ， 则有则有 (2)3(2)3分分 由由(1)(2)(1)(2)，解得，解得a a5 5，b b1.51.5分分 所

25、以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x(x5)5)2 2(y(y1)1)2 21.61.6分分 若若两圆内切两圆内切 ， ， 则有则有 (3)8(3)8分分 22 a4b 11. 22 a2b11 2. 22 a2b 12 1. 由由(1)(3)(1)(3)，解得，解得a a3 3，b b1.101.10分分 所以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x(x3)3)2 2(y(y1)1)2 21.111.11分分 综上，可知所求圆的方程为综上，可知所求圆的方程为 (x(x5)5)2 2(y(y1)1)2 21 1或或(x(x3)3)2 2(y(y1)1)2 21 1 .12 .12分分 【失分警示

26、】【失分警示】 【防范措施】【防范措施】 1.1.分类讨论的意识分类讨论的意识 涉及两圆相切的情况涉及两圆相切的情况, ,要分清是内切还是外切要分清是内切还是外切, ,切莫将外切等切莫将外切等 同于相切同于相切, ,以免出现知识性错误以免出现知识性错误, ,如本例如本例, ,若不分内切和外切两若不分内切和外切两 种情况讨论种情况讨论, ,则会丢解则会丢解. . 2.2.方程的思想方程的思想 求解圆的方程问题求解圆的方程问题, ,一般是用待定系数法或用定义法求解一般是用待定系数法或用定义法求解, ,设设 出圆的方程出圆的方程, ,有几个未知数就需建立几个方程有几个未知数就需建立几个方程, ,如本

27、例含有两如本例含有两 个未知数个未知数, ,需根据两圆位置关系建立方程需根据两圆位置关系建立方程, ,通过解方程组求解通过解方程组求解. . 【类题试解】【类题试解】求与求与y y轴相切轴相切, ,且与圆且与圆A:xA:x2 2+y+y2 2-4x=0-4x=0也相切的圆也相切的圆P P 的圆心的轨迹方程的圆心的轨迹方程. . 【解析】【解析】把圆的方程化为把圆的方程化为(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=4.=4.设设P(x,y)P(x,y)为轨迹上任意为轨迹上任意 一点一点. . (1)(1)当圆当圆P P与定圆与定圆A A相外切时相外切时, ,不妨设两圆切点为不妨设两圆切点为B,B

28、,且圆且圆P P与与y y轴轴 相切于点相切于点N,N,则则|PA|=|PN|+|AB|,|PA|=|PN|+|AB|, 即即 =|x|+2=|x|+2，当，当x x0 0时，时，y y2 2=8x=8x；当；当x x0 0时，时，y=0.y=0. 2 2 x2y (2)(2)当圆当圆P P与定圆与定圆A A相内切时相内切时,|PA|=|PO|-|OA|,|PA|=|PO|-|OA|, 即即 当当x0 x0时时,y=0;,y=0;当当x0 x0)=8x(x0)和和y=0(x0y=0(x0且且x0,2).x0,2). 2 2 x2yx2， 1.1.圆圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2+4

29、x+8y-5=0+4x+8y-5=0与圆与圆C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+4x+4y-1=0+4x+4y-1=0的位置关系的位置关系 为为( () ) A.A.相交相交B.B.外切外切C.C.内切内切D.D.外离外离 【解析】【解析】选选C.C.由已知由已知, ,得得C C1 1(-2,-4),r(-2,-4),r1 1=5,C=5,C2 2(-2,-2),r(-2,-2),r2 2=3,=3,则则 d=|Cd=|C1 1C C2 2|=2,|=2,所以所以d=|rd=|r1 1-r-r2 2|.|.所以两圆内切所以两圆内切. . 2.2.两圆两圆x x2 2+y+y2 2-4x+

30、2y+1=0-4x+2y+1=0与与x x2 2+y+y2 2+4x-4y-1=0+4x-4y-1=0的公切线有的公切线有( () ) A.1A.1条条 B.2B.2条条 C.3C.3条条 D.4D.4条条 【解析】【解析】选选C.C.圆圆x x2 2+y+y2 2-4x+2y+1=0-4x+2y+1=0的圆心为的圆心为(2,-1),(2,-1),半径为半径为2,2,圆圆 x x2 2+y+y2 2+4x-4y-1=0+4x-4y-1=0的圆心为的圆心为(-2,2),(-2,2),半径为半径为3,3,故两圆外切故两圆外切, ,即两圆即两圆 有三条公切线有三条公切线. . 3.3.两圆两圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2,(x-3),(x-3)2 2+(y+4)+(y+4)2 2=4=4外切外切, ,则正实数则正实数r r的值为的值为 ( () ) A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3