平面场的复势

1、* *第四节第四节 平面场的复势平面场的复势 一、用复变函数表示平面向量场 二、平面流速场的复势 三、静电场的复势 四、小结与思考 一、用复变函数表示平面向量场 平面定常向量场平面定常向量场: 向量场中的向量都平向量场中的向量都平 行于某一个平面行于某一个平面S, 而且在而且在 垂直于垂直于S 的任何一条直线的任何一条直线 上的所有点处的向量都是上的所有点处的向量都是 相等的相等的; 场中的向量也都与场中的向量也都与 时间无关时间无关. S 0 S 显然显然, 向量场在所有平行于向量场在所有平行于S 的平面内的分布情的平面内的分布情 况是完全相同的况是完全相同的, 可以用可以用So 平面内的场

2、表示平面内的场表示. , 0 xoyS 内取定一直角坐标系内取定一直角坐标系在平面在平面 o x y A y A x A . yx yx iAAA jAiAA 为为复复数数 可可表表示示向向量量 , 表表示示由由于于场场中中的的点点可可用用复复数数iyxz ).,(),()( ),(),( yxiAyxAzAA jyxAiyxAA yx yx 示示为为复复变变函函数数 可可表表所所以以平平面面向向量量场场 .),(),( , ),(),( , jyxviyxuA yxivyxuw 场场可作出对应的平面向量可作出对应的平面向量 也也已知一个复变函数已知一个复变函数反之反之 例如例如, 一个平面定

3、常流速场一个平面定常流速场(如河水的表面如河水的表面) jyxviyxvv yx ),(),( , ),(),()( 表表示示可可以以用用复复变变函函数数yxivyxvzvv yx 平面电场强度向量为平面电场强度向量为 jyxEiyxEE yx ),(),( . ),(),()( 表表示示 可可以以用用复复变变函函数数yxiEyxEzEE yx 二、平面流速场的复势 1. 流函数流函数: : 体的流速场体的流速场 想流想流是不可压缩的定常的理是不可压缩的定常的理设向量场设向量场 v ,),(),(jyxviyxvv yx . ),( ),( 都有连续偏导数都有连续偏导数与与其中速度分量其中速度

4、分量yxvyxv yx 如果它在单连域如果它在单连域 B 内是无源场内是无源场(即管量场即管量场), , 0div y v x v v y x 那那末末, y v x v y x 即即 流线流线 , ),( dd 的全微分的全微分 为某个二元函数为某个二元函数于是于是yxyvxv xy .dd),(d yvxvyx xy ., xy v y v x ,),( 1 cyx 因为等值线因为等值线 0,dd),(d yvxvyx xy . d d x y v v x y 所以所以 , ),( 1 都都与与等等值值线线相相切切 上上每每一一点点处处的的向向量量在在等等值值线线场场vcyxv . ),(

5、 的的流流函函数数称称为为场场函函数数vyx 2. 势函数势函数: ),( 即即势势量量场场内内的的无无旋旋场场又又是是如如果果Bv , 0rot v 那那么么. 0 y v x v x y 即即 , ),( dd 的的全全微微分分 为为某某个个二二元元函函数数于于是是yxyvxv yx ,dd),(dyvxvyx yx ., yx v y v x .gradv ).( ),( 或或位位函函数数的的势势函函数数称称为为场场函函数数vyx 等势线等势线(或等位线或等位线) ),( 2 cyx 等等值值线线 平面流速场的复平面流速场的复 势函数势函数(复势复势) 柯西柯西 黎曼黎曼 方程方程 3.

6、 平面流速场的复势函数平面流速场的复势函数: , , 是无旋场是无旋场 既是无源场又既是无源场又向量场向量场内内如果在单连域如果在单连域vB ,与与 xy v y v x , , 同同时时成成立立 yx v y v x , , xyyx 比比较较后后得得 在单连域内可以作一个解析函数在单连域内可以作一个解析函数 ).,(),()(yxiyxzfw yx ivvv 因因为为 y i x x i x , )(z f . )( 表示表示可以用复变函数可以用复变函数所以流速场所以流速场zfvv 给定一个单连域内的无源无旋平面流速场给定一个单连域内的无源无旋平面流速场, 就可以构造一个解析函数就可以构造

7、一个解析函数它的复势与之对它的复势与之对 应应; 反之反之, 如果在某一区域如果在某一区域(不管是否单连不管是否单连)内给内给 定一个解析函数定一个解析函数, 就有以它为复势的平面流速就有以它为复势的平面流速 场对应场对应, 并可以写出该场的流函数和势函数并可以写出该场的流函数和势函数, 得得 到流线与等势线方程到流线与等势线方程, 画出流线和等势线的图画出流线和等势线的图 形形, 即得描绘该场的流动图象即得描绘该场的流动图象. 例例1 1 . , ) 0( )( 数数和和势势函函数数试试求求该该场场的的速速度度、流流函函实实常常数数 为为为为设设一一平平面面流流速速场场的的复复势势 aazz

8、f 解解,)( azf 因因为为 , 0)( azfv所以场中任一点的速度所以场中任一点的速度 .轴正向轴正向方向指向方向指向 x ,),( ayyx 流函数流函数 ; 1 cy 流流线线是是直直线线族族 ,),( axyx 势函数势函数 . 2 cx 等势线是直线族等势线是直线族 x y o 流线流线 等等势势线线 例例2 2 . , . ) 0 div , 0div ( 0div 并并画画出出流流动动图图象象流流速速场场的的复复势势 的的定定常常试试求求由由单单个个源源点点所所形形成成的的点点为为洞洞 而而使使的的点点为为源源点点有有时时称称使使源源点点 的的点点统统称称为为在在场场论论中

9、中将将散散度度 vv v 解解 . , , 远处保持静止状态远处保持静止状态 在无穷在无穷而其他各点无源无旋而其他各点无源无旋点的源点点的源点 内只有一个位于坐标原内只有一个位于坐标原不妨设流速场不妨设流速场 v 由对称性由对称性,)( 0 0 rrgvz 处的流速处的流速 , 到到原原点点的的距距离离是是其其中中zzr , 0 的向径上的单位向量的向径上的单位向量是指向点是指向点 zr . )(是一待定函数是一待定函数rg , 0 z z r 因为流体不可压缩因为流体不可压缩, , 21 内内不不可可能能积积蓄蓄 心心的的圆圆环环域域流流体体在在任任一一以以原原点点为为中中rzr , 21

10、的的流流量量相相等等与与所所以以流流过过圆圆周周rzrz 流过圆周的流量为流过圆周的流量为 rz srvNd 0 rz srrrgd)( 00 ).(2zgz . 称为源点的强度称为源点的强度N . 无关的常数无关的常数是与是与 r . 2 )( z N zg 故故 z z z N v 2 流流速速. 1 2z N )( 的的导导数数为为复复势势函函数数zf)()(zvzf . 1 2z N ,Ln 2 )( cz N zf 复复势势函函数数为为) ( 21 复复常常数数iccc ,ln 2 ),( 1 cz N yx 于于是是势势函函数数为为 .Arg 2 ),( 2 cz N yx 流函数

11、为流函数为 x y o )0( N)0( N x y o 蓝色为等势线蓝色为等势线, 红色为流线红色为流线. (流动图象如下流动图象如下) 解解 例例3 3 . , , , . 0rot 并并画画出出流流动动图图象象试试求求该该流流速速场场的的复复势势态态 无无穷穷远远处处保保持持静静止止状状点点面面上上仅仅在在原原点点有有单单个个涡涡 设设平平的的点点称称为为涡涡点点平平面面流流速速场场中中 v 与例与例2类似类似,)( 0 rhvz 的的流流速速设设场场内内某某点点 , 00 垂直的单位向量垂直的单位向量处与处与是点是点rz . )(有关的待定函数有关的待定函数是仅与是仅与zrrh , 0

12、 z iz 沿圆周的环流量为沿圆周的环流量为 rz svd 0 rz szhd)( ).(2zhz . 无无关关的的常常量量是是与与 r . 称称为为涡涡点点的的强强度度 i . 2 )( z zh , 1 2 z i v 流速流速 ,Ln 2 )( cz i zf 复势函数为复势函数为) ( 21 iccc .ln 2 ),( 2 czyx 流流函函数数为为 ,Arg 2 ),( 1 czyx 于于是是势势函函数数为为 对比例对比例1和例和例2的结果的结果, , 1 , i N两两者者仅仅差差因因子子外外换换成成除除了了常常数数 因此因此,只须将例只须将例2图中流线与等势线位置互换图中流线与

13、等势线位置互换, 即可得涡点所形成的场的流动图象即可得涡点所形成的场的流动图象. x y o )0( x y o )0( 蓝色为流线蓝色为流线, 红色为等势线红色为等势线. 三、静电场的复势 . jEiEE yx 设设平平面面静静电电场场 当场内没有带电物体时当场内没有带电物体时, 静电场无源无旋静电场无源无旋. 是是无无源源场场那那末末根根据据 E , ),( dd 的全微分的全微分 为某个二元函数为某个二元函数于是于是yxuyExE xy .dd ),(dyExEyxu xy , 0div y E x E v y x 与讨论流速场一样与讨论流速场一样, , ),( 1 都都与与等等值值线线

14、相相切切向向量量 上上每每一一点点处处的的在在等等值值线线静静电电场场 E cyxuE 就是说就是说, 等值线就是向量线等值线就是向量线, 即场中电力线即场中电力线. . ),(的的力力函函数数称称为为场场 Eyxu 是无旋场是无旋场根据根据 E , ),( dd 的的全全微微分分 为为某某个个二二元元函函数数于于是是yxvyExE yx .dd),(dyExEyxv yx , 0rotn y E x E v x y j y v i x v v grad jEiE yx .E ).( ),( 电电势势或或电电位位的的势势函函数数是是场场所所以以Eyxv . ),( 2 就是等势线或等位线就是等

15、势线或等位线等值线等值线cyxv : , 黎曼方程黎曼方程满足柯西满足柯西 和和则则内的无源无旋场内的无源无旋场是单连域是单连域如果如果 vuBE . , x v y u y v x u 静电场的复势静电场的复势 (复电位复电位) 在在B内可决定一个解析函数内可决定一个解析函数,)(ivuzfw x u i x v E 可可以以用用复复势势表表示示为为场场 E . )(zfi . i 的的复复势势相相差差因因子子静静电电场场的的复复势势和和流流速速场场 利用静电场的复势利用静电场的复势, 可以研究场的等势线可以研究场的等势线 和电力线的分布情况和电力线的分布情况, 描绘出场的图象描绘出场的图象

16、. 例例4 4 . 所产生的静电场的复势所产生的静电场的复势无限长直导线无限长直导线 的均匀带电的的均匀带电的为为求一条具有电荷线密度求一条具有电荷线密度 L e 解解 o x y , 0 平面平面处垂直于处垂直于 在原点在原点设导线设导线 z zL ,d h hL 取取微微元元段段 处处上上距距原原点点为为在在 h dh .d he则其带电量为则其带电量为 因为导线为无限长因为导线为无限长, 因此垂直于因此垂直于 xoy 平面的任平面的任 何直线上各点处的电场强度是相等的何直线上各点处的电场强度是相等的. o x y h dh 又因为导线上关于又因为导线上关于 z 平面对称的两带电微元段平面

17、对称的两带电微元段 所产生的电场强度的垂直分量相互抵消所产生的电场强度的垂直分量相互抵消, 只剩下只剩下 与与 xoy 平面平行的分量平面平行的分量. 故所产生的静电场为平面场故所产生的静电场为平面场. . jEiEE z yx 强度强度 的电场的电场先求平面上任一点先求平面上任一点 由库仑定律由库仑定律, d 处处产产生生的的场场强强大大小小为为在在微微元元段段zh , d d 22 hr he E . 22 yxzr 其中其中 r E Ed z t , 平面内平面内在在因为所求的电场强度因为所求的电场强度zE , d 影影之之和和 平平面面上上投投在在微微元元所所以以其其大大小小为为所所有有场场强强zE ,d cos 22 h hr te E . o d 平平面面的的交交角角与与为为其其中中yxEt o x y h dh r E Ed z ,tan trh 因因为为, cos d d 2 t tr h 所所以以 , cos1 2 2 22 r t hr 2 2 d cos t r te E . 2 r e , 的方向的方向考虑到向量考虑到向量 E . 2 0 r r e E . 2 z e E 用复数表示为用复数表示为iEzf )(. 2 z ei , 1 Ln2)( c z eizf 复复势势为为) ( 21 iccc .