统计学课后答案第七八章

1、丄盎司，通过观察这台装瓶机对每个9个瓶子形0.3盎司的概解：总体方差知道的情况下，均值的抽样分布服从N （巴）的正态分布,由正态分布,6.1调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为瓶子的灌装量服从标准差1.0盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过 率。99x _ 标准化得到标准正态分布：z=N 0,1 ,因此，样本均值不超过总体均值的概率Pr/Vn为:x -3=P 二?擅二 一。3=P -0.9_z_0.9 =20.9 -1，查标准正态分布表得 0.9 =0.8159因此，P |x -0.3 =0.63186.2在练习题6

2、.1中，我们希望样本均值与总体均值J的偏差在0.3盎司之内的概率达到0.95，应当抽取多大的样本？解：P(|x艸 0.3 )= P I 1 =P芒二干）1三= 2(0.3 .n)-1 _ 0.95=(03.齐)_ 0.975二 0.3. n _ 1.96 二 n 一 42.68288= n 一 436.3乙，Z2 ,Z6表示从标准正态总体中随机抽取的容量，n=6的一个样本，试确定常数b,使得P|Zi2Eb =0.95i 1解：由于卡方分布是由标准正态分布的平方和构成的：设Z1，Z2，,Zn是来自总体N（0,1）的样本，则统计量2 二 Z12 Z2 川 zn服从自由度为n的X分布，记为XX（n）

3、6 6 6 因此，令2Zi2，贝y 2八Zi2L 2 6，那么由概率P|Zi2乞b =0.95，可知：i丿b= 2q95（6 ），查概率表得：b=12.5926.4在习题6.1中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差二=1的标准正态分布。假定我们计划随机抽取10个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到10个观测值，用这1 n10个观测值我们可以求出样本方差s2(s2 = 送(Y -Y)2)，确定一个合适的范围使得有n -1 i丄较大的概率保证 S2落入其中是有用的，试求切，使得p(bi S2 汕2)=0.90解：更加样本方差的抽样分布知识可知，样本统计量：(n - 1S22此处，n =10，=1

4、，所以统计量(n -1)s2(10 -1)s21= 9s2 2(n-1)根据卡方分布的可知：2 2P d _S _b i=P 93 _9S _9b2 =0.90又因为：p.rj：2 n _1 一 9s 土 -.2 n -1=1八因此：P 9b _9S2 _96 =P 12_-.2 n-1 _9S2 二為 n1 =1一： =0.90 =P 9b9S 9b, =P 二.2 n 1 乞9S2 乞：2 n1二P 295 9 9S 爲 9 =0.90则：n 9bi =盂.95 (9 )9b2 =雄05 (9b 二“律鸟二 o：(9 )查概率表：可95(9卜3.325，忑05 (9 )=19.919，则=

5、0.369，b2_0.05 9 I=1.887.1从一个标准差为 值为25。5的总体中米用重复抽样方法抽出一个样本容量为(1)样本均值的抽样标准差等于多少40的样本，样本均CT 5、n , 40-0.79(2 )在95%的置信水平下，估计误差是多少?1. 5495z：/2：x = Z0.02& =1. 9 6 0. 7 97.2某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额。在为期3周的时间里选取 49名顾客组成了一个简单随机样本。(1) 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。a 15x=2.143JnV49在95 %的置信水平下，求边际误差。 J二tx ,由于是大样本抽样，因此样本均

6、值服从正态分布，因此概率度t=Z：. 2因此，=t V-x - Z2 心次=石.025 心厂1.96 X 2.143=4.2如果样本均值为120元，求总体均值的95%的置信区间。置信区间为：x-.：x,x x = 120 4.2,120 4.2 = (115.8, 124.2)7.4从总体中抽取一个 n=100的简单随机样本，得到x =81 , s=12。 要求：大样本，样本均值服从正态分布：xLI N(尹J或 xLI N/ 2、J n丿、nJ置信区间为:ss _12 十打，.100=1.2(1)构建的90%的置信区间。Zf2 = Z).05=1.645，置信区间为：81-1.645 1.2,

7、81 1.645 1.2 = (79.03, 82.97)构建的95%的置信区间。2 = Z0.025 =1.96，置信区间为：81-1.96 1.2,81 1.96 1.2 = (78.65, 83.35)构建的99%的置信区间。Zt2=Z0.005 =2.576，置信区间为：81 -2.576 1.2,81 2.576 1.2 = (77.91, 84.09)7.5禾U用下面信息，构造总体均值的置信区间。:.=3.5Xz 聲卓=25* 025 2 =250.8856 . V60(2) 119.6s =23.89n = 75X%2 卓=119.6 士 Z0.01= 119.6 6.4174J

8、n75(3) X =3.419s =0.974n =321 -：二 90%Xz疾2 卓=3.419 Zoo5= 3.419 0.2832蘇.x = t J = Z：.2 Q-x1 - ： =0.9, l 赳 6 = Z：.2 J=Z0.05 6重复抽样：x= Zq2 Qx = Zo.05 心X =1.645 X 0.268=0.441不重复抽样：Ax =Z&2 灯xUZo.05 Qx=1.645 X 0.267=0.4391 - : =0.95，丄x =t 二 Z：.2 ；= Z0.025 ；x重复抽样：&x =Z2 Qx = Z0.025 =1.96X 0.268=0.525不重复抽样：Ax

9、 =z&2 心艮=Zo.025 Qx=1.96 X 0.267=0.5231 二=0.99，二 x = t x = Z： 2 r =勺.005 J x重复抽样：Ax = Z悝2 Qx = Z0.005 Qx =2.576 X 0.268=0.69不重复抽样：Ax = 2 =0.95,重复抽样： x_. X，Xx = 3.32 0.525,3.32 0.525 = (2.79, 3.85)不重复抽样：x _. X,x ：x = 3.32 - 0.441,3.32 0.441 = (2.80 , 3.84)1=0.99,重复抽样： x . x,x：x = 3.32 0.69,3.32 0.69 =

10、 (2.63 , 4.01)不重复抽样：x. x,x ：x = 3.32 0.688,3.32 0.688 = (2.63 , 4.01)7.8从一个正态分布总体中随机抽取样本容量为8的样本，各样本值分别为：10, 8, 12 ,15, 6，13，5，11。求总体均值的 95%的置信区间。解：x =10,s2 =12,3.4641x-t,2n -1=10 丄t.025“3.4641=10 _ 2.89617.9某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离(单位：km)分别是：103148691211751015916132假定总体服从正态分布

11、，求职工上班从家里到单位平均距离的95%的置信区间。解：小样本，总体方差未知，用t统计量x - 均值=9.375，样本标准差 s=4.11置信区间：(_s _S )X -1 .篇 2 n, X t 二 2 n -1=V寸npn丿10=0.95, n=16, t世2( n 1 )=t.025 (15 片2.13ssx n1 n,x t2 n-1，n9.375 - 2.134.1116,9.375 2.13(7.18,11.57)7.10从一批零件中随机抽取36个，测得其平均长度为149.5，标准差为1.93(1)试确定该种零件平均长度的95%的置信区间x tn T壬=149.5 士t025(35

12、193 =149.5 0.6530n、36、 - s1.93或者 乂士 Z2= 149.5 士 Zq 025 汇=149.5 0.630455vn7367. 11某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为lOOg。现从某天生产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量(单位：g)如下：每包重量(g)包数969829810031001023410210471041064合计50已知食品包重量服从正态分布，要求：(1)确定该种食品平均重量的 95%的置信区间。 解：大样本，总体方差未知，用z统计量X _ - z = s L N 0,1/Tn样本均值=101.4，样本标准

13、差 s=1.829置信区间：n,x1 - =0.95, Zf2 = Z0.025 =1.96101.4-1.96 1.829,101.4 1.96空 =(100.89, 101.91)IV50V50 J如果规定食品重量低于l00g属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。解：总体比率的估计大样本，总体方差未知，用z统计量L N 0,1样本比率=(50-5) /50=0.9置信区间：1 ct =0.95, Zf2 = Z0.025 =1.960.9-1.960.9 “9 ,0.9 1.960.90.95050=(0.8168, 0.9832)62117207081629381211921

14、2515167. 13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了18个员工。得到他们每周加班的时间数据如下（单位：小时）：假定员工每周加班的时间服从正态分布。估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。解：小样本，总体方差未知，用t统计量Lt -1均值=13.56，样本标准差 s=7.801置信区间：-t .2 n -1s _, X t 2 n -1、n1 -a =0.90，n=18，t収2 (n 1 )=t0.05 (17 )=1.7369J s _， St仪2(n 一1)石，x+Q2 (n行石13.56-1.7369 7.801,13.56 1.73

15、69 7.801 =( 10.36，16.75)IV18届丿7. 15在一项家电市场调查中随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别为 90%和 95%。解：总体比率的估计大样本，总体方差未知，用z统计量p 兀Z = f L=,1 PC P ) nN 0,1样本比率=0.23置信区间：p” p1p,p p1-p1=0.90, Zt2 = ZQ.Q25 =1.645p _Z：.2P“-P) 阿1-P)n ，pn=0.23 1.645 严3 if 1.645 阿 “23Y 200200=(0.1811, 0.2

16、789)1=0.95, Z(2 = Zo.o25=1.96p-zp1p,p J p1p=0.23-1.96 严31一0.23,0.23 1.960303 200200(0.1717 ,0.2883）7.16 一位银行管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额，他假设所有顾客存款额的标准差为1000元，要求估计误差在200元一位，置信水平为99%，则应选取多大的样本?解:2 2八_2 貯_21000n N/22 - Z0.0052 一 165.87E2007.17计算下列条件下所需要的样本量(1)E =0.02二=0.41 一：二 96%2Za/2二（1 -二）E2二乙爲04 06 =2530

17、.7310.022(2) E= 0.04二未知 1.-95%n - zf/2二（1 一二）七 025 冲=600.22790.04(3) E =0.05二蟲04 267.84880.052n z2 二（1 -二）n Za/2 E 27. 20顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有关，比如，银行业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。为此，某银行准备采取两 种排队方式进行试验，第一种排队方式是：所有顾客都进入一个等待队列；第二种排队 方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间 更短，银行各随机抽取 10名顾客，他们在办理业务时

18、所等待的时间（单位：分钟）如下:方式16.56.66.76.87.17.37.47.77.77.7方式24.25.45.86.26.77.77.78.59.310要求：构建第一种排队方式等待时间标准差的95 %的置信区间。解：估计统计量经计算得样本标准差 S2 =3.318置信区间:2n - 1 S 2*f CT 2人总2 (n -1 )2.2-2421 - : =0.95，n=10, G ( n -1 尸鼻0.025 (9 )=19.02， / 1毛2( n -1 )=/0.975 ( 9 )=2.7z22(n1)S (n -1 )S9x0.2272 9x0.2272)P， = , =( 0

19、.1075，0.7574)I心2(n1 )厶屯2(n1)丿 V 19.022.7 丿因此，标准差的置信区间为(0.3279，0.8703)(2)构建第二种排队方式等待时间标准差的95 %的置信区间。解：估计统计量n-1 S2n -1经计算得样本标准差 s2 =0.2272置信区间：2 2n -1 S . _2 . n -1 S_ r：2 n -1 1_： 2 n -11G=0.95, n=10, 乂 ；2( n1)=E0.025 (9 )=19.02，尤 n 1 )=笑爲5 ( 9 )=2.7=(1.57, 11.06)f(n -1)S2(n T )S2 】93.318 93.318)2 2

20、= n-1 )鼻1七2( n-1)丿 V 19.022.7 丿因此，标准差的置信区间为(1.25, 3.33)根据和的结果，你认为哪种排队方式更好？第一种方式好，标准差小！7.22从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，他们的均值和标准差如下表所示:来自总体1的样本来自总体2的样本样本均值为25样本均值为23样本方差为16样本方差为20(1设m =n2 =100,求出卫2的95%的置信区间(刃一刃2)_ z./2 S2 =2 -1.96 0.6 =2 _1.176 r)1门2(2)设m = n2 =10,_；2,求-,2的95%的置信区间s2 _ (n! _1)S(n2 _1)S218*(

21、n 11) (n2 -1)=(X, -X _t-/2(18LP P =2_2.1009 .3.6 =2 _3.9862(3)设 m = n2 =10,；2 *；,求*丄2的95%的置信区间(S2 .Sf)2m 门222)22吟177804991.629(X! X2)t：./2S2 s2出+竺=2 2.10982 況 736 = 2 4.00309 n2(4)设n1 =10,n2 =20 时蔦，求叫七的95%的置信区间2 2(n1 -1)S(n2 -1)S2131-=18.714297(ni -1)仇-1)氐-氏2) t：./2(28)S2n1 s2n2=2_2.0484. 2.8071 =2

22、3.4320(5)设 n =10,压=20,G2 *；,求1丄2的95%的置信区间(S1S2)2_ni n2v (%)2 J%)2n1n22 6 22 丁 =22.09151.62 10 20(x1 - X2) - t -./2(V)P2 s；Fr)2= 2 -2.0739.2.6 =2-3.34407. 23下表是由4对观察值组成的随机样本。配对号来自总体A的样本来自总体B的样本1202573106485(1)计算A与B各对观察值之差，再利用得出的差值计算d 和 Sd。d =1.75, Sd =2.62996设叫和心分别为总体A和总体B的均值，构造 7 = -12的95%的置信区间。解：小样

23、本，配对样本，总体方差未知，用t统计量均值=1.75，样本标准差 s=2.62996置信区间：-如2 (n -1)善，d+Q2 (n -1 )京Sd:d t/n1)命,d+tQn1 )命J(-2.43,5.93)1.75-3.182 2.62996,1.75 3.182 2996l扬百丿7.24 一家人才测评机构对随机抽取的10名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试,到的自信心测试分数如下：人贝编号方法1方法2178712634437261489845917464951768558766098577105539构建两种方法平均自信心的分之差的95%的置信区间解：d =11, Sd =6.53

24、19737. 25从两个总体中各抽取一个厲二 = 250的独立随机样本，来自总体1的样本比例为pi=40%，来自总体2的样本比例为p2 = 30%。要求：构造二1 一验的90%的置信区间。(2)构造二1的95%的置信区间。解：总体比率差的估计大样本，总体方差未知，用z统计量H L N 0,1P1 1 - P1P2 1 - P2V mn2样本比率 p1=0.4, p2=0.3置信区间：1=0.90, Zt2 = Z0.025 =1.645=(3.02% , 16.98%)n1n2n1n2j0.4 -0.4)0.3 -0.3)b.4门-0.4)0.3(1 -0.3)0.11.96汉 J; + -

25、Z-./2，故不拒绝原假设，说明可以现在生产的铁水平平均含碳量为4.55。& 2 一种元件，要求其使用寿命不得低于 700小时。现从一批这种元件中随机抽取36件,测得其平均寿命为 680小时。已知该元件寿命服从正态分布，c = 60小时，试在显著性水平0. 05下确定这批元件是否合格。解：H。：详 700; H1：応 700 已知：X = 680 二=60由于n=3630,大样本，因此检验统计量：_X-% = 680-700二 F 6036当a= 0.05，查表得乙.=1.645。因为ZV-Z，故拒绝原假设，接受备择假设，说明这批产品不合格。8.3某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg，其标

26、准差为30kg。现用一种化肥进行试验,从25个小区进行抽样，其平均产量为270kg。这种化肥是否使小麦明显增产（0.05)?解：H0:庐 250; H1： 0.05已知：X = 270 c = 30，n=25270二 25030 25=3.33当 a 0.05，查表得z72 = 1.96。因为z z /2，故拒绝原假设，这种化肥是否使小麦明显增长。& 4 糖厂用自动打包机打包，每包标准重量是100千克。每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得9包重量（单位：千克）如下：99. 398. 7100. 5101. 298. 399. 799. 5102. 1100. 5已知包重服从

27、正态分布，试检验该日打包机工作是否正常（a= 0. 05）?解：H0:尸 100; H1:严 100经计算得：X = 99.9778 S= 1.21221检验统计量：99.9778二 1001.21221 .9当a= 0.05，自由度n 1 = 9时，查表得 02 （9 ）= 2.262。因为t 0.05已知：p= 6/50=0.12检验统计量：P - 二0，二。1-二0 n0.12-0.050.05 1-0.05=2.27150当a= 0.05，查表得Z. = 1.645。因为Z 乙.，样本统计量落在拒绝区域，故拒绝原假设， 接受备择假设，说明该批食品不能出厂。8.6某厂家在广告中声称，该厂

28、生产的汽车轮胎在正常行驶条件下超过目前的平均水平 25000km。对一个由15个轮胎组成的随机样本做了实验，得到的样本均值和标准差分别为27000km和5000km。假定轮胎寿命服从正态分布，问该厂家的广告是否真实（a=0.05）?解：H。：庐 25000; H1： Q25000经计算得：X = 27000 S = 5000检验统计量：X-%27000二250005000 15=1.549当a= 0.05，自由度n 1 = 14时，查表得t 14 = 1.76131。因为tt-.，样本统计量落在拒绝区域，故拒绝原假设，即该厂家的广告真实。s , n 98.726 ,16& 7 某种电子元件的寿

29、命 x（单位：小时）服从正态分布。现测得 16只元件的寿命如下:159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命显著地大于225小时（a = 0. 05）?解：H0:庐 225; H1:尸225经计算知：X = 241.5 s= 98.726检验统计量：解：当a= 0.05，自由度n 1 = 15时，查表得t 15 = 1.753。因为tv t.，样本统计量落在接受区域，故接受原假设，拒绝备择假设，说明元件寿命没有显著大于225小时。8.8随机抽取9个单位，测得结果分别为为：85 59 66 81 35 57 55

30、63 66以a= 0.05的显著性水平对下述假设进行检验：H: （T 2 100所以拒绝原假设，即方差显著大于1008.9 A , B两厂生产同样材料。已知其抗压强度服从正态分布，且t也，故拒绝原假设，认为两种方法的装配时间有显著差异。& 11调查了 339名50岁以上的人，其中 205名吸烟者中有 43个患慢性气管炎，在134名不吸烟者中有13人患慢性气管炎。调查数据能否支持“吸烟者容易患慢性气管炎” 这种观点(a= 0. 05)?解：建立假设H。： nw n； H1: n np1 = 43/205=0.2097 n1=205p2= 13/134=0.097 n2=134检验统计量十(P1-

31、P2)-d1(P1P2 )Y(0.2098-0.097)-00.2098 1 -0.20980.097 1 -0.097V 205134=3当a= 0.05，查表得 乙.=1.645。因为z 乙.，拒绝原假设，说明吸烟者容易患慢性气管炎。万元，s=45。用a= 0. 01的显著性水平，采用 p值进行检验。解：H0:产 60; H1: ii 60已知：X = 68.1s=45由于n=144 30,大样本，因此检验统计量：68.1 二 6045、144=2.16由于 X 卩，因此 P 值=P (z 2.16) =1-0(2.16、查表的 (2.16)=0.9846 , P 值=0.0154由于P a= 0.01，故不能拒绝原假设，说明贷款的平均规模没有明显地超过60万元。& 13有一种理论认为服用阿司匹林有助于减少心脏病的发生，为了进行验证