材料力学PPT课件

1、 2021/3/101讲解：XX q材料力学的研究模型 v材料力学研究的物体均为材料力学研究的物体均为变形固体变形固体，简称，简称“构构 件件”；现实中的构件形状大致可简化为四类，即；现实中的构件形状大致可简化为四类，即 杆、板、壳杆、板、壳和和块块。 v杆杆-长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的长度远大于其他两个方向尺寸的构件。杆的 几何形状可用其几何形状可用其轴线轴线（截面形心的连线）和垂直（截面形心的连线）和垂直 于轴线的几何图形（于轴线的几何图形（横截面横截面）表示。轴线是直线）表示。轴线是直线 的杆，称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。的杆，称为直杆；轴线是曲线的杆，称为曲杆。 各

2、横截面相同的直杆，称为等直杆； v材料力学的主要研究对象就是等直杆。 q变形 v构件在载荷作用下，其形状和尺寸发生变化的现 象；变形固体的变形通常可分为两种变形固体的变形通常可分为两种： l弹性变形-载荷解除后变形随之消失的变形 l塑性变形-载荷解除后变形不能消失的变形 v材料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹材料力学研究的主要是弹性变形，并且只限于弹 性性小变形小变形，即变形量远远小于其自身尺寸的变形，即变形量远远小于其自身尺寸的变形 q变形固体的基本假设 v连续性假设 l假设在固体所占有的空间内毫无空隙的充满了物质 v均匀性假设 l假设材料的力学性能在各处都是相同的。 v各向同性假设

3、l假设变形固体各个方向的力学性能都相同 q材料的力学性能 v-指变形固体在力的作用下所表现的力学性能。 q构件的承载能力： v强度强度-构件抵抗破坏的能力构件抵抗破坏的能力 v刚度刚度-构件抵抗变形的能力构件抵抗变形的能力 v稳定性稳定性-构件保持原有平衡状态的能力构件保持原有平衡状态的能力 q内力的概念 v构件在外力作用时，形状和尺寸将发生变化，其内部质点 之间的相互作用力也将随之改变，这个因外力作用而引起 构件内部相互作用的力，称为附加内力，简称内力。 其中：其中：Mx、My、Mz为主矩为主矩 在在x、y、z轴方向上的分量。轴方向上的分量。 FNx、FQy、FQz为主矢在为主矢在x、 y、

4、z轴方向上的分量。轴方向上的分量。 F FN Nx x使杆件延使杆件延x x方向产生轴向拉压变形，称为轴力方向产生轴向拉压变形，称为轴力 F FQ Qy,Fy,FQ Qz z使杆件延使杆件延y,zy,z方向产生剪切变形，称为剪力方向产生剪切变形，称为剪力 Mx Mx 使杆件绕使杆件绕x x轴发生扭转变形，称为扭矩轴发生扭转变形，称为扭矩 MyMy、MzMz使得杆件分别绕使得杆件分别绕y zy z轴产生弯曲变形，称为弯矩轴产生弯曲变形，称为弯矩 利用力系简化原理，截面m-m向形心C点简化后，得到 一个主矢和主矩。在空间坐标系中，表示如图 q截面法求内力步骤 v将杆件在欲求内力的截面处假想的切开；

5、 v取其中任一部分并在截面上画出相应内力； v由平衡条件确定内力大小。 例：左图 左半部分： Fx=0 FP=FN 右半部分： Fx=0 FP ,=F N , q已知小型压力机机架受力F的作用，如图，试求立柱截面 m-n上的内力 解： 1、假想从m-n面将机架截 开（如图）； 2、取上部，建立如图坐标 系，画出内力FN，MZ （方 向如图示）。 （水平部分/竖直部分的变形？） 3、由平衡方程得： Fy=0 FP-FN=0FN=FP Mo=0 Fp a - Mz=0Mz =Fp a 载荷特点：受轴向力作用 变形特点：各横截面沿轴 向做平动 内力特点：内力方向沿轴向，简称 轴力FN 轴力正负规定：

6、轴力与截面法向相同为正 FN=P 载荷特点：作用力与截面平 行（垂直于轴线） 变形特点：各横截面发生相 互错动 内力特点：内力沿截面方向 （与轴向垂直），简称 剪力剪力FQ 剪力正负规定：左下（右上）为正 左下：指左截面（左半边物体）剪力向下 载荷特点：受绕轴线方向力 偶作用（力偶作用面平行于 横截面） 变形特点：横截面绕轴线 转动 内力：作用面与横截面重 合的一个力偶，称为扭矩T 正扭矩的规定：其转向与截面外法向构成右手系 T=M 载荷特点：在梁的两端作 用有一对力偶，力偶作用 面在梁的对称纵截面内。 变形特点：梁的横截面绕 某轴转动一个角度。 中性轴（面） 内力：作用面垂直横截面的 一个力

7、偶，简称弯矩M 弯矩的正负规定：使得梁的变形为上凹下凸的 弯矩为正。（形象记忆：盛水的碗） q应力的概念 v单位面积上内力的大小， 称为应力 v平均应力Pm，如图所示 F A Pm= q正应力 单位面积上轴力的大小，称为正应力； q切应力 单位面积上剪力的大小，称为切应力 应力单位为：1Pa=1N/m2 （帕或帕斯卡) 常用单位：MPa（兆帕），1MPa=106 Pa=1N/mm2 A截面面积 q构件在外力作用下，其变形的大小用位移和应变 来度量。 q如图： vAA连线称为A点的线位移 v角度称为截面m-m的角位移，简称转角 v注意，单元K的形状也有所改变 q分析单元K v单元原棱长为x，u为

8、绝对伸长量，其相对伸长 u/ x的极限称为沿x方向的正应变。 u x 即： x=lim x 2. a点的横向移动点的横向移动aa，使得使得 oa直线产生转角直线产生转角，定义定义 转角转角为为切应变 = aa oa = aa x ) q实验证明： v当正应力小于某一极限值时，正应力与正应变存在 线性关系， 即：= 称为胡克定律，E为弹性模量，常用单位：Gpa（吉帕） v同理，切应变小于某一极限值时，切应力与切应变 也存在线性关系 即：=G 此为剪切胡克定律，G为切变模量，常用单位：GPa 钢与合金钢E=200-220GPaG=75-80GPa 铝与合金铝E=70-80GPaG=26-30GPa

9、 木材E=0.5-1GPa橡胶E=0.008GPa q定义 v以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式，称为 轴向拉伸或压缩 q内力的计算 v截面法 l如左图 q内力的表示 v轴力图-形象表示轴力沿轴线变化的情况 q例14-1 F1=2.5kN,F3=1.5kN, 画杆件轴力图。 解：1)截面法求AC段轴力，沿截 面1-1处截开，取左段如图14-1-2 所示 Fx=0 FN1-F1=0 得：FN1=F1=2.5kN 2)求BC段轴力，从2-2截面处截开， 取右段，如图14-1-3所示 Fx=0 FN2-F3=0 得：FN2= - F3=-1.5kN （负号表示所画F FN2N2方向与实际相反） 3

10、)图14-1-4位AB杆的轴力图 q扭转变形的定义 v横截面绕轴线做相对旋转的变形，称为扭转 v以扭转为主要变形的直杆，通常称为轴 v本课程主要研究圆截面轴 q功率、转速和扭矩的关系 vM=9549 q扭矩图 v仿照轴力图的画法，画出扭矩沿轴线的变化，就 是扭矩图。 n P 其中： M为外力矩(N.m) P为功率(kW) n转速(r/min) v如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D 输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速 n=300r/min.试画出传动轴的扭矩图 解：1)1)由扭矩、功率、转速关系式求得 MA=9459PA/n=9459X36/300

11、=1146N.m MB=MC=350N.m；MD=446N.m 2)2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩， 即为BC,CA,AD段轴的扭矩（内力）如图 a)、b)、c);均有Mx=0 得： T1+MB=0T1=-MB= -350N.m MB+MC+T2=0T2=-MB-MC=-700N.m MD-T3=0 T3=MD=446N.m 3)3)画出扭矩图如 d) q弯曲梁的概念及其简化 v杆件在过杆轴线的纵向平面内，受到力偶或受到 垂直于轴线的横向力作用时，杆的轴线将由直线 变为曲线，杆件的这种以轴线变弯为主要特征的 变形称为弯曲；以弯曲为主要变形的杆简称为梁。 q常见梁的力学模型 简支梁

12、 一端为活动铰链支座，另一端为固定铰 链支座 外伸梁 一端或两端伸出支座支外的简支梁 悬臂梁 一端为固定端，另一端为自由端的梁。 q梁的内力 v剪力FQ v弯矩MC q梁内力的正负规定 内力方向 梁的变形 例14-3 简支梁如左图，已知a、 q、M=qa2；求梁的内力 FAy FBy 1 2 3 aqF 6 5 AY aqF 6 1 BY 2）1-1截面内力：(0 x1 a) 3）2-2截面内力： (ax22a) 解：1）求得A、B处反力FAY,FBY； 16 5 1AY1 xaqxFM aqFF 6 5 AyQ1 22AYQ2 xqaq 6 11 a)(xqFF 2 22 2 22AY2 a

13、)(xq 2 1 -xaq 6 5 a)(xq 2 1 -xFM 4）3-3截面内力：(0 x3 a，此处x3的起点 为B点，方向如图) aq 6 1 FF BYQ3 3 2 3BY3 xaq 6 1 aqxFMM 1.当：0 x1a 时 AC段 FQ1=5q.a/6 2.当：ax22a 时,即CD段 FQ2=11q.a/6-q.x2 ，直线 x2 =a；FQ2 = 5q.a/6 （= FQ1 ） x2 =2a；FQ2 = -q.a/6 （= FQ3 ） 3.当： 0 x3a (起点在B点） FQ3=-q.a/6 v当：0 x1a 时， M1=5q.a.x1/6为直线 2 6 5 1C1 1A

14、1 aqMax点：C 0；M0 x点：A 2 6 7 2D2 2 6 5 2C2 q.a M, a2 xD q.a M, a xC 点： 点： MaqM, 0 xB MaqM, axD 2 B33 D2 2 6 7 D33 点： 点： v当：ax22a 时，为二次曲线； M2=5qax2-q(x2-a)2/2 v当： 0 x3a时（原点在B点，方 向向左），M3为直线 M3=qa2+q.a.x3/6; q已知：G,a,b,l,画梁AB内力图 解：1求A,B支座反力( a+b=l ) l Gb Ay F l Ga By F 2求x截面内力 a) 0 xa l Gb AyQ FF 1 xxFM l

15、 Gb Ay 1 b) axa)（或 CB,ab）段 Qmax=Gb/l l最大弯矩在C截面处 Mmax=Gab/l 本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上 构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯 矩方程；即： FQ=FQ(x)Mc=M(x) q简支梁受力偶作用 求支座反力FAY,FBY得： FAY=- FBY =M/l AC段X截面处剪力FQ=Fay, 同理可求得BC段剪力与AC 段相同，剪力图如左 AC段弯矩方程M1 M1=FAYx=M x /L BC段弯矩方程M2 M2=FAY x-M=M(x - L)/L 悬臂梁作用均布载荷q，画出 梁的剪力图和弯矩图 写出A点x处截面的剪

16、力 方程和弯矩方程 剪力图、弯矩图如右，最 大剪力、弯矩均发生在B 点，且 xqFQxqM 2 1 qlM qlF max maxQ 2 1 v设梁上作用任意载荷，坐标 原点选在A点（左端点形 心），现分析剪力、弯矩与 载荷集度的关系。 取x处一小段dx长度梁，如图，由平衡方程 得： Fy=0; FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0(a) MC=0;M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0(b) 在上式中略去高阶微量后，得 q(x) dx (x)dFQ (x)FQ dx dM q(x) dx dFQ dx Md 2 2 q(x)=0的区间q(x)=C的区间集中力F作用处力偶M作用处

17、FQ 图水平线 q(x)0,斜直线，斜率0 q(x)0,斜直线，斜率0,斜直线，斜率0 FQ 0,斜直线，斜率0,抛物线，上凹 q(x)0,抛物线，下凹 FQ =0,抛物线有极值 斜率由突变 图形成折线 有突变 突变量=M vM=3kN.m,q=3kN/m,a=2m 解：求A、B处支反力 FAY=3.5kN;FBY=14.5KN 剪力图：如图，将梁分为三段 AC：q=0,FQC= FAY CB：q0,FQB=-8.5kN BD：q0,直线,MC=7KN.M CB：q0,抛物线,FQ=0,MB=6.04 BD：q0; MBC|x=3a/4=0 2 128 9 aq A、B支反力： FA=qa/2

18、;FB=5qa/2 AB段：q0；斜直线（左上右下） A点：FQA=FA=qa/2； B点：FQB=FA-2qa=-3qa/2 D点：FQAB=0；x=a/2 BC段：q=0；直线（水平） C点：FQC=F=qa=FQB 弯矩图：AB段：q0；抛物线，上凸 A点： MC=0， D点： MD= FA a/2 q.a2/8=qa2/8 B点： MB=FA.2a-2qa2=-qa2； BC段:q=0 直线（左下右上） MC=0,MB=-F.a=-qa2 D q平面假设 v杆件的横截面在变形后仍保持为平面， 且垂直于杆的轴线。 横截面上各点只产生沿垂直于横截面方 向的变形，故横截面上只有正应力。 两横

19、截面之间的纵向纤维伸长都相等， 故横截面上各点的正应变都相等；根据 胡克定律，其正应力也相等，即横截面 上的正应力均匀分布。 1.杆件轴向拉压时横截面上正应力计算公 式 A F N FN轴力 A-横截面面积 的正负号与FN相同；即拉伸为正压缩为负 v一中段开槽的直杆如图，受轴向力F作用；已知：F=20kN， h=25mm，h0=10mm，b=20mm；试求杆内的最大正应力 解： 求轴力FN; FN=-F=-20kN=-20 x103N 求横截面面积： A1=bh=20 x25=500mm2 A2=b(h-h0)=20 x(25-10)=300mm2 求应力 由于1-1，2-2截面轴力相同，所以

20、最大应 力应该在面积小的2-2截面上 = FN A = -20X103 300 =-66.7MPa （负号表示为压应力） 设等截面直杆原长l0，截面面积A0，在轴力F作用下，其长度变 为l1，截面面积变为A1；其轴向绝对变形l和轴向（相对变形） 线应变分别为： l=l1-l0 0 01 0 l ll l l 直杆横截面上的正应力： A F A F N 当应力不超过某一值时，正应力与线应变满足胡克定律：=E 由以上可以得到： EA lF l N 式中EA称为杆件的抗拉压刚度 此式称为拉压变形公式 如果等直杆在变形前后的横向尺寸为：b0、b1； 那么其横向绝 对变形和横向线应变分别为b和; b=b

21、1-b0= b /b0 实验表明：杆件轴向拉伸时，横向尺寸减小， 为负 ； 杆件轴向压缩时，横向尺寸增大， 为正； 可见， 轴向线应变和横向线应变恒为异号 实验还表明：对于同一种材料，当应力不超过某一极限时， 杆件的横向线应变与轴向线应变之比为一负常数： 即： , 或 , 比例系数称为泊松比，是量刚为一的量 q一板状试样如图，已知：b=4mm，h=30mm，当施加F=3kN的拉力时，测 的试样的轴向线应变=120 x10-6,横向线应变=-38x10-6；试求试样材料的 弹性模量E和泊松比 解： 求试件的轴力FN=F=3kN; 横截面面积A=bh=120mm2, 横截面上的应力=F/A )(2

22、5 120 103 3 MPa x A FN 根据胡克定律=E得： 泊松比： 31670 120 38 10120 1038 6 6 . x x , (GPa)33208 12 102500 10120 25 3 6 .E x x 钢制阶梯杆如图所示；已知轴向力F1=50kN，F2=20kN，杆各段长度 l1=120mm，l2=l3=100mm，杆AD、DB段的面积A1、A2分别是500和 250mm2，钢的弹性模量E=200GPa，试求阶梯杆的轴向总变形和各 段线应变。 解：画出杆件的轴力图 求出个段轴向变形量 AC段： CD段： DB段： mm EA LF l N 3 3 3 11 1 1

23、036 50010200 1201030 mm EA LF l N 3 3 3 33 3 1040 25010200 1001020 总变形：l=(-36+20+40)x10-3=0.024mm 由=L/L得： 1= -300 x10-6 2= 200 x10-6 3= 400 x10-6 mm EA LF l N 3 3 3 22 2 1020 50010200 1001020 q平面假设：圆周扭转变形后各个横截 面仍为平面，而且其大小、形状以及 相邻两截面之间的距离保持不变，横 截面半径仍为直线 v横截面上各点无轴向变形， 故横截面上没有正应力。 v横截面绕轴线发生了旋转式 的相对错动，故

24、横截面上有 剪应力存在。 v各横截面半径不变，所以剪 应力方向与截面径向垂直 推断结论： q横截面上任意一点的切应变 与该点到圆心的距离成正 比 由剪切胡克定律可知： 当切应力不超过某一极 限值时，切应力与切应变 成正比。即： dx d GG dx d dx d R 横截面上任意一点的切应力的大小与该点到圆心的距 离成正比，切应力的方向垂直于该点和转动中心的连线 q根据以上结论： v扭转变形横截面上的切 应力分布如图a)所示 扭矩和切应力的关系： TdA 如图b)所示： 微面积dA上内力对o点的矩为 dM=dA 整个截面上的微内力矩的合 力矩应该等于扭矩 即： 由推导的结论式 TIGdAGdA

25、 pdx d dx d 2 dx d GG TdA 可以得到： 或： p GI T dx d 变形计算公式 于是有： P I T 扭转变形横截面 任意点切应力计算公式 外边缘 最大切应力计算公式 pp W T r I T max q极惯性矩p 扭转截面系数p dAdAI A p 22 r I W p p 4 16 4 32 2.0 1.0 4 4 dW dI d p d p 434 16 444 32 12 .01 11 .01 3 4 DW DI D p D p D d 其中d为圆截 面直径（d、D 为圆环内外径） dx GI T d p 由扭转变形计算公式可以计算出， 两个相距dx的横截面

26、绕轴线的相 对角位移，即相对扭转角d rad 对于相距L的两个横截面间的相对 扭转角可以通过积分求得： dxd l l GI T p 0 rad 对于等截面圆轴，若在长度为l的 某两个截面之间的扭矩均为T，那 么该两截面的相对扭转角为 p IG lT rad 单位长度相对扭转角 p IG T l rad/m 在图示传动机构中，功率从B轮输 入，再通过锥齿轮将一半传递给铅 垂轴C，另一半传递给水平轴H。 若已知输入功率P1=14kW，水平轴E 和H的转速n1=n2=120r/min，锥齿 轮A和D的齿数分别为z1=36，z2=12， 图中d1=70, d2=50, d3=35.求各轴 横截面上的

27、最大切应力. 分析： 此机构是典型的齿轮传动机构，各传动轴均为扭转变形。欲求各传动轴横 截面上的切应力，必须求得各轴所受的扭矩，即各轴所受到的外力偶矩。 由题意可知，E、H、C轴所传递的功率分 别为：P1=14kW，P2=P3=P1/2=7kW. E、H轴转速为120r/min,由传动比可计算出 C轴的转速为：n3=(z1/z2)n1 =3n1=360r/min 再通过公式： n W M9549 可以求得各轴所 受到的外力矩 M1 M2 M3 解：1、求各轴横截面上的扭矩： )(1114 120 14 95499549 1 1 11 mN n P MT E 轴： )(557 120 7 954

28、99549 2 2 22 mN n P MT H 轴： )(7.185 360 7 95499549 3 3 33 mN n P MT C 轴： 2、求各轴横截面上的最大切应力： )(24.16 702 .0 101114 3 3 1 1 max MPa W T P E E 轴： )(28.22 502 .0 10557 3 3 2 2 max MPa W T P H H 轴： )(66.21 352 . 0 107 .185 3 3 3 3 max MPa W T P C E 轴： 如图所示,已知：M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm; AB=200mm;BC=250mm,

29、AB=80mm,BC=50mm,G=80GPa 1、求此轴的最大切应力 2、C截面相对于A截面的扭转角CA； 3、相对扭转角AB、 BC； 解： 1、求最大切应力 扭矩图如左： TAB=-5kN.m; TBC=-1.8kN.m 根据切应力计算公式 MPa W T AB AB AB 83.48 802 . 0 105 3 6 max MPa W T BC BC BC 72 502 . 0 108 . 1 3 6 max 2、求C截面相对A截面的扭转角 扭转角计算公式： )(1005. 3 10801 . 01080 10200105 3 4 39 33 rad GI LT pAB ABAB BA

30、 )(105 10501 .01080 10250108 .1 3 4 39 33 rad GI LT PBC BCBC CB )(1005. 810)505. 3( 33 rad CBBACA C截面相对A截面的扭转角为： 3、相对扭转角为： )/(100 .2 10250 105 )/(10525.1 10200 1005.3 2 3 3 2 3 3 mrad L mrad L BC BC CB AB BA AB 扭转圆轴的切应力计算公式： p I T 最大切应力公式 p W T max 扭转圆轴的横截面 上切应力分布规律 相对扭转角 dx GI T d p 单位长度相对扭转角 )( m

31、rad p GI T l p GI Tl )( 180180 m p GI T l q第三讲 弯曲梁正应力 v弯曲正应力公式 v弯曲梁截面的最大正应力 v惯性矩的平行轴定理 v平行轴定理应用举例1 v平行轴定理应用举例2 v弯曲正应力计算 习题15-14p271 v作业 平面弯曲 横力弯曲 纯弯曲 剪力FQ0 弯矩M 0 剪力FQ=0 弯矩M 0 纯弯曲：平面假设：梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的 轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度 纯弯曲正应力公式推导： 如上图1、2得纵向变形： y d ddy dx dxbb )( 根据胡克定律，可知： y EE 由图3得： 几何关系 物理关系

32、 MdAy 即 z EI dAy E dAyM 2 对照以上各式，得：y I M z 其中：Iz为截面对z轴的惯性矩 由正应力公式可知，弯曲梁截面上的最大正 应力应该在其上下边缘：即|y|的最大值处. maxmax y I M z 引入弯曲截面系数Wz=Iz/ymax，最大正应力公式为： z W M max 惯性矩计算： A 定义式：dAyI z 2 B 积分式： A z dAyI 2 矩形截面Iz的计算： 如图 12 )( 3 22 2 2 bh bdyydAyI A z h h 6 2 2max bhI y I W h zz z 由惯性矩的定义式可知： 组合截面对某轴的惯性矩，等于其 组成

33、部分对同一轴惯性矩的代数和 即：Iz=Iz1+Iz2+Izn=Izi 设某截面形心在某坐标系的坐标为(a,b), 如图，则其对坐标轴的惯性矩为： AbII zcz 2 对于z轴的惯性矩： AaII ycy 2 对于y轴的惯性矩： 工字形截面梁尺寸如图，求截面对z轴的惯性矩。 解：可以认为该截面是由三个矩形截面构成，所以： Iz=Iz1+Iz2+Iz3 （-）（+） （+） )(10243 3 109 12 9040 12 44 4333 1 mm bh I z )(1067.170 3 108 12 8040 12 44 4333 2 mm bh I z )(1053.8 6 108 12 8

34、02 12 44 3333 3 mm bh I z 1 2 3 Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104 (mm4) 求图示截面对z轴的惯性矩 解： 截面可分解成如图组合， A1=300 x30=9000mm2 A2=50 x270=13500mm2 yc1=-75-15=-90mm yc2=135-75=60mm A1、A2两截面对其型心轴的惯性矩为： I1cz=300 x303/12=0.675x106mm4 I2cz=50 x2703/12=82.0125x106mm4 由平行轴定理得： I1z= I1cz+yc12A1=0.675x1

35、06+902x9000=73.575x106mm4 I2z= I2cz+yc22A2= 82.0125x106+602x13500=130.61x106mm4 Iz=I1z+I2z=(73.575+130.61)x106=204x106mm4, A1 A2 已知：A=40MPa(拉),y1=10mm; y2=8mm; y3=30mm 求：1) B, D ；2) max(拉） 解：A=40MPa(拉),y1=10mm; 由公式： A z A y I M A A z yI M 由于A点应力为正，因此该梁上半部 分受拉，应力为正，下半部分受压， 应力为负，因此有： max max yyyyI M D

36、 D B B A A z 32MPa40 10 8 y y A A B B MPa120-40 10 30 y y A A D D 最大拉应力在上半部边缘 MPa6040 10 15 y y A A max max q横力弯曲时，梁的横截面上切应力 分布。 q横力弯曲时， 梁的横截面 上切应力计 算公式 如图所示，已知6120柴油机活塞销的外径D=45mm，内径 d=28mm，活塞销上的载荷作用尺寸a=34mm，b=39mm，连 杆作用力F=88.4kN。求活塞销的最大正应力和最大切应力。 解： 活塞销所受的载荷简化为均布载 荷，其均布集度为 m kN b F q 3 3 1 1027.2 1

37、039 4 .88 m kN a F q 3 3 2 1030. 1 10342 4 .88 剪力图如例15-11 b） FQmax=44.2kN 弯矩图如例15-11 c) Mmax=1.18kN.m 3634 45 28 343 1075. 76 .7746)(1451 . 0)(11 . 0mmmDW D d z 已知活塞销截面为薄壁圆环，那么： 22222 68.9744/ )2845(4/ )(mmdDA 活塞销的最大正应力为弯矩最大处，即销子中心点： MPa W M z 32.152 6 .7746 1018.1 6 max max 由切应力近似计算公式可以得出，活塞销的最大切应力

38、为： MPa A F 7 .90 68.974 102 .44 22 3 max max q梁弯曲变形的概念 挠度-梁的横截面形心在垂直雨 量轴线方向的位移称为挠度， 用w表示。 正负规定：图示坐标中上正下负 转角-梁的横截面相对于变形前 后初始位置转过的角度，用 表示。 正负规定：逆时针为正，反之为负 挠曲线-梁在弹性范围弯曲变形 后，其轴线变成一条光滑连 续曲线，称为挠曲线，其表 示式为 转角与挠度w的关系 如图所示： tan =dw(x)/dx=w 即：横截面的转角近似等于挠 曲线在该截面处的斜率 w=w(x) q积分法求梁的变形 挠曲线公式简单推导 z EI xM x )( )( 1

39、由前可知：而在数学中有： 2 3 2 ) (1 )( 1 w w x 略去高阶无穷小，得到： z EI xM w )( 挠曲线近似微分方程 积分后： Cdx EI xM dx xdw z )()( DxCdx EI xM w z ) )( ( 式中的积分常数C、D由 梁的边界条件和连续条 件确定 习题15-20，q=8kN/m，l=2m，E=210GPa，求max， wmax；解： 求A,B支座反力 FA=FB=ql/2=8kN 写出梁的弯矩方程（如图b)： M(x)=FAx-qx2/2=(qlx/2)-qx2/2 EIzw=M(x)=q(l-x)x/2-(1) CqxqlxwEI z 6/4

40、/ 32 积分后得到: DCxqxqlxwEI z 24/12/ 43 CONTINUE )(1065. 7 1016601021024 2108 24 4 89 333 max rad EI ql z )(1078. 4 16621384 640 10166010210384 21085 384 5 4 89 434 max m EI ql w z FINE 边界条件：x=0, w=0；D=0； x=l , w=0；C=-ql3/24 由（1）可知： max 为 M(x)=0的点；即 x=0 和 x=l 处（A,B端点） max=Amax=Bmax=C/(EIzz)=(ql3)/(24EIz

41、z) w=qx(l3+x32lx2)/(24EIz)； w=0；x=l/2；w x=l=5ql4/(384EIz) q叠加法求梁的变形 v叠加法 l当梁受多个载荷作用时，梁的变形是每个独立载荷作用时 变形的叠加。 v理论基础 l（略）参见教材 v常见简单载荷作用下梁的变形 l教材P261。 q用叠加法求图示梁B截面的 转角和C截面的挠度 z b z Bb EI Ml w EI Ml l 16 ; 3 2 2 z c z Bc EI Fl w EI Fl l 48 ; 16 3 2 2 叠加结果为 )316( 48 FlM EI l z BcBbB )3( 48 2 FlM EI l www z

42、 CcCbC 查表 q低碳钢拉伸时的力学性能 v试件 v仪器 l压力实验机 l游标卡尺 q应力应变曲线 v比例极限p v弹性极限e v屈服极限s v抗拉强度b 滑移线 颈缩 q伸长率 q断面收缩率 v塑性材料： 5% v脆性材料：5% %100 0 01 L LL q铸铁拉伸 v铸铁等脆性材料在拉伸时， 变形很小，应力应变曲线图 没有明显的直线部分，通常 近似认为符合胡克定律。其 抗拉强度b是衡量自身强度 的唯一指标。 %100 0 01 A AA 时衡量材料塑性的 一个重要指标 q低碳钢压缩 q铸铁压缩 q对于没有明显屈服阶段的塑性材料，在工程上常 以卸载后产生0.2%的残余应变的应力作为屈

43、服应 力，称为名义屈服极限，用P0.2来表示 q冷作硬化 v对于这种对材料预 加塑性变形，而使 其比例极限或弹性 极限提高，塑性变 形减小的现象称之 为冷作硬化。 q拉压杆的强度设计准则为 v拉压杆横截面上的正应力是均匀分布的，而且各点 均为单向应力状态，根据材料的失效判据，拉压杆 的强度设计准则为： )( maxmax A FN 式中 vmax为拉压杆横截面上的最大工作应力 v为材料的许用应力 v对于塑性材料= s/ns v对于脆性材料 拉= b拉/nb; 压= b压/nb； q对于等截面杆，其强度准则可以写成 max max A F N 1、强度校核 max 2、选择截面尺寸 max N

44、F A 3、确定许可载荷 max AFN 某铣床工作台的近给液压缸如 图示，缸内工作压力p=2MPa， 液压缸内径D=75mm，活塞杆直 径d=18mm，已知活塞杆材料的 许用应力=50MPa，试校核 活塞杆的强度。 解： 求活塞杆的轴力： NdDpApFN 322 1033.8)( 4 横截面上的应力为： 7.32 18 1033.8 2 4 3 MPa A FN 活塞杆强度足够 注：在工程中，允许工作应力大于许用应力但不可超出5。 习题173， 已知：h=2b，F=40kN， =100MPa； 试设计拉杆截面尺寸h、b。 解： 求出拉杆的轴力FN; FN=F=40kN 拉杆的工作应力 FN

45、/A 根据强度准则，有 , 即 AFN/；而A=hb=2b2 所以：2b2 40103/100=400mm2 求得：b 14.14mm；h=2b=28.28mm 考虑安全，可以取 b=15mm，h=30mm 结束 如左图，已知： 木杆面积A1=104mm2， 1=7MPa 钢杆面积A2=600mm2，2=160MPa, 确定许用载荷G。 解： 1、求各杆的轴力 如图b)列平衡方程，得 Fx=0 FN1FN2cos300=0 Fy=0 FN2sin300G=0 求解上式，得：FN1= 1.73G, FN2=2G 2、用木杆确定G 由强度准则： 1 =FN1/A1 1 得：G 1 A1 /1.73

46、=40.4kN 3、校核钢杆强度 即： 2 =FN2/A2= 2G/A2=80.8103/600 =134.67MPa2 强度足够，故许可载荷G=40.4kN 结束 q梁在弯曲变形时，其截面上既有正应力也有切应 力，故有： )( maxmax z W M 和 max 对于等截面梁，可以写成： max max z W M 对于脆性梁，其抗拉、抗压性 能不等时，应分别予以设计。 max max z I yM max max z I yM 通常在设计计算时，先以弯曲正应力强度准则设计出截 面尺寸，然后按照弯曲切应力强度准则进行校核。 q弯曲正应力 图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力30MPa，许用

47、 压应力60MPa，截面尺寸如图。截面对形心轴z的惯性 矩Iz763mm4，且y1=52cm。试校核梁的强度。 分析： 1、画出梁的弯矩图（确定最 大弯矩及其所在截面） 2、求出梁的最大拉应力和最 大压应力值 3、校核强度 解： 1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN， 画出弯矩图如 b)，最大正弯矩在C点， 最大负弯矩在B点，即： C点为上压下拉，而B点为上拉下压 FA FB 2、求出B截面最大应力 最大拉应力（上边缘）： 最大压应力（下边缘）： 27.26MPa 10763 52104 4 6 1 z B B I yM MPa13.64 10763 88104 4 6 2 z

48、 B B I yM 3、求出C截面最大应力 最大拉应力（下边缘）： 最大压应力（上边缘）： MPa83.82 10763 88105 .2 4 6 2 z C C I yM MPa04.17 10763 52105.2 4 6 1 z C C I yM 由计算可见： 最大拉应力在C点且Cmax=28.83MPa=30MPa 最大压应力在B点且Bmax=46.13MPa 60MPa 故梁强度足够 简支梁AB如图所示，已知： =160MPa，=100MPa，a=0.2m， l=2m，F=200kN， 试选择工字钢型号。 FAFB 解：1、计算梁的约束力FA、FB; 由于机构对称，所以FA=FB=2

49、10kN 2、画出梁的剪力图 可以看出FQmax=FA=FB=210kN 3、画出梁的弯矩图，其最大弯矩在 梁的中点，计算得：Mmax=45kN.m 4、应用梁的弯曲正应力准则选择截 面尺寸： max(Mmax/Wz) 变形可以得出： 336 6 25.2811028125.0 160 1045 cmmm M Wz 查附录C选取22a工字钢，其Wz=309cm3;h=220mm;d=7.5mm；t=12.3mm。 校核梁的切应力强度：工字钢腹部切应力最大，对应面积A1=(h- 2t)d；则有： 100MPa143.3MPa 5.7)3.122220( 10210 3 1 max max A F

50、Q 由于切应力大出其许用应力很多，故再选大一号，选22b并校核其切 应力强度。相应尺寸：h=250,d=10,t=13,那么： 100MPa93.75MPa 10)132250( 10210 3 1 max max A FQ 切应力强度足够，故选22b号工字钢 fine 钢板如图所示，试校核强度（不考虑应力集中影响） 已知：F80kN,b=80,t=10,=10, =140MPa 解：如图b)；FNF=80kN, eb/2(b-t)/2=80/2(80-10)/2=5 M=FNe=400kN.mm FN引起的应力 114.3MPa )1080(10 1080 )( 3 tb F A FN F

51、M引起的应力 48.98MPa 6 )1080(10 51080 6 )( 2 3 2 tb eF W M z M 因此，最大拉应力为（上缺口最低点）： MPaMPa MF 1403 .163 98.483 .114 max 下边缘应力为： )(3 .65 98.483 .114 max 拉应力MPa MF 讨论： 显然，钢板的强度不够；引起应力增大 的原因是偏心距造成的。因此，解决此 类问题就是消除偏心距，如左： 正应力分布图如下： MPaMPa tb F A FN 1403 .133 )10280(10 1080 )2( 3 max q纯扭圆轴横截面切应力分布 q圆轴扭转的强度设计准则 q

52、等截面圆轴扭转的强度设 计准则 max max P W T max max P W T 为许可切应力； 通常，对于塑性材料 （0.50.6) ； 对于脆性材料： （0.81.0) q某传动轴所传递的功率P=80kW，其转速n=580prm，直径d=55mm，材料 的许可切应力=50MPa，试校核轴的强度。 解：传动轴的外力偶矩为： 1317.1N.m 580 80 95499549 n P M 工作切应力的最大值： 50MPa39.58MPa 552 . 0 101 .1317 2 . 0 3 3 3 max d M Wp T 强度足够！ q汽车传动轴由45无缝钢管制成。已知：=60MPa，若

53、钢管的外径 D90mm，管壁厚t=2.5mm，轴所传动的最大扭矩M=1.5kN.m.试：1、 校核传动轴的强度；2、与同性能实心轴的重量比。 解：1、校核强度 )(12.0 105.1 )1(2.0 4 2 3 6 43 max D tD P DD M W T 带入数据后得：max50.33MPa60MPa;强度足够 2、设计实心轴直径D1（两轴的最大工作切应力相等) mm T D D T W T P 03.53 3 .502 . 0 105 . 1 2 . 0 2 . 0 3 6 3 max 3 max ；即 3、两轴重量比 21. 3 8590 53 22 2 22 2 1 2 1 dD

54、D LA LA G G 空心轴 实心轴 q轴向拉伸杆件： l EA lF l N 式中：l为轴向拉伸的许可伸长量或缩短量 q平面弯曲梁： max max 式中：为许用挠度；为许用转角。 q扭转变形圆轴： )( 180 )( max max max max m P m rad P GI T GI T 。 ；或 式中：max为许用扭转角。 q飞机系统中的钢拉索，其长度为l=3m，承受拉力F=24kN，弹性模 量E=200GPa，需用应力=120MPa，要求钢拉索在弹性范围内 的许用伸长量l=2mm，试求其横截面面积至少应该为多少？ 解：钢拉索发生轴向拉伸变形，其轴力为FN=F=24kN 2 3 2

55、00 120 1024 mm F A N 1、由等截面轴向拉伸杆件的强度设计准则， 得： 2 3 33 180 210200 1031024 mm lE lF A N 2、由轴向拉压杆件的刚度设计准则， 得： 综合上列强度和刚度设计结果，钢拉索的横截面面积 至少应该为：200mm2 q如图所示阶梯轴，已知：d1=40mm，d2=55mm，MC=1432.5N.m， MA=620.8N.m。轴的许用单位长度扭转角=20/m，许用切应力 =60MPa，切变模量G=80GPa，试校核轴的强度和刚度。 解：由阶梯轴的计算简图b)画出轴 的扭矩图c)，得出AB、BC段的扭矩 mNMTmNMT CBCAAB .5 .1432.8 .620； 显然，在AB段上AD段各个截面是危 险截面，其最大切应力为： MPa W T pAD AB AD 5 .48 402 . 0 108 .620 3 3 max BC段的最大切应力为： MPa W T pBC BC BC 05.43 552 . 0 105 .1432 3 3 max 整个轴的最大切应力 所以轴的强度足够 MPaMPa AD 605 .48 maxmax 刚度校核 AD段的单位长度扭转角 m pAD AB AD GI T 73