层次分析法及模糊综合评价建模方法

1、2021/3/10讲解：XX1 1 层次分析方法建模层次分析方法建模 2021/3/10讲解：XX2 一、层次分析法的基本步骤一、层次分析法的基本步骤 1）建立层次分析结构模型）建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标 准则或指标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。各因素基本上相对独立。 2）构造判断矩阵）构造判断矩阵 用相互比较法和用相互比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。成对比较阵。 3）计算权

2、向量并作一致性检验）计算权向量并作一致性检验 对每一相互比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性对每一相互比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。检验，若通过，则特征向量为权向量。 4）计算组合权向量（作组合一致性检验）计算组合权向量（作组合一致性检验*） 组合权向量可作为决策的定量依据。组合权向量可作为决策的定量依据。 2021/3/10讲解：XX3 层次分析法（AHP）求解流程图 建立 层次 结构 分析 模型 构造 判断 矩阵 层次单 排序及 其一致 性检验 层次总 排序的 一致性 检验 层次 总排 序 2021/3/10讲解：XX4 二二. . 层次分

3、析法的广泛应用层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配， 人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题， 产业结构，教育，医疗，环境，军事等。产业结构，教育，医疗，环境，军事等。 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决 策层参与。策层参与。 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判 断力强的专家给出。断力强的专家给出

4、。 2021/3/10讲解：XX5 整个层次结构分析模型可以分成三层：整个层次结构分析模型可以分成三层： 最高层最高层 (目的层目的层)合理使用利润，促进企合理使用利润，促进企 业发展。业发展。 中间层中间层 (各种使用企业留成利润方案所应当各种使用企业留成利润方案所应当 考虑的准则考虑的准则)进一步调动广大职工劳动积进一步调动广大职工劳动积 极性，大力提高企业技术水平和尽力改善职工极性，大力提高企业技术水平和尽力改善职工 物质文化生活。物质文化生活。 最低层最低层（所考虑的五种措施）（所考虑的五种措施）选择最优方选择最优方 案。这种层次结构分析模型可用下图所示。案。这种层次结构分析模型可用下

5、图所示。 2021/3/10讲解：XX6 合理使用企业利润 促进企业发展 调动职 工劳动 积极性B1 提高企 业技术 水平B2 改善职工 物质文化 生活B3 发奖 金S1 扩大集 体福利 事业S2 办职工 业余技 校S3 建图书馆 俱乐部文 体工队S4 引进新 技术设 备S5 目 标（O） 层 准 则（C） 层 措 施 层 (P) 2021/3/10讲解：XX7 国家综合实力国家综合实力 国民国民 收入收入 军事军事 力量力量 科技科技 水平水平 社会社会 稳定稳定 对外对外 贸易贸易 美、俄、中、日、德等大国美、俄、中、日、德等大国 工作选择工作选择 贡贡 献献 收收 入入 发发 展展 声声

6、 誉誉 关关 系系 位位 置置 供选择的岗位供选择的岗位 例例1 国家国家 实力分析实力分析 例例2 工作选择工作选择 2021/3/10讲解：XX8 过河的效益过河的效益 A 经济效益经济效益 B1 社会效益社会效益 B2 环境效益环境效益 B3 节节 省省 时时 间间 C1 收收 入入 C2 岸岸 间间 商商 业业 C3 当当 地地 商商 业业 C4 建建 筑筑 就就 业业 C5 安安 全全 可可 靠靠 C6 交交 往往 沟沟 通通 C7 自自 豪豪 感感 C8 舒舒 适适 C9 进进 出出 方方 便便 C10 美美 化化 C11 桥梁桥梁 D1 隧道隧道 D2 渡船渡船 D3 （1）过河

7、效益层次结构）过河效益层次结构 例例3 横渡横渡 江河、海峡江河、海峡 方案的抉择方案的抉择 2021/3/10讲解：XX9 过河的代价过河的代价 A 经济代价经济代价 B1 环境代价环境代价 B3 社会代价社会代价 B2 投投 入入 资资 金金 C1 操操 作作 维维 护护 C2 冲冲 击击 渡渡 船船 业业 C3 冲冲 击击 生生 活活 方方 式式 C4 交交 通通 拥拥 挤挤 C5 居居 民民 搬搬 迁迁 C6 汽汽 车车 排排 放放 物物 C7 对对 水水 的的 污污 染染 C8 对对 生生 态态 的的 破破 坏坏 C9 桥梁桥梁 D1 隧道隧道 D2 渡船渡船 D2 （2）过河代价层

8、次结构）过河代价层次结构 例例3 横渡横渡 江河、海峡江河、海峡 方案的抉择方案的抉择 2021/3/10讲解：XX10 待评价的科技成果待评价的科技成果 直接直接 经济经济 效益效益 C11 间接间接 经济经济 效益效益 C12 社会社会 效益效益 C13 学识学识 水平水平 C21 学术学术 创新创新 C22 技术技术 水平水平 C23 技术技术 创新创新 C24 效益效益C1水平水平C2 规模规模C3 科技成果评价科技成果评价 例例4 科技成果科技成果 的综合评价的综合评价 2021/3/10讲解：XX11 三三. 层次分析法的若干问题层次分析法的若干问题 正互反阵的最大特征根是否为正数

9、？特征向量正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量 是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接 近一致阵的程度？近一致阵的程度？ 怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？ 为什么用特征向量作为权向量？为什么用特征向量作为权向量？ 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用 层次分析法？层次分析法？ 2021/3/10讲解：XX12 1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 正互矩阵：设 ，若元素 满足() ijn n Aa i

10、 j a 1 0,( ,1,2,., ) ijij ji aai jn a 一致矩阵：设 为一个正互矩阵，并且满足 () ijn n Aa ,( , ,1,2,., ) ijjkik a aai j kn 2021/3/10讲解：XX13 一致矩阵性质：一致矩阵性质： 设 ，则有 (1) (2) A的每一行(列)元素均是第一行(列)相应元素的正倍数， 并且rank(A)=1 (3) A的最大特征值 ，其余的特征值均为0. (4) 若 对应的特征向量为 ，则 () ijn n Aa 1 0,( ,1,2,., ) ijijijjkik ji aaa aai jn a max n max n 12

11、 (,.,)T n ww ww /,( ,1,2,., ) ijij awwi jn 2021/3/10讲解：XX14 定理定理1 1 正矩阵A 的最大特征根是正单根，对应 正特征向量w，且 T kT k k ew eAe eA ) 1 , 1 , 1 (,lim 定理定理2 2 n阶正互反阵A的最大特征根 , 是 A为一致阵的充要条件. 正互反阵的最大特征根是正数，正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。特征向量是正向量。 一致性指标一致性指标 定义合理定义合理 max 1 n CI n max n max n 2021/3/10讲解：XX15 1）将 A的每一列向量归一化到 得 2

12、. 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法 简化计算的思路简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量，一致阵的任一列向量都是特征向量， 一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取 其某种意义下的平均。其某种意义下的平均。 和法和法和法的步骤如下：和法的步骤如下： 1 /(1,2,., ); n ijijij i waajn 2）对 按行求和得 ij w 1 , (1, 2 , .,) ; n ii j j wwjn 4）计算最大特征值 3）将 归一化得 ，则 为近似特征向量； ij w 1 /,(

13、1,2,., ) n iiij j wwwjn 12 (,.,)T n ww ww max 1 ()1 n i i i Aw nw 2021/3/10讲解：XX16 14/ 16/ 1 412/ 1 621 A例 091. 0077. 01 . 0 364. 0308. 03 . 0 545. 0615. 06 . 0 w 089. 0 324. 0 587. 0 286. 0 974. 0 769. 1 Aw 009. 3) 089. 0 268. 0 324. 0 974. 0 587. 0 769. 1 ( 3 1 列向量归一化列向量归一化 归一化归一化 wAw 精确结果精确结果:w=(

14、0.588,0.322,0.090)T, =3.010 按行求和按行求和 1.760 0.972 0.268 2021/3/10讲解：XX17 根法根法取列向量的几何平均取列向量的几何平均 幂法幂法迭代算法迭代算法 1）任取初始向量）任取初始向量w(0), k:=0，设置精度，设置精度 )()1(kk Aww 2) 计算计算 n i k i kk www 1 )1()1()1( / 3）归一化）归一化 (1) m ax () 1 1 k n i k i i w nw 5) 计算计算 简化简化 计算计算 4）若）若 ，停止；，停止； 否则，否则，k:=k+1, 转转2 )()1( max k i

15、 k i i ww 2021/3/10讲解：XX18 关于如何确定成对比较矩阵 中元素 的值, Saaty等建议试用19尺度，即 的取值范围是1,2，,9 以及倒数是1,12,19, 判断矩阵的元素一般采用19及 其倒数的标度方法。 标度含义 1 3 5 7 9 2，4，6，8 倒数 Ci 与Cj 的影响相同 Ci 比Cj 的影响稍强 Ci 比Cj 的影响强 Ci 比Cj 的影响明显强 Ci 比Cj 的影响绝对强 Ci 与Cj 的影响之比在上述两个相邻等级之间 若因素i与j比较得判断,则因素j与i 比较的判断为Cji=1/Cij () ijnn Aa ij a ij a 2021/3/10讲解

16、：XX19 当当CR0.1CR=0.1CR=0.1时，必须重新调整成对比较矩阵时，必须重新调整成对比较矩阵A A，直至具有满意的一致性。，直至具有满意的一致性。 判断 矩阵 阶数n 12345678910 RI 000.580.91.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 max (1) nCI CR RIRIn 一致性指标 随机一致性指标 一致性比率 max (1) nCI CR RIRIn max 1 n CI n 2021/3/10讲解：XX20 3. 特征向量作为权向量特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应成对比较的多步累积效应 问题问题 一致阵一致阵A, 权向量权向

17、量w=(w1,wn)T, aij=wi/wj A不一致不一致, 应选权向量应选权向量w使使wi/wj与与 aij相差相差 尽量小（对所有尽量小（对所有i,j)。 2 11 ),1( min n i n j j i ij niw w w a i 用拟合方法确定用拟合方法确定w 非线性非线性 最小二乘最小二乘 2 11 ),1( lnlnmin n i n j j i ij niw w w a i 线性化线性化 对数最小二乘对数最小二乘 结果与根法相同结果与根法相同 2021/3/10讲解：XX21 按不同准则确定的权向量不按不同准则确定的权向量不 同，特征向量有什么优点。同，特征向量有什么优点。

18、 成对比较成对比较 Ci:Cj (直接比较）直接比较） aij 1 1步强度步强度 )( )2(2 ij aA sj n s isij aaa 1 )2( aisasj Ci通过通过Cs 与与Cj的比较的比较 aij(2) 2步强度步强度 更能反映更能反映Ci对对Cj 的强度的强度 步强度kaaA k ij k ij k ),( )()( 多步累积效应多步累积效应 体现体现多步累积效应多步累积效应 ), 1, )()()()( 00 nsaaaakkkji k js k is k js k is （或 定理定理1 1 w eAe eA kT k k lim特征向量体现特征向量体现多步累积效应多

19、步累积效应 当当k足够大足够大, Ak第第i行元素反映行元素反映Ci的权重的权重求求Ak的行和的行和 2021/3/10讲解：XX22 4.不完全层次结构中组合权向量的计算不完全层次结构中组合权向量的计算 完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联 不完全层次结构不完全层次结构 设第设第2层对第层对第1层权向量层权向量 w(2)=(w1(2),w2(2)T已定已定 第第3层对第层对第2层权向量层权向量 w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T w2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得已得 讨论由讨论由w(2)

20、,W(3)=(w1(3), w2(3) 计算计算第第3层对第层对第1层权向量层权向量 w(3） ）的方法 的方法 贡献贡献O 教学教学C1科研科研C2 P2 P1P3P4 例例: 评价教师贡献的层次结构评价教师贡献的层次结构 P1,P2只作教学只作教学, P4只作科研只作科研, P3兼作教学、科研。兼作教学、科研。 C1,C2支配元素的数目不等支配元素的数目不等 2021/3/10讲解：XX23 )/(),( )2( 22 )2( 11 )2( 22 )2( 11 )2( wnwnwnwnw T 不考虑支配元素数目不等的影响不考虑支配元素数目不等的影响 )2()3()3( wWw 仍用仍用 计

21、算计算 支配元素越多权重越大支配元素越多权重越大 用支配元素数目用支配元素数目n1,n2对对w(2)加权修正加权修正 若若C1,C2重要性相同重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T, P1P4能力相同能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T 公正的评价应为：公正的评价应为： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 再用再用 计算计算 )2()3()3( wWw w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)T w(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T T w nn ) 5/2 , 5/ 3 ( , 2, 3 )2( 21 支

22、配元素越多权重越小支配元素越多权重越小 教学、科研任务由上级安排教学、科研任务由上级安排 教学、科研靠个人积极性教学、科研靠个人积极性 考察一个特例：考察一个特例： 2021/3/10讲解：XX24 5. 残缺成对比较阵的处理残缺成对比较阵的处理 12/ 1/ 212/ 1 /21 13 31 ww ww C wCw 22/ 10 212/ 1 022 A wwA jim aji ajia a i ij ijij ij , 1 , 0 , miA第第i 行行 中中 的个数的个数 12/1 212/1 21 A例 为残缺元素为残缺元素 辅助矩阵辅助矩阵 T w)1429. 0 ,2857. 0 ,5714. 0(, 3 2021/3/10讲解：XX25 6. 更复杂的层次结构更复杂的层次结构 递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和 支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。 更复杂的层次结构：更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响层内各元素间存在相互影响 或支配；层间存在反馈或循环。或支配；层间存在反馈或循环。 制动制动底盘底盘