fhe1.2.1排列应用题

1、2021/3/10讲解：XX1 排列应用问题排列应用问题 （第一课时）（第一课时） 2021/3/10讲解：XX2 引入：引入： 前面我们学习了分类计数原理和分步计数原理，前面我们学习了分类计数原理和分步计数原理， 并学习了排列数公式。这一节，我们将一起来学习排并学习了排列数公式。这一节，我们将一起来学习排 列知识在实际中的应用。列知识在实际中的应用。 所谓排列问题，就是从所谓排列问题，就是从n个不同元素中取出个不同元素中取出m 个元素，再按照一定的顺序排成一列的问题，称个元素，再按照一定的顺序排成一列的问题，称 为排列问题。判断一个问题是否是排列问题，就为排列问题。判断一个问题是否是排列问题

2、，就 是从是从n个不同元素中取出的个不同元素中取出的m个元素是个元素是有序还是无有序还是无 序序，有序的是排列问题，无序不是排列问题有序的是排列问题，无序不是排列问题。若。若 是排列问题，可直接用排列数公式求解。是排列问题，可直接用排列数公式求解。 2021/3/10讲解：XX3 例例1：（：（1）有）有5本不同的书，从中选本不同的书，从中选3本送给本送给3名名 同学，每人各同学，每人各1本，共有多少种不同的选法？本，共有多少种不同的选法？ （2）有）有5种不同书，要买种不同书，要买3本送给本送给3名同学，每人名同学，每人 各各1本，共有多少种不同的选法？本，共有多少种不同的选法？ 解：从5本

3、不同的书中选出3本分别送给3名同学， 对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此 不同送法的种数是 3 5 A=543=60 由于有5种不同的书，送给每个同学的1本 书 都有5种不同的选购法，因此送给3名同学每人1 本书的不同方法种数是 555=125 答：共有60种不同的选法。 答：共有125种不同的选法。 一、无限制条件的排列问题：一、无限制条件的排列问题： 2021/3/10讲解：XX4 例例2：某信号兵用红、黄、蓝：某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗扦面旗从上到下挂在竖直的旗扦 上表示信号，每次可以任挂上表示信号，每次可以任挂1面、面、2面或面或3面，并且不同的顺面，并

4、且不同的顺 序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 解：分为三类：第一类挂一面旗：有 种信号， 1 3 A 2 3 A第二类挂二面旗：有 种信号 3 3 A第三类挂三面旗：有 种信号 由分类计算原理： + + =3+32+321 1 3 A 2 3 A 3 3 A =15 答：一共可以表示15种不同的信号。 2021/3/10讲解：XX5 例例3、5个班，有个班，有5名语文老师、名语文老师、5名数学老师、名数学老师、5名英语老师，名英语老师， 每个班上配一名语文老师、一名数学老师和一名英语老师，每个班上配一名语文老师、一名数学老师和一名

5、英语老师， 问有多少种不同的搭配方法？问有多少种不同的搭配方法？ 555 555 1728000AAA 解：解： 答：有答：有1728000种不同的搭配方法。种不同的搭配方法。 2021/3/10讲解：XX6 解： 1512005678910 6 10 A 答：有151200种不同的坐法。 （1）10个人走进只有个人走进只有6把椅子的屋子，若每把椅子必须且把椅子的屋子，若每把椅子必须且 只能坐只能坐1人，问有多少种不同的坐法？人，问有多少种不同的坐法？ （2）某年全国足球甲级（）某年全国足球甲级（A组）联赛共有组）联赛共有14个队参加，每队都个队参加，每队都 要与其余各队在主、客场分别比赛一次

6、，共进行多少场比赛？要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？ 解： 2 14 14 13182A 答：共进行答：共进行182场比赛。场比赛。 课堂练习：课堂练习： 2021/3/10讲解：XX7 （3）、）、20位同学互通一封信，那么通信次数是多少？位同学互通一封信，那么通信次数是多少？ )(380 2 20 次A )(1956 6 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6 个AAAAAA （4）、由数字）、由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有可以组成多少个没有 重复数字的正整数？重复数字的正整数？ 2021/3/10讲解：XX8 排列应用问题排列应用问题 （第二课时

7、）（第二课时） 2021/3/10讲解：XX9 二、有限制二、有限制条件条件的排列问题：的排列问题： 主要表现为：某位置上不能排某元素，或某元素只能排在某位 置上。 例4：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的 三位数？ 分析： 条件限制：百位上不能排0，即百位上只能排1到 9这九个数字中的一个。 （一）特殊元素（一）特殊元素(特殊位置）的特殊位置）的“优先安排法优先安排法”，“排除法排除法” 2021/3/10讲解：XX10 第二步从余下的九个数（包括数字0）中任选 2个占据十位、个位，有 种方法。 2 9 A 解法一：分两步完成。 第一步从1到9这九个数中任选一个占据百位， 有

8、 种方法。 1 9 A 由分步计数原理： = 998=648 1 9 A 2 9 A 优先安排位置法：优先安排位置法：以位置为主，先满足特殊位置的要求，以位置为主，先满足特殊位置的要求， 再考虑一般位置。即特殊位置优先安排。再考虑一般位置。即特殊位置优先安排。 分析一：分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素 占据其余位置。 2021/3/10讲解：XX11 分析二：分步完成：第一步让特殊元素占位，第二步让 其余元素占位。 2021/3/10讲解：XX12 解法二：符合条件的三位数可以分三类： 根据分类计数原理得： + + =648 3 9 A 2 9 A 2 9 A 第一类每一位数字

9、都不是0的三位数有 个 3 9 A 第二类个位数字是0的三位数有 个 2 9 A 第三类十位数字是0的三位数有 个 2 9 A 优先安排元素法：优先安排元素法：以元素为主，先满足特殊元素的要求，以元素为主，先满足特殊元素的要求， 再考虑一般元素。即特殊元素优先安排。再考虑一般元素。即特殊元素优先安排。 2021/3/10讲解：XX13 分析三：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的 排列数（称为排除法） 解法三：从0到9十个数字中任取3个数字的排列总数为 ，其中0在百位的有 个，即所求的三位 数的个数是 3 10 A 2 9 A 3 10 A 2 9 A =109898=648 答：可以组成6

10、48个没有重复数字的三位数。 排除法：排除法：先不考虑限制条件，计算出总的排列数，再先不考虑限制条件，计算出总的排列数，再 从中减去不满足条件的排列数。即先全体后排除。从中减去不满足条件的排列数。即先全体后排除。 2021/3/10讲解：XX14 例例5、7人按要求站成一排，分别有多少种不同的战法？人按要求站成一排，分别有多少种不同的战法？ （1）甲必须站在中间；）甲必须站在中间； （2）甲不站在排头（左起第一个）；）甲不站在排头（左起第一个）； （3）甲不站在排头，也不站在排尾；）甲不站在排头，也不站在排尾； （4）甲站在排头，乙站在排尾；）甲站在排头，乙站在排尾； （5）甲不站在排头，乙不

11、站在排尾。）甲不站在排头，乙不站在排尾。 2021/3/10讲解：XX15 1、用三种方法解下列题：、用三种方法解下列题：7个人排成一排照像，甲个人排成一排照像，甲 不站在中间也不站在两端，问可照多少张不同的照不站在中间也不站在两端，问可照多少张不同的照 片？片？ 28801 4 4 3 6 AA 28802 6 6 1 4 AA 288033 6 6 7 7 AA 课堂练习：课堂练习： 2021/3/10讲解：XX16 2 2、学校开设语文、数学、外语、政治、物理、化学、体、学校开设语文、数学、外语、政治、物理、化学、体 育育7 7门课，如果星期六只开设门课，如果星期六只开设4 4节课，体育

12、不排在第节课，体育不排在第1 1、4 4节，节， 问有多少种排列法。问有多少种排列法。 解：解：7 7门课中选门课中选4 4门进行排课共有门进行排课共有A A7 74 4 种排法，其中体育课排在 种排法，其中体育课排在 第第1 1节有节有A A6 63 3 种排法种排法，体育课排在第体育课排在第4 4节也有节也有A A6 63 3 种排法种排法， 所以符合条件的排法共有：所以符合条件的排法共有：A A7 74 4-2A-2A6 63 3=600=600（种）（种）. .( (排除法）排除法） 解解2：考虑：考虑体育不排在第体育不排在第1 1、4 4节。所以第节。所以第1 1，4 4节可从节可从

13、6 6门课中选门课中选 2 2门有门有A A6 62 2种，则第种，则第2 2，3 3节从余下的节从余下的5 5门中选门中选2 2门有门有A A5 52 2种，由乘法种，由乘法 原理共有原理共有A A6 62 2.A.A5 52 2=600=600（种（种).).( (特殊位置优先考虑）特殊位置优先考虑） 解解3：考虑：考虑体育不排在第体育不排在第1 1、4 4节。可分两类：（节。可分两类：（1 1）体育课不排，）体育课不排， 有有A A6 64 4种；（种；（2 2）体育课排有）体育课排有A A2 21 1种，余下从种，余下从6 6门选门选3 3门有门有A A6 63 3种，所以种，所以 有

14、有A A2 21 1.A.A6 63 3种。种。 由加法原理共由加法原理共有有A A6 64 4+A+A2 21 1A A6 63 3=600(=600(种）。种）。（特殊元素优先考虑）（特殊元素优先考虑） 2021/3/10讲解：XX17 3、由、由1、2、3、4、5这这5个数字组成无重复数字的五位数，个数字组成无重复数字的五位数， 其中奇数有其中奇数有 个个. 72 4 4 1 3 AA 2021/3/10讲解：XX18 排列应用问题排列应用问题 （第三课时）（第三课时） 2021/3/10讲解：XX19 例5：7人站成一排照相， （1）甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ （2）

15、甲，乙两人相邻，另外4人也相邻，有多少种不同的排法？ （3）甲，乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ （4）甲，乙，丙三人两两不相邻，有多少种不同的排法？ （5）若要求甲、乙之间间隔2人，有多少种不同的排法？ （二）（二）“邻邻”与与“不邻不邻”问题：问题： 2021/3/10讲解：XX20 1）捆绑法）捆绑法 若干个元素相邻排列问题，一般用若干个元素相邻排列问题，一般用“捆绑法捆绑法”。先把。先把 相邻的若干元素相邻的若干元素“捆绑捆绑”为一个大元素与其余元素全为一个大元素与其余元素全 排列，然后再排列，然后再“松绑松绑”，将这若干个元素内部全排列，将这若干个元素内部全排列 2）插空法）插空法

16、 若干个元素不相邻的排列问题，一般用插空法，即若干个元素不相邻的排列问题，一般用插空法，即 先将先将“普通元素普通元素”全排列，然后再在排好的每两个全排列，然后再在排好的每两个 元素之间及两端插入特殊元素。元素之间及两端插入特殊元素。 相邻问题用相邻问题用“捆绑法捆绑法”，不相邻问题用，不相邻问题用“插空法插空法” 练习：优化方案练习：优化方案 11页页 例例3 跟踪训练跟踪训练 2 2021/3/10讲解：XX21 1、停车场划出一排、停车场划出一排12个停车位置，今有个停车位置，今有8辆车需要停放，要求辆车需要停放，要求 空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？空位置连在一起，不同的停车方

17、法有多少种？ 补充练习：补充练习： 2021/3/10讲解：XX22 2.2.由数字由数字1 1、2 2、3 3、4 4、5 5组成没有重复数字且数字组成没有重复数字且数字4 4与与5 5不相邻不相邻 的五位数，这种五位数的个数是的五位数，这种五位数的个数是72 方法一方法一（插空法）插空法） 第一步：将第一步：将1 1、2 2、3 3进行全排列，有进行全排列，有A A3 33 3=6=6种方法种方法 第二步：再让第二步：再让4 4与与5 5插入四个空中的两个空中，共有插入四个空中的两个空中，共有A A4 42 2=12=12种方法种方法。 方法二：方法二：（排除法）排除法） 先不考虑附加条件

18、，那么所有的五位数应有先不考虑附加条件，那么所有的五位数应有A A5 55 5 =120 =120个。其个。其 中不符合题目条件的，即中不符合题目条件的，即4 4与与5 5相邻的五位数共有相邻的五位数共有A A4 44 4.A.A2 22 2 =48 =48个。个。 因此，符合条件的五位数共有因此，符合条件的五位数共有A A5 55 5 - A - A4 44 4.A.A2 22 2 =72 =72个个 总共有：总共有： 32 34 6 1272()AA个 2021/3/10讲解：XX23 3、计划展出、计划展出10幅不同的画，其中幅不同的画，其中1幅水彩画，幅水彩画，4幅油画，幅油画，5幅国

19、幅国 画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，那么不 同的陈列方式有（同的陈列方式有（ ） 5 5 4 4 AAA 5 5 4 4 3 3 AAAB 5 5 4 4 1 3 AAAC 5 5 4 4 2 2 AAAD B 2021/3/10讲解：XX24 排列应用问题排列应用问题 （第四课时）（第四课时） 2021/3/10讲解：XX25 例例6、（、（1）5人排队，甲在乙左边（可以不相邻）的排人排队，甲在乙左边（可以不相邻）的排 法有几种？法有几种？ 27人排成一排，其中人排成一排，其中甲、乙、丙三人的顺序不变，甲、乙、丙三人的顺

20、序不变， 有几种不同排法？有几种不同排法？ 4 7 3 3 7 7 A A A 分析：若不考虑限制条件，则有分析：若不考虑限制条件，则有 种排法，而甲，种排法，而甲， 乙之间排法有乙之间排法有 种，故甲在乙左边的排法只有一种种，故甲在乙左边的排法只有一种 符合条件，故符合条件，故 符合条件的排法有符合条件的排法有 种种. 5 5A 2 2A 5 5 2 2 A A 3 5 A即 （三）顺序固定问题（三）顺序固定问题: 2021/3/10讲解：XX26 顺序固定问题用顺序固定问题用“除法除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将 这几个元素与其它元素

21、一同进行排列，然后用总的这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的 排列数除以这几个元素的全排列数排列数除以这几个元素的全排列数. n n m m n A A 即若 个元素中有m个（mn）元素的顺序一定， 则有种不同的排法。 2021/3/10讲解：XX27 练习：练习：有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互不等， 将将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高 排列，有多少种排法？排列，有多少种排法？ 所以共有所以共有 种。种。 7 4 7 7 3 3 A A A 分析：先在分析：先在7个位置上作全排列，有个位置

22、上作全排列，有 种排法。其中种排法。其中 3个女生因要求个女生因要求“从矮到高从矮到高”排，只有一种顺序故排，只有一种顺序故 只只 对应一种排法，对应一种排法， 3 3 A 7 7 A 2021/3/10讲解：XX28 （四）分排问题：（四）分排问题： 例例7、 七人坐两排座位，第一排坐七人坐两排座位，第一排坐3人，第人，第 二排坐二排坐4人，则有多少种不同的坐法？人，则有多少种不同的坐法？ 分析：分析：7个人，可以在前后排随意就坐，再无个人，可以在前后排随意就坐，再无 其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以 不同的坐法有不同的坐法有 种种. 7 7A

23、 2021/3/10讲解：XX29 分排问题用分排问题用“直排法直排法” 把把n个元素排成若干排的问题，若没有其他个元素排成若干排的问题，若没有其他 的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理. 注意和下题的区别：注意和下题的区别： 7个小孩站成两排，其中个小孩站成两排，其中3个女孩站前排，个女孩站前排，4个男孩站后排，个男孩站后排， 有多少种站法？有多少种站法？ 34 34 1 4 4AA 2021/3/10讲解：XX30 （1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、 后排四人，有几种不同排法？后排四人，有几种

24、不同排法？ 7 7 A （2）八个人排成两排，有几种不同排法？）八个人排成两排，有几种不同排法？ 8 8 A 练练 习习 ： 2021/3/10讲解：XX31 排列应用问题排列应用问题 （第五课时）（第五课时） 2021/3/10讲解：XX32 1、四名男生和三名女生站成一排：、四名男生和三名女生站成一排： （1）一共有多少种站法？）一共有多少种站法？ （2）甲站在正中间的不同排法有多少种？）甲站在正中间的不同排法有多少种？ （3）甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？ (4) 甲、乙二人不能站在两端的排法有多少种？甲、乙二人不能站在两端的排法有多少种？

25、7 7 A 6 6 A 25 25 AA 25 55 AA 综合练习：综合练习： 2021/3/10讲解：XX33 (5) 甲不站排头，也不站排尾，有多少种排法？甲不站排头，也不站排尾，有多少种排法？ (6) 甲只能站排头或排尾，有多少种站法？甲只能站排头或排尾，有多少种站法？ 16 56 AA 16 26 AA （7）甲不站排头，乙不站排尾，有多少种排法？）甲不站排头，乙不站排尾，有多少种排法？ 6115 6555 AA A A 765 765 2AAA或 （8）四名男生站在一起，三名女生站在一起，）四名男生站在一起，三名女生站在一起， 有多少种排法？有多少种排法？243 243 AAA 2021/3/10讲解：XX34 （9）男女相间的排法有多少种？）男女相间的排法有多少种？ （10）女生不相邻的排法有多少种？）女生不相邻的排法有多少种？ （11）三名女生顺序一定的排法有多少种？三名女生顺序一定的排法有多少种？ （12）甲与乙、丙二人不相邻的排法有多少种？）甲与乙、丙二人不相邻的排法有多少种？ 34 34 AA 43 45 AA 7 7 3 3 A A 43422 45452 AAAAA 2021