ch36 随机变量的独立性

1、 第三章第六节 随机变量的独立性 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念 两事件两事件A,B独立的定义是：独立的定义是： 若若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件则称事件A,B独立独立 . 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有 )()(),(yYPxXPyYxXP 则称则称X,Y相互独立相互独立 . 两随机变量独立的定义是：两随机变量独立的定义是： )()(),(yFxFyxF YX 用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个是两个r.v.，若对任意的，若对任意的x,y,有有 则称则称X,Y相互独立相互独立

2、. 它表明，两个它表明，两个r.v.相互独立时，它们的联合相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 . ),(yxf其中其中是是X,Y的联合密度，的联合密度， )()(),(yfxfyxf YX 几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称X,Y相互独立相互独立 . 对任意的对任意的 x, y, 有有 若若 (X,Y)是连续型是连续型r.v. ，则上述独立性的，则上述独立性的 定义等价于：定义等价于： 这里这里“几乎处处几乎处处 成立成立”的含义是：的含义是： 在平面上除去面在平面上除去面 积为积为0的集合外，的集合外， 处处成立处处成立. 分别是分

3、别是X的的)(),(yfxf YX 边缘密度和边缘密度和Y 的边缘密度的边缘密度 . 若若 (X,Y)是离散型是离散型r.v ，则上述独立性的定，则上述独立性的定 义等价于：义等价于： )()(),( jiji yYPxXPyYxXP 则称则称X和和Y相互独立相互独立. 对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi, yj),有有 解解: 例例 1 1 考察考察( (书中书中) )例例3.2.2(3.2.2(即吸烟与得肺癌关系即吸烟与得肺癌关系 的研究的研究) )中随机变量中随机变量X X与与Y Y的独立性的独立性. . Y X 0 1 Pi. 0 0.000130.19987 0.200

4、00 1 0.000040.799960.80000 p.j 000017099983 1 PX=0PY=0=0.2 PX=0PY=0=0.2 0.000170.00017 0.00013=PX=0,Y=0 0.00013=PX=0,Y=0 X X和和Y Y不相互独立不相互独立. . 证明证明: 例例2 2 设设:(X ,Y ):(X ,Y ) N(N( 1 1, , 2 2, , 1 1, , 2 2 , , ) ) 求证求证: X: X与与Y Y独立独立 =0=0 Ryx e yxf uyuyuxux , 12 1 ),( 2 2 2 2 21 21 2 1 2 1 2 )()( 2 )(

5、 )1 (2 1 2 21 Rxexf x X 2 1 2 11 2 )( 1 2 1 )( 由 Ryeyf y Y 2 2 2 2 2 )( 2 2 1 )( “” 把=0代入 2 2 2 2 2 1 2 1 )()( 2 1 21 2 1 ),( uyux eyxf )()( 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 )( 2 2 )( 1 yfxfee YX uyux 于是: X与Y独立 “” XX和和Y Y相互独立相互独立 ( (x,y) ) R R2 2. .有有 f(f(x,y)= f)= fX X( (x)f)fY Y( (y) ) 对比两边对比两边 =0=0 21 2

6、 21 2 1 2 1 12 1 特别特别, ,取取 x=u=u1 1 , , y=u=u2 2 代入上式有 代入上式有 f(uf(u1 1,u,u2 2)= f)= fX X(u(u1 1)f)fY Y(u(u2 2) ) 即即: : 例例3 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为 其它, 0 0, 0, ),( )( yxxe yxf yx 问问X和和Y是否独立？是否独立？ 解：解： 0 )( )(dyxexf yx X 0 )( )(dxxeyf yx Y , x xe , y e x0 即：即： 其它, 0 0, )( xxe xf x X 其它, 0 0, )( ye yf y Y

7、对一切对一切x, y, 均有：均有： 故故X,Y 独立独立 )()(),(yfxfyxf YX y 0 若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为 其它, y, yx, )y, x(f 0 1002 情况又怎样？情况又怎样？ 解：解：),1 (22)( 1 xdyxf x X y Y ydxyf 0 ,22)( 0 x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域， )()(),(yfxfyxf YX 故故X和和Y不独立不独立 . 例例4 甲乙两人约定中午甲乙两人约定中午12时时30分在某地会面分在某地会面. 如果甲来到的时间在如果甲来到的时间在12:15到到12:45之间是均匀之间

8、是均匀 分布分布. 乙独立地到达乙独立地到达,而且到达时间在而且到达时间在12:00到到 13:00之间是均匀分布之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一试求先到的人等待另一 人到达的时间不超过人到达的时间不超过5分钟的概率分钟的概率. 又甲先到的又甲先到的 概率是多少？概率是多少？ 解解: 设设X为甲到达时刻为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻 以以12时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意, XU(15,45), YU(0,60) 其它, 0 4515, 30 1 )( x xf X 所求为所求为P( |X-Y | 5) 及及P(XY) 其它, 0 600, 60 1 )(

9、 x yfY 解解: 设设X为甲到达时刻，为甲到达时刻， Y为乙到达时刻为乙到达时刻 以以12时为起点，以分为单位，依题意，时为起点，以分为单位，依题意， XU(15,45), YU(0,60) 其它, 0 600 ,4515, 1800 1 ),( yx yxf 甲先到甲先到 的概率的概率 由独立性由独立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人 到达的时间不超过到达的时间不超过5分钟分钟 的概率的概率 解一：解一： 45 15 5x 5x dxdy 1800 1 P(| X-Y| 5) x y 0 1545 10 60 40 5yx 5yx =P( -5 X -Y 5) =1/6 =1/2 x

10、 y 0 1545 10 60 40 yx P(XY) 45 15 60 x dxdy 1800 1 解二：解二： 5| yx | dxdy 1800 1 P(X Y) P(| X-Y| 5) 类似的问题如：类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自 独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是 等可能的等可能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小时，乙船需停泊小时，乙船需停泊2 小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中 一艘船要等待码头空出的概率一艘船要等待码头空出的概率. 在

11、某一分钟的任何时刻，信号进入收音机在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机 是等可能的是等可能的. 若收到两个互相独立的这种信号若收到两个互相独立的这种信号 的时间间隔小于的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干秒，则信号将产生互相干 扰扰. 求发生两信号互相干扰的概率求发生两信号互相干扰的概率. 随机变量独立性的概念不难推广到两随机变量独立性的概念不难推广到两 个以上个以上r.v的情形的情形.（见教材）（见教材） 定理定理1 若连续型随机向量（若连续型随机向量（X1, ,Xn）的）的 概率密度函数概率密度函数f(x1, ,xn)可表示为可表示为n个函数个函数 g1, ,gn之积，其中之积，其中gi只依赖于只依赖于xi，即，即 f(x1, ,xn)= g1(x1) gn(xn) 则则X1, ,Xn相互独立相互独立,且且Xi的边缘密度的边缘密度fi(xi) 与与gi(xi)只相差一个常数因子只相差一个常数因子. 最后我们给出有关独立性的两个结果：最后我们给出有关独立性的两个结果： 定理定理2 若若X1, ,Xn相互独立相互独立,而而 Y1=g1(X1, ,Xm), Y2=g2 (Xm+1, ,Xn) 则则Y1与与Y2独立独立 . 这一讲，我们由两个事件相互独立的概这一讲，我们由两个事件相互独立的概 念引入两个随机变量相互独立的概念念引入两个随机变量相互独立的概念.