高级通信原理第4章 信号的分析

1、第第4章信号的分析章信号的分析 主要内容主要内容 n信号的空间分析信号的空间分析 信号的矢量表示方法信号的矢量表示方法 统计判决理论统计判决理论 AWGN条件下的最佳接收及误码率分析条件下的最佳接收及误码率分析 n带通信号和系统的等效低通分析带通信号和系统的等效低通分析 希尔波特变换希尔波特变换 解析信号解析信号 频带信号与带通系统频带信号与带通系统 4.14.1信号的空间分析信号的空间分析 重点：常见调制信号的空间表示重点：常见调制信号的空间表示 格拉姆格拉姆-施密特正交化：施密特正交化： 如何将一组如何将一组n维向量构成一组标准正交向量？维向量构成一组标准正交向量？ 正交矢量空间表示：正交

2、矢量空间表示： 任何矢量可以用一组标准正交向量的线性组合来表示。任何矢量可以用一组标准正交向量的线性组合来表示。 用矢量空间中的一个点来表示某矢量。用矢量空间中的一个点来表示某矢量。 复习复习 格拉姆格拉姆-施密特正交化施密特正交化 n提问提问 信号是否可以用矢量表示？信号是否可以用矢量表示？ 设一组标准正交函数为设一组标准正交函数为fn(t),n=1,2,.,N，即即 nm nm dttftf mn 1 0 信号信号s(t)可以由可以由fn(t)的线性组合来近似的线性组合来近似 1 N nn n s ts ft 这一近似的误差为这一近似的误差为 tstste 如何求得系数如何求得系数sn ,

3、 使得误差的能量最小？使得误差的能量最小？ Nndttftss nn ,.2 , 1, 结论：结论： N k nn tfsts 1 例题：例题： 已知一组标准正交函数如下，试画出信已知一组标准正交函数如下，试画出信 号空间中一个点所对应的信号波形。号空间中一个点所对应的信号波形。 1） 标准正交基标准正交基 2） 信号的空间表示信号的空间表示 3） 数字调制信号的矢量空间表示数字调制信号的矢量空间表示 信号的正交展开方法信号的正交展开方法 (Gran Schmidt) 设一组信号为设一组信号为si(t),i=1,2,M,现求一组正交函数来表示这组信号。现求一组正交函数来表示这组信号。 第一步第

4、一步:设归一化的设归一化的s1(t)为第一个正交函数为第一个正交函数,即第一个单位长度即第一个单位长度 的正交矢量为的正交矢量为 1 1 1 ts tf dttsi i 2 第二步第二步:计算计算s2(t) 在在f1(t)上的投影上的投影 dttftsc 1212 从从s2(t)中减去中减去c12f1(t),即得到即得到s2(t)信号中所包含的与信号中所包含的与f1(t)正交的部分正交的部分 tfctstf 11222 将将f2(t)归一化归一化,即得到第二个单位长度的正交矢量即得到第二个单位长度的正交矢量 dttf tf tf 2 2 2 2 这里这里 第三步第三步:求第求第k个正交函数个正

5、交函数 dttftsc ikik 1 1 K i iikkk tfctstf dttf tf tf k k k 2 正交化过程继续下去，直到所有正交化过程继续下去，直到所有M个信号波形处理完毕，个信号波形处理完毕， 则则NM个标准正交波形构造完成。个标准正交波形构造完成。 其中其中 信号的矢量空间表示信号的矢量空间表示 例例 设一组信号为设一组信号为si(t),i=1,2,3,4,现求一组正交函数来表示这组信号。现求一组正交函数来表示这组信号。 2 1 1 1 1 tsts tf 0 2 2 0 12 2 0 1212 dt tsts dttftsc 0 22 tstf 2 2 2 2 2 2

6、 ts dttf ts tf 2 2 2 0 13 3 0 1313 dt tsts dttftsc 0 2 2 0 23 3 0 2323 dt tsts dttftsc 解解: otherwise0 321 02 13 2133 t tsts tftftstf tf dttf tf tf 3 2 3 3 3 同理同理 1, 0,2 342414 ccc 0 2 314 3144 tftsts tftftstf 2 1 1 1 1 tsts tf 2 2 2 2 2 2 ts dttf ts tf tsts tftftstf 13 2133 02 0 2 314 3144 tftsts tf

7、tftstf 练习练习 解：解： 小结小结 n信号的空间表示信号的空间表示 信号的正交展开信号的正交展开 信号的空间表示信号的空间表示 信号的矢量空间表示信号的矢量空间表示 有有4个消息要在个消息要在AWGN信道传输，如下图所示。信道传输，如下图所示。 （1 1）确定信号空间的标准基函数集；）确定信号空间的标准基函数集； （2 2）画出信号星座图；）画出信号星座图； 例题例题 例例5 : 4ASK(或或4PAM频带信号频带信号) 4.2 AWGN条件下的最佳接收条件下的最佳接收 及误码率分析及误码率分析 1) 信号的矢量表示信号的矢量表示 2) AWGN下的最佳接收下的最佳接收(含含“统计判决

8、理论统计判决理论”) 3)误码率分析误码率分析 复习：信号的矢量表示复习：信号的矢量表示 一、最佳接收机一、最佳接收机 u信号解调器信号解调器 p相关解调器相关解调器 pMF解调器解调器 u最佳检测器最佳检测器 p最大后验概率准则最大后验概率准则 p最大似然准则最大似然准则 p最小距离准则最小距离准则 1、 相关解调器相关解调器 接收信号的正交展开接收信号的正交展开 相关解调器相关解调器 MF解调器解调器 对输入信号的匹配对输入信号的匹配 ! 问题：问题：匹配于基函数，输出信号和噪声功率为多少？匹配于基函数，输出信号和噪声功率为多少？ 证明：证明： 参见参见(第第4版版)172页页 解：解：

9、M=4的双正交信号的双正交信号(eg.4PSK) 参见参见(第第4版版)175页页 思考：思考： 1、需要几个、需要几个 匹配滤波器？匹配滤波器？ 2、第一个匹、第一个匹 配滤波器输出配滤波器输出 的信噪比？的信噪比？ 3、相对于、相对于4个个 输入信号，考输入信号，考 虑信道噪声两虑信道噪声两 个匹配滤波器个匹配滤波器 输出的信号为输出的信号为 多少？多少？ 双正交信号双正交信号 解：解： 2、最佳检测器、最佳检测器 已经解决的问题：已经解决的问题： 提出问题：提出问题： 结结 论论 最小欧式距离准则的证明思路最小欧式距离准则的证明思路 如果所有信号具有如果所有信号具有 相同的能量，相关相同

10、的能量，相关 度量可写成度量可写成rsm 最佳最佳AWGN接收机的实现形式接收机的实现形式 注意：注意： 1、要求先验等概；、要求先验等概； 2、与所有发送信号进行相、与所有发送信号进行相 关，而不是基函数的相关。关，而不是基函数的相关。 如果所有信号具有相同如果所有信号具有相同 的能量？的能量？ 总结：最佳接收机总结：最佳接收机 信号解调器信号解调器 p相关解调器相关解调器 pMF解调器解调器 最佳检测器最佳检测器 p最大后验概率准则最大后验概率准则 p最大似然准则最大似然准则 p最小距离准则最小距离准则 参见参见(第第4版版)179页页 The received signal Zero m

11、ean Gaussian noise Tyr nb 2 2 1 2 exp 2 1 n b n r srp 2 2 2 2 exp 2 1 n b n r srp 解解: 2 2 11 2 exp 2 n b n rp psrpPM sr, 2 2 22 2 exp 2 1 1 n b n rp psrpPM sr, 1 2 1 , 1s PM PM sr, sr, b bb rr p p PM PM 2 exp 1 22 2 1 sr, sr, 1 22 , 1 ln 2 s p prr b bb p p Nr b 1 ln 4 1 0 s1s2 p p N h 1 ln 4 1 0 thr

12、eshold: depends on N0 and p when p=0.5, h=0 二、最佳接收机的误码率分析二、最佳接收机的误码率分析 思路分析（以思路分析（以“ML准则准则”为例）为例） p画出接收机结构画出接收机结构 p似然函数（高斯分布：均值和方差）似然函数（高斯分布：均值和方差） p划分判决区域（根据最小距离准则）划分判决区域（根据最小距离准则） p得出误码率得出误码率 二进制调制的错误概率二进制调制的错误概率 1）2PSK 2）正交信号 1、2PSK 由接收信号得到的解调器输出由接收信号得到的解调器输出 nEr b 发送信号发送信号 tgtstgts 21 , 0 2 0 1

13、exp 1 N Er N srp b 0 2 0 2 exp 1 N Er N srp b 02/ 1)()( 21 h sPsP )|()()|()( 2211 sePsPsePsPP b 0 11 drsrpseP 0 2 2 2 2 0 0 2 0 0 11 2 2 exp 2 1 2 exp 2 1 exp 1 0 0 N E Q dx x dx x dr N Er N drsrpseP b NE NE b b b 误码率误码率 n: variance is =N0/2 In such a case, h=0 0, 2 exp 2 1 2 xdt t xQ x x dttx 0 2 e

14、xp 2 erf 2 erfc 2 1x xQ x dttxx 2 exp 2 erf1erfc 复复 习习 b Ed2 12 0 2 12 2N d QP b 误码率仅仅取决于比特信噪比。误码率仅仅取决于比特信噪比。 如果采用如果采用欧氏距离欧氏距离来表示，则表示为来表示，则表示为 0 21 2 2 1 2 1 N QsePsePP b b 2 12 4 1 dEb 注意：不同信号相同的矢量表示注意：不同信号相同的矢量表示 基带基带2PAM 频带频带2PAM（2PSK） 基带基带PAM 频带频带2PAM 频带频带2PAM 2、二元正交信号、二元正交信号 两个信号的向量表示为两个信号的向量表示

15、为 b bb Ed EsEs 2 0,0 12 21 如果如果发送为发送为s1，则解调器输出端的接收向量为，则解调器输出端的接收向量为 2121 ,nnErr b r 错误出现在错误出现在 C(r,s2) C(r,s1)，所以，所以 12121b P ePP nnE sr sr s b b b Q N E QEnnP 0 12 b Ed2 12 0 2 12 2N d QP b 如果采用如果采用欧氏距离欧氏距离来表示，则表示为来表示，则表示为 2 12 2 1 dEb 因为因为n1和和n2是均值为是均值为0，方差为，方差为No/2 且相互独立的高且相互独立的高 斯随机变量，所以斯随机变量，所以

16、n2-n1是均值为是均值为0，方差为，方差为No的高斯随机的高斯随机 变量变量. Binary signals 和二进制双极性和二进制双极性 信号相比，要达到同信号相比，要达到同 样的错误概率，正交样的错误概率，正交 信号的能量需增加一信号的能量需增加一 倍，即正交信号的性倍，即正交信号的性 能劣于双极性信号能劣于双极性信号 3dB，这是由于两个，这是由于两个 信号点之间的距离引信号点之间的距离引 起的。起的。 例题：例题：OOK的误码率分析的误码率分析 0 2 12 2N d QP b 00 1 2N E Q N E Q b 解解: 例题：例题： 教学思考教学思考 n等效低通表示等效低通表示

17、(同相分量和正交分量、实部和虚部）同相分量和正交分量、实部和虚部） n矢量空间表示相同，仅仅是基函数不同，误码率分析是否矢量空间表示相同，仅仅是基函数不同，误码率分析是否 一样？（比如带通信号和等效低通信号？）一样？（比如带通信号和等效低通信号？） n误码率分析和前面的误码率分析方法是否一致？误码率分析和前面的误码率分析方法是否一致？ 4.34.3带通信号和系统的等效低通分析带通信号和系统的等效低通分析 一、希尔伯特（一、希尔伯特（Hilbert）变换）变换 3、结论：、结论： tf tf t 1 2、性质：、性质： 1、定义：、定义：如果用如果用 表示信号表示信号 的希尔伯特变换，则：的希尔

18、伯特变换，则： tf tf t tftfHtf 1 和和 幅频特性相同。幅频特性相同。 tf tf 比比 相位滞后相位滞后90o。 tf tf 1 h t, j0 Hjsgn j0 jF0 FjsgnF jF0 t 例题：例题： 。 的计算tftcostf 0 解：解： tsin 2 -tcos(tf 00 ) Assume the passband signal f(t) is real valued. fc -fc F(f) 0, 0, ffjF ffjF fFtf 0, 0, ffF ffF fFjtf j Therefore we have 0, 0 0,2 f ffF fZ tf j

19、tftz 二、解析信号二、解析信号 解析信号的性质解析信号的性质 例题例题 2 2.12.1 o jf t e 例确定是否是解析信号。 2.12.2( )cos2 o f tf t例已知，求其解析信号。 三、带通信号的等效低通表示三、带通信号的等效低通表示 1带通信号（频带信号）带通信号（频带信号） 定义：定义：信号信号f (t)称为是带通的，指它的称为是带通的，指它的Fourier变变 换换F( f )集中在某一个频率附近。集中在某一个频率附近。 通信中，带通信号通常是指窄带信号。它指通信中，带通信号通常是指窄带信号。它指 信号频谱在某个高频信号频谱在某个高频 f0 附近一个小领域上不为零，附近一个小领域上不为零， 在其它地方为零。在其它地方为零。 2、如何得到带通信号的等效低通表示？、如何得到带通信号的等效低通表示？ 2）把）把 Z(f)向左移向左移 f0 ，得到，得到f(t) 的低通等效表示的低通等效表示 如何得到带通信号如何得到带通信号f f( (t t) ) 的复包络表示（即等效低通表示）？的复包络表示