高中数学：任意角的三角函数-课件.

1、1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 1.复习引入复习引入 我们已经学习过锐角的三角函数，如图：我们已经学习过锐角的三角函数，如图： 你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗? ? sin BC A AC cos AB A AC tan BC A AB A B C 设锐角设锐角的顶点与原点的顶点与原点O重合重合,始边与始边与x轴的正半轴的正半 轴重合轴重合,那么它的终边在第一象限那么它的终边在第一象限. 的终边上任意一点的终边上任意一点P的坐标为的坐标为(a,b),它与原点的它与原点的 距离是距离是_ 过过P作作x轴的垂线轴的垂线,垂足为垂足为M,则

2、则 线段线段OM的长度为的长度为_ 线段线段MP的长度为的长度为_ 2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数 22 0rab M y xO P(a,b) a b M y xO P(a,b) sin,cos,tan MPbOMaMPb OPrOPrOMa P(a,b) M A(1,0) x y 1 将点将点P取在使线段取在使线段OP的长的长r=1的特殊位置上的特殊位置上 sin, cos, tan MP b OP OM a OP MPb OMa 以原点以原点O为为 圆心圆心,以单以单 位 长 度 为位 长 度 为 半 径 的 圆半 径 的 圆 称 为称 为 单 位单 位 圆圆 P(x,y) A(1

3、,0) x y 3.利用单位圆定义任意角的三角函数利用单位圆定义任意角的三角函数 设设是一个任意角是一个任意角,它的终边与单位圆交于它的终边与单位圆交于 点点P(x,y) (1) y叫做叫做的的正弦正弦,记作记作sin, 即即 sin=y (2) x叫做叫做的的余弦余弦,记作记作cos, 即即 cos=x y x (3) (3) 叫做叫做正切正切, ,记作记作tan, 即即 tan0 y x x 2 kkZ 4.三角函数三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单以单 位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数函数 弧度制

4、下弧度制下,角的集合与实数集角的集合与实数集R之间建立之间建立 了了一一对应一一对应关系关系 三角函数可以看成自变量为实数的函数三角函数可以看成自变量为实数的函数 5 1 . 3 例 求的正弦、余弦和正切值 y x B A 5 3 O 13 , 22 5 sin 3 3 2 15 cos 32 3 5 tan 3 5 = 3 AOB 解解: 在直角坐标系中在直角坐标系中,作出作出 5.典型例题典型例题 练练 例例2 已知角已知角的终边经过点的终边经过点P0(-3,-4),求角求角的正弦、的正弦、 余弦和正切值余弦和正切值 解解: 22 0 345OP 设角设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆

5、交于点P(x,y).分别过点分别过点P、 P0作作x轴的垂线轴的垂线MP、M0P0,则则 000 4,3,M PMPy OMOMx y x O MM0 P0(-3,-4) P(x,y) 00 0 sin 1 4 ; 5 MPy y OP M P OP 0 0 3 cos; 15 OMOMx x OPOP sin4 tan cos3 y x 知道知道终边上任意一点终边上任意一点P(x,y),就可以求出角就可以求出角 的三角函数值的三角函数值. y x O M P(x,y) sin, MPx OPr tan MPy OMx cos, OMy OPr 22 rxy 练练 6.三角函数的定义域三角函数

6、的定义域 sin cos tan y yx x 三角函数三角函数定义域定义域 sin cos tan R R , 2 |Zkk 根据三角函数的定义,研究三 角函数值在各个象限的符号 - + + + sin cos tan y yx x - - - + sincostan y OxOx y Ox y 口诀：口诀： 一全正一全正 二正弦二正弦 三正切三正切 四余弦四余弦 例例3 3 求证求证: :当且仅当下列不等式组成立时当且仅当下列不等式组成立时, , 角角为第三角限角为第三角限角sin0, tan0. 证明证明: :如果如果式都成立式都成立, ,那么那么为第三为第三 象限角象限角. . 若若s

7、insin000, ,那么那么角的终边可能位于角的终边可能位于 第一或第三象限第一或第三象限. . 因为因为式都成立式都成立, ,所以所以角的终边只能角的终边只能 位于第三象限位于第三象限. .于是于是为第三象限角为第三象限角 可以把求任意角的三角函数值可以把求任意角的三角函数值.转化为求转化为求0 到到2(或或0至至360)角的三角函数值角的三角函数值. 7.终边相同的角的同一种三角函数值相等终边相同的角的同一种三角函数值相等 sin2sin cos2cos tan2tan . k k k kZ 其中 诱导公式一诱导公式一 角角终边每终边每 绕原点旋转绕原点旋转 一周一周,函数值函数值 将重

8、复出现将重复出现 例例4 4 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号, ,然后用计算器然后用计算器 验证验证: : 1 cos250 ; 2 sin; 4 3 tan672; 4 tan3 . 解解:(1)因为因为250是第是第_象限角象限角,所以所以cos250 0 (2)因为因为 是第是第_象限角象限角,所以所以 (3)因为因为tan(-670)=tan(48-2360)=tan48 而而48是第一象限角是第一象限角,所以所以 tan(-672) 0 (4)因为因为tan3=tan(+2)=tan=0 三三 4 sin 0 4 四四 练练 例例5 5 求下列三角函数值求下列三角函

9、数值 911 1 sin148010 ; 2 cos; 3 tan. 46 : 1 sin148010 解 sin 40104 360 sin4010 0.6451 9 2 cos 4 cos2 4 2 cos 42 11 3 tan 6 tan2 6 3 tan 63 练习练习1._tan600 o的 的值值是是D 3D 3C 3 3 B 3 3 A. ._, 0cossin在在则则若若 第第二二、四四象象限限 第第一一、四四象象限限 第第一一、三三象象限限 第第一一、二二象象限限 .D .C .B .A 练习练习2.B _ 0sin20cos 边边在在 的的终终则则若若 ，且且 第第二二象

10、象限限 第第四四象象限限 第第三三象象限限 第第一一象象限限 .D .C .B .A 练习练习3. C y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P 的的 终边终边 的的 终边终边 的的 终边终边 的的 终边终边 A(1,0) A(1,0) A(1,0) A(1,0) () ()() () 1.下面从图形角度下面从图形角度 认识一下三角函数认识一下三角函数 角角的终边与单位圆的终边与单位圆 交于点交于点P.过点过点P作作x轴轴 的垂线的垂线,垂足为垂足为M. |MP|=|y|=|sin| |OM|=|x|=|cos| 思考思考 (1)为了去掉上述等式中的绝对值

11、符号为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否能否 给线段给线段OM、MP规定一个适当的方向规定一个适当的方向,使它使它 们的取值与点们的取值与点P的坐标一致的坐标一致? |MP|=|y|=|sin| |OM|=|x|=|cos| 当角当角的终边不在坐标轴上时的终边不在坐标轴上时,以以O为始点、为始点、 M为终点为终点,规定规定: 当线段当线段OM与与x轴轴同向同向时时,OM的方向为的方向为正向正向, 且有且有正值正值x;当线段当线段OM与与x轴轴反向反向时时,OM的方向的方向 为为负向负向,且有且有负值负值x. OM=x=cos 当角当角的终边不在坐标轴上时的终边不在坐标轴上时,以以M为始点、为始

12、点、 P为终点为终点,规定规定: 当线段当线段MP与与y轴轴同向同向时时,MP的方向为的方向为正向正向, 且有且有正值正值y;当线段当线段MP与与y轴轴反向反向时时MP的方向为的方向为 负向负向,且有且有负值负值y. MP=y=sin (2)你能借助单位圆你能借助单位圆,找到一条如找到一条如OM、MP一一 样的线段来表示角样的线段来表示角的正切吗的正切吗? 思考思考 T T T y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P 的的 终边终边 的的 终边终边 的的 终边终边 的的 终边终边 A(1,0) A(1,0) A(1,0) A(1,0) () ()() (

13、) T 过点过点A(1,0)作单作单 位圆的切线位圆的切线,设它设它 与与的终边或其的终边或其 反向延长线相交反向延长线相交 于点于点T. tan MP OM ATy AT OAx 这三条与单位圆有关的有向线段这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、 AT,分别叫做角分别叫做角的的正弦线、余弦线、正切正弦线、余弦线、正切 线线,统称为统称为三角函数线三角函数线 y x T M O P 的的 终边终边 A(1,0) 当角当角的终边与的终边与x轴重合时轴重合时,正弦线、正切正弦线、正切 线线,分别变成一个点分别变成一个点,此时角此时角的的正弦值和正正弦值和正 切值都为切值都为0; 当角当角的终边与

14、的终边与y轴重合时轴重合时,余余 弦线变成一个点弦线变成一个点,正切线不存正切线不存 在在,此时角此时角的的正切值不存在正切值不存在. 例题例题 求证：当为锐角时，求证：当为锐角时， tansin 1.1.任意角的三角函数的定义。任意角的三角函数的定义。 2.2.明确各种三角函数的定义域。明确各种三角函数的定义域。 3.3.掌握各种三角函数在不同象限的正负掌握各种三角函数在不同象限的正负 情况情况. . 小结小结 单位圆单位圆：圆心在原点，半径等于单位长度单位长度 的圆。 三角函数线三角函数线：用有向线段的数量有向线段的数量来表示。 sin cos tan MP OM AT Ox y P M

15、A T 规律规律：三角函数线是：三角函数线是有向线段的数量有向线段的数量，要，要 分清分清起点、终点起点、终点。 1 1）凡含原点的线段，均以原点为起点；）凡含原点的线段，均以原点为起点； 2 2）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点 为起点；为起点； 3 3）正切线）正切线ATAT：起点：起点A A一定是单位圆与轴的一定是单位圆与轴的 非负半轴的交点，终点非负半轴的交点，终点T T为终边（或延长线）为终边（或延长线） 与过与过A A的圆的切线的交点的圆的切线的交点 作业作业 课本第课本第2020页习题页习题1.2A1.2A组组 2,5,72,5,7 练习练习

16、 利用三角函数的定义求利用三角函数的定义求 的三个三角函数值的三个三角函数值 7 6 31 , 22 y x A(1,0) 7 6 O 解解:如图如图 与单位圆的交点为与单位圆的交点为 7 6 31 , 22 71 sin 62 y 73 cos 62 x 73 tan 63 y x 返返 练习练习 已知角已知角的终边过点的终边过点P(-12,5),P(-12,5),求角求角的三的三 角函数值角函数值 解解: 2 222 12513rxy 5 sin 13 y r 12 cos 13 x r 5 tan 12 y x 返返 口答口答: 设设是三角形的一个内角是三角形的一个内角,在在sin, cos, tan, tan(/2)那些可能取负值那些可能取负值? 0, 0, 22 sin0,tan0 2 2 cos0,tan0 确定下列三角函数值的符号确定下列三角函数值的符号 1 sin156 16 2 cos 5 3 cos450 17 4 tan 8 4 5 sin 3 6 tan 556 0 cos 2cos0 55 cos450720cos2700 77 tan3tan0 88 42 sin2sin0 33 tan 360196sin1960 练习练习 返返 ta