椭圆的定义与性质

1、第五节 椭圆 【知识梳理】【知识梳理】 1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填 (1)(1)椭圆的定义椭圆的定义: : 条件条件结论结论1 1结论结论2 2 平面内的动点平面内的动点M M与平面内与平面内 的两个定点的两个定点F F1 1,F,F2 2 M M点的轨迹点的轨迹 为椭圆为椭圆 _为椭圆的焦点为椭圆的焦点 _为椭圆的焦距为椭圆的焦距 |MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2a|=2a 2a|F2a|F1 1F F2 2| | F F1 1,F,F2 2 |F|F1 1F F2 2| | (2)(2)椭圆的标准方程和几何性质椭圆的标准方程和几何性质: : 图

2、形图形 标准方程标准方程 _(ab0)_(ab0)_(ab0)_(ab0) 性性 质质 范围范围 _x_x_ _y_y_ _x_x_ _y_y_ 对称性对称性 对称轴对称轴:_:_ 对称中心对称中心:_:_ 22 22 xy 1 ab 22 22 yx 1 ab -b-bb b-a-aa a 坐标轴坐标轴 原点原点 -a-aa a-b-bb b 性性 质质 顶点顶点 A A1 1_,A_,A2 2_ B B1 1_,B_,B2 2_ A A1 1_,A_,A2 2_ B B1 1_,B_,B2 2_ 轴轴 长轴长轴A A1 1A A2 2的长为的长为2a2a 短轴短轴B B1 1B B2 2的

3、长为的长为2b2b 焦距焦距 |F|F1 1F F2 2|=2c|=2c 离心率离心率 e= _e= _ a,b,ca,b,c 的关系的关系 a a2 2=_=_ (-a,0)(-a,0)(a,0)(a,0) (0,-b)(0,-b)(0,b)(0,b) (0,-a)(0,-a)(0,a)(0,a) (-b,0)(-b,0)(b,0)(b,0) (0,1)(0,1) b b2 2+c+c2 2 c a 2.2.必备结论必备结论 教材提炼记一记教材提炼记一记 (1)(1)设椭圆设椭圆 =1(ab0)=1(ab0)上任意一点上任意一点P(x,y),P(x,y),则当则当x=0 x=0时时,|OP|

4、,|OP|有有 最小值最小值b,b,这时这时,P,P在短轴端点处在短轴端点处; ;当当x=x=a a时时,|OP|,|OP|有最大值有最大值a,a,这时这时,P,P在在 长轴端点处长轴端点处. . (2)(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形, ,其中其中a a 是斜边长是斜边长,a,a2 2=b=b2 2+c+c2 2. . (3)(3)已知过焦点已知过焦点F F1 1的弦的弦AB,AB,则则ABFABF2 2的周长为的周长为4a.4a. (4)(4)若若P P为椭圆上任一点为椭圆上任一点,F,F为其焦点为其焦点, ,则则a

5、-c|PF|a+c.a-c|PF|a+c. 22 22 xy ab 3.3.必用技法必用技法 核心总结看一看核心总结看一看 (1)(1)常用方法常用方法: :待定系数法求椭圆标准方程待定系数法求椭圆标准方程, ,定义法解决焦点三角形定义法解决焦点三角形 相关问题相关问题, ,点差法解决中点弦问题点差法解决中点弦问题. . (2)(2)数学思想数学思想: :数形结合思想、分类讨论思想与方程思想数形结合思想、分类讨论思想与方程思想. . 【小题快练】【小题快练】 1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判 (1)(1)平面内与两个定点平面内与两个定点F F1 1,F,F2 2的距离之和

6、等于常数的点的轨迹是椭圆的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. . ( () ) (2)(2)椭圆上一点椭圆上一点P P与两焦点与两焦点F F1 1,F,F2 2构成构成PFPF1 1F F2 2的周长为的周长为2a+2c(2a+2c(其中其中a a为为 椭圆的长半轴长椭圆的长半轴长,c,c为椭圆的半焦距为椭圆的半焦距).).( () ) (3)(3)椭圆的离心率椭圆的离心率e e越大越大, ,椭圆就越圆椭圆就越圆. .( () ) (4)(4)椭圆既是轴对称图形椭圆既是轴对称图形, ,又是中心对称图形又是中心对称图形. .( () ) 【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .由椭圆的定义知由

7、椭圆的定义知, ,当该常数大于当该常数大于|F|F1 1F F2 2| |时时, ,其轨迹才其轨迹才 是椭圆是椭圆, ,而常数等于而常数等于|F|F1 1F F2 2| |时时, ,其轨迹为线段其轨迹为线段F F1 1F F2 2, ,常数小于常数小于|F|F1 1F F2 2| |时时, ,不不 存在图形存在图形. . (2)(2)正确正确. .由椭圆的定义得由椭圆的定义得,|PF,|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|=2a, 又又|F|F1 1F F2 2|=2c,|=2c,所以所以|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|+|F|+|F1 1F F2 2|=2a+2c.

8、|=2a+2c. (3)(3)错误错误. .因为因为 所以所以e e越大越大, ,则则 越小，椭圆越小，椭圆 就越扁就越扁. . (4)(4)正确正确. .由椭圆的对称性知由椭圆的对称性知, ,其关于原点中心对称其关于原点中心对称, ,也关于两坐标轴也关于两坐标轴 对称对称. . 答案：答案：(1)(1) (2) (3) (2) (3) (4) (4) 22 2 cabb e1 ( ) , aaa b a 2.2.教材改编教材改编 链接教材链接教材 练一练练一练 (1)(1)(选修选修1-1P291-1P29练习练习2T32T3改编改编) )过点过点P(0, )P(0, )与椭圆与椭圆 有相同

9、焦点的椭圆方程为有相同焦点的椭圆方程为_._. 【解析】【解析】依题意知椭圆焦点为依题意知椭圆焦点为( (4,0),4,0), 所以所以 所以所以a=6,a=6,所以所以b b2 2=36-16=20,=36-16=20, 所求椭圆方程为所求椭圆方程为 答案：答案： 2 5 22 xy 1 259 2222 2a4(2 5)( 4)(2 5)12, 22 xy 1. 3620 22 xy 1 3620 (2)(2)(选修选修1-1P331-1P33习题习题2-1A2-1A组组T6T6改编改编) )方程方程x x2 2+4y+4y2 2=4=4表示的椭圆的长表示的椭圆的长 轴、短轴、离心率分别是

10、轴、短轴、离心率分别是_._. 【解析】【解析】化方程为标准形式化方程为标准形式 则则a a2 2=4,a=2,b=1,c= ,=4,a=2,b=1,c= , 所以长轴所以长轴=4,=4,短轴短轴=2,=2,离心率离心率e= .e= . 答案：答案：4,2, 4,2, 2 2 x y1, 4 3 3 2 3 2 3.3.真题小试真题小试 感悟考题感悟考题 试一试试一试 (1)(2014(1)(2014大纲版全国卷大纲版全国卷) )已知椭圆已知椭圆C C： (a(ab b0)0)的左、右的左、右 焦点为焦点为F F1 1,F,F2 2，离心率为，离心率为 过过F F2 2的直线的直线l交交C C

11、于于A,BA,B两点，若两点，若AFAF1 1B B的的 周长为周长为 则则C C的方程为的方程为( )( ) 22 22 xy 1 ab 3 3 ， 4 3， 222 2 2222 xyx A.1B.y1 323 xyxy C.1D.1 128124 【解析】【解析】选选A.A.由椭圆的定义可知，由椭圆的定义可知，|AF|AF1 1|+|AF|+|AF2 2|=2a|=2a， |BF|BF1 1|+|BF|+|BF2 2|=2a,|=2a, 又因为又因为|AF|AF1 1|+|AF|+|AF2 2|+|BF|+|BF1 1|+|BF|+|BF2 2|=|= 即即4a= 4a= 解得解得 又又

12、 则则c=1c=1，b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=2=2， 所以椭圆的方程为所以椭圆的方程为 4 3, 4 3，a3. c3 a3 ， 22 xy 1. 32 (2)(2015(2)(2015西安模拟西安模拟) )如果方程如果方程x x2 2+ky+ky2 2=2=2表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆，轴上的椭圆， 那么实数那么实数k k的取值范围是的取值范围是. . 【解析】【解析】将椭圆方程化为将椭圆方程化为 =1=1， 因为焦点在因为焦点在y y轴上，所以轴上，所以 22，即，即k1k0k0，所以，所以0k1.0kb0)C: (ab0)的两个焦点的两个焦点,P,P为椭圆为椭

13、圆C C上的上的 一点一点, ,且且 若若PFPF1 1F F2 2的面积为的面积为9,9,则则b=b=. . 22 xy 1 2516 22 22 xy 1 ab 12 PFPF . 【解题提示】【解题提示】(1)(1)由椭圆的定义可知由椭圆的定义可知, ,ABFABF2 2的周长为的周长为4a=20,4a=20,然后利用然后利用 面积相等即面积相等即 (a+b+c)r= |F(a+b+c)r= |F1 1F F2 2|y|y1 1-y-y2 2|,(|,(其中其中r r为内切圆半径为内切圆半径) )解决解决. . (2)(2)注意到点注意到点P P为椭圆上的一点为椭圆上的一点, ,则有则有

14、|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|=2a,再利用再利用 求出求出|PF|PF1 1|PF|PF2 2|,|,进而可求得进而可求得b b值值. . 1 2 1 2 1 2 PFPF 【规范解答】【规范解答】(1)(1)ABFABF2 2的内切圆周长为的内切圆周长为,所以所以ABFABF2 2的内切圆的半的内切圆的半 径为径为 , ,又又ABFABF2 2的周长为的周长为4a=20,4a=20,所以所以ABFABF2 2的面积为的面积为 20=5,20=5,另另 一方面一方面ABFABF2 2的面积为的面积为 |F|F1 1F F2 2|y|y1 1-y-y2 2|,|,则则

15、|y|y1 1-y-y2 2|= |= 答案答案: : 1 2 1 2 1 2 1 2 2 55 . 2 33 5 3 (2)(2)由题意知由题意知|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a, |=2a, 所以所以|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2=|F=|F1 1F F2 2| |2 2=4c=4c2 2, , 所以所以(|PF(|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|)|)2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|=4c|=4c2 2, , 所以所以2|PF2|PF1 1|PF|PF2 2|=4a|=4a2 2-4c-4c2 2=4b=4b

16、2 2. . 所以所以|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=2b|=2b2 2, , 所以所以 = |PF= |PF1 1|PF|PF2 2|= |= 2b2b2 2=b=b2 2=9.=9. 所以所以b=3.b=3. 答案答案: :3 3 12 PFPF , 1 2 PFF S 1 2 1 2 【互动探究】【互动探究】将本例将本例(2)(2)中条件中条件“ ”“ ”“PFPF1 1F F2 2的面积为的面积为9”9” 分别改为分别改为“FF1 1PFPF2 2=60=60”“ ”,”“ ”,则结果如何则结果如何? ? 12 PFPF 1 2 PFF S3 3 【解析】【解析】由题意得由题意

17、得|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a,|=2a, 又又FF1 1PFPF2 2=60=60, , 所以所以|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|cos60|cos60=|F=|F1 1F F2 2| |2 2, , 所以所以(|PF(|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|)|)2 2-3|PF-3|PF1 1|PF|PF2 2|=4c|=4c2 2, , 所以所以3|PF3|PF1 1|PF|PF2 2|=4a|=4a2 2-4c-4c2 2=4b=4b2 2, , 所以所以|PF|PF1 1|PF|P

18、F2 2|= b|= b2 2, , 所以所以 所以所以b=3.b=3. 4 3 1 2 22 PFF12 11433 SPF PF sin 60bb3 3, 22323 【规律方法】【规律方法】 1.1.椭圆定义的应用范围椭圆定义的应用范围 (1)(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆. . (2)(2)解决与焦点有关的距离问题解决与焦点有关的距离问题. . 2.2.焦点三角形的应用焦点三角形的应用 椭圆上一点椭圆上一点P P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形焦点三角形”, , 利用定义可求其周长利用定

19、义可求其周长; ;利用定义和余弦定理可求利用定义和余弦定理可求|PF|PF1 1|PF|PF2 2|;|;通过整体通过整体 代入可求其面积等代入可求其面积等. . 【变式训练】【变式训练】(2015(2015南昌模拟南昌模拟) )已知已知P P是椭圆是椭圆 =1=1上一点上一点, , F F1 1,F,F2 2分别是椭圆的左、右焦点分别是椭圆的左、右焦点, ,若若FF1 1PFPF2 2=60=60, ,则则PFPF1 1F F2 2的面积的面积 为为_._. 22 xy 10036 【解析】【解析】根据椭圆的定义根据椭圆的定义, ,得得|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=20,|

20、=20, 在在PFPF1 1F F2 2中中, ,由余弦定理由余弦定理, , 得得|PF|PF1 1| |2 2+|PF+|PF2 2| |2 2-2|PF-2|PF1 1|PF|PF2 2|cos60|cos60=256.=256. 2 2- -得得|PF|PF1 1|PF|PF2 2|=48,|=48, 所以所以 答案答案: :12 12 1 2 PFF12 1 S|PF | |PF |sin 6012 3. 2 3 【加固训练】【加固训练】1.1.已知椭圆已知椭圆 +y+y2 2=1,F=1,F1 1,F,F2 2为其两焦点为其两焦点,P,P为椭圆上任一为椭圆上任一 点点, ,则则|PF

21、|PF1 1|PF|PF2 2| |的最大值为的最大值为( () ) A.6 B.4 C.2 D.8A.6 B.4 C.2 D.8 【解析】【解析】选选B.B.设设|PF|PF1 1|=m,|PF|=m,|PF2 2|=n,|=n,则则m+n=2a=4,|PFm+n=2a=4,|PF1 1|PF|PF2 2|=mn|=mn =4( =4(当且仅当当且仅当m=n=2m=n=2时时, ,等号成立等号成立).). 2 x 4 2 mn () 2 2.2.椭圆椭圆 +y+y2 2=1=1的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1,F,F2 2, ,过过F F1 1作垂直于作垂直于x x轴的直线轴

22、的直线 与椭圆相交与椭圆相交, ,一个交点为一个交点为P,P,则则|PF|PF2 2|=(|=() ) 2 x 4 73 A. B. C. 3 D.4 22 【解析】【解析】选选A.aA.a2 2=4=4，b b2 2=1=1，所以，所以a=2a=2，b=1b=1， 不妨设不妨设P P在在x x轴上轴上 方，则方，则F F1 1(- (- ，0)0)，设，设P(- P(- ，m)(mm)(m0)0)，则，则 解得解得m= m= ，所以，所以|PF|PF1 1|= |= ，根据椭圆定义：，根据椭圆定义：|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2a|=2a，所以，所以 |PF|PF2 2|

23、=2a-|PF|=2a-|PF1 1|=|= c3， 33 2 2 (3) m1 4 ， 1 2 1 2 17 2 2. 22 考点考点2 2 椭圆的标准方程与几何性质椭圆的标准方程与几何性质 【典例【典例2 2】(1)(1)已知点已知点P P在以坐标轴为对称轴的椭圆上在以坐标轴为对称轴的椭圆上, ,点点P P到两焦点的到两焦点的 距离分别为距离分别为 过点过点P P作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦 点点, ,则椭圆的标准方程为则椭圆的标准方程为. . 4 52 5 33 和， (2)(2014(2)(2014安徽高考安徽高考) )设设F F1 1,F,F2 2

24、分别是椭圆分别是椭圆E: (ab0)E: (ab0)的的 左、右焦点左、右焦点, ,过点过点F F1 1的直线交椭圆的直线交椭圆E E于于A,BA,B两点两点,|AF,|AF1 1|=3|F|=3|F1 1B|.B|. 若若|AB|=4,|AB|=4,ABFABF2 2的周长为的周长为16,16,求求|AF|AF2 2|.|. 若若cosAFcosAF2 2B= ,B= ,求椭圆求椭圆E E的离心率的离心率. . 22 22 xy 1 ab 3 5 【解题提示】【解题提示】(1)(1)考虑设出椭圆的标准方程考虑设出椭圆的标准方程, ,然后求参数然后求参数, ,注意由已知注意由已知 条件不能确定

25、焦点所在坐标轴条件不能确定焦点所在坐标轴, ,因此椭圆的标准方程有两种形式因此椭圆的标准方程有两种形式. . (2)(2)根据椭圆的定义及三角形的周长求解根据椭圆的定义及三角形的周长求解; ;由已知条件及椭圆定义由已知条件及椭圆定义 结合余弦定理、离心率的定义求解结合余弦定理、离心率的定义求解. . 【规范解答】【规范解答】(1)(1)设椭圆的标准方程是设椭圆的标准方程是 (ab0)(ab0) 或或 (ab0)(ab0)，两个焦点分别为，两个焦点分别为F F1 1，F F2 2，则由题意，知，则由题意，知 2a=|PF2a=|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2 ,|=2 ,所以所以a=

26、 .a= . 22 22 xy 1 ab 22 22 yx 1 ab 55 答案：答案： 222 22 222 22 2 2 2222 xyb 1xc,y. aba yxb 1yc,x. aba b2 510 b, a33 x3yy3x 11. 510510 在方程中，令得 在方程中，令得 依题意知，所以 即椭圆的方程为或 2222 x3yy3x 11 510510 或 【一题多解】【一题多解】解答本例解答本例(1)(1)还有如下方法还有如下方法: : 设椭圆的两个焦点分别为设椭圆的两个焦点分别为F F1 1,F,F2 2, , 不妨令不妨令|PF|PF1 1|= ,|PF|= ,|PF2 2

27、|= .|= . 由椭圆的定义由椭圆的定义, ,知知2a=|PF2a=|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=2 ,|=2 ,即即a= .a= . 由由|PF|PF1 1|PF|PF2 2| |知知,PF,PF2 2垂直于长轴垂直于长轴. . 故在故在RtRtPFPF2 2F F1 1中中,4c,4c2 2=|PF=|PF1 1| |2 2-|PF-|PF2 2| |2 2= = 4 5 3 2 5 3 55 60 , 9 所以所以c c2 2= ,= ,于是于是b b2 2=a=a2 2-c-c2 2= .= . 又所求椭圆的焦点可以在又所求椭圆的焦点可以在x x轴上轴上, ,也可以在也可

28、以在y y轴上轴上, ,故所求椭圆的方程故所求椭圆的方程 为为 答案答案: : 5 3 10 3 2222 x3y3xy 11. 510105 或 2222 x3y3xy 11 510105 或 (2)(2)由由|AF|AF1 1|=3|BF|=3|BF1 1|,|AB|=4,|,|AB|=4,得得|AF|AF1 1|=3,|BF|=3,|BF1 1|=1,|=1, 因为因为ABFABF2 2的周长为的周长为16,16, 所以由椭圆定义可得所以由椭圆定义可得4a=16,4a=16, |AF|AF1 1|+|AF|+|AF2 2|=2a=8,|=2a=8, 故故|AF|AF2 2|=2a-|AF

29、|=2a-|AF1 1|=8-3=5.|=8-3=5. 设设|BF|BF1 1|=k,|=k,则则k0,k0,且且|AF|AF1 1|=3k,|AB|=4k,|=3k,|AB|=4k, 由椭圆定义可得由椭圆定义可得|AF|AF2 2|=2a-3k,|BF|=2a-3k,|BF2 2|=2a-k,|=2a-k, 在在ABFABF2 2中中, ,由余弦定理可得由余弦定理可得 |AB|AB|2 2=|AF=|AF2 2| |2 2+|BF+|BF2 2| |2 2-2|AF-2|AF2 2|BF|BF2 2|cosAF|cosAF2 2B,B, 即即(4k)(4k)2 2=(2a-3k)=(2a-3

30、k)2 2+(2a-k)+(2a-k)2 2- (2a-3k)(2a-k),- (2a-3k)(2a-k), 化简可得化简可得(a+k)(a-3k)=0,(a+k)(a-3k)=0,而而a+k0,a+k0, 故故a=3k,a=3k,于是有于是有|AF|AF2 2|=3k=|AF|=3k=|AF1 1|,|BF|,|BF2 2|=5k,|=5k, 因此因此|BF|BF2 2| |2 2=|AF=|AF2 2| |2 2+|AB|+|AB|2 2F F1 1AFAF2 2A,A, 故故AFAF1 1F F2 2为等腰直角三角形为等腰直角三角形, , 从而从而 6 5 2c2 cae. 2a2 【易

31、错警示】【易错警示】本例本例(1)(1)中易得出中易得出 的错误结论的错误结论. . 其原因是没有注意到题目中没有指明椭圆焦点的位置其原因是没有注意到题目中没有指明椭圆焦点的位置, ,误认为焦点在误认为焦点在x x 轴上轴上, ,在解决与椭圆方程有关问题时在解决与椭圆方程有关问题时, ,如果题目中没有明确焦点位置如果题目中没有明确焦点位置, , 要注意分析题意或分类讨论要注意分析题意或分类讨论. . 22 x3y 1 510 【规律方法】【规律方法】 1.1.用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 (1)(1)作判断作判断: :根据条件判断椭圆的焦点在根据条件

32、判断椭圆的焦点在x x轴上轴上, ,还是在还是在y y轴上轴上, ,还是两个还是两个 坐标轴都有可能坐标轴都有可能. . (2)(2)设方程设方程: :根据上述判断设出方程根据上述判断设出方程. . (3)(3)找关系找关系: :根据已知条件根据已知条件, ,建立关于建立关于a,b,ca,b,c的方程组的方程组. . (4)(4)得方程得方程: :解方程组解方程组, ,将解代入所设方程将解代入所设方程, ,即为所求即为所求. . 2.2.求椭圆离心率的方法求椭圆离心率的方法 (1)(1)直接求出直接求出a,ca,c的值的值, ,利用离心率公式直接求解利用离心率公式直接求解. . (2)(2)列

33、出含有列出含有a,b,ca,b,c的齐次方程的齐次方程( (或不等式或不等式),),借助于借助于b b2 2=a=a2 2-c-c2 2消去消去b,b,转化转化 为含有为含有e e的方程的方程( (或不等式或不等式) )求解求解. . 提醒提醒: :当椭圆焦点位置不明确时当椭圆焦点位置不明确时, ,可设为可设为 (m0,n0,mn),(m0,n0,mn),也也 可设为可设为AxAx2 2+By+By2 2=1(A0,B0,=1(A0,B0,且且AB).AB). 22 xy 1 mn 【变式训练】【变式训练】如图如图, ,椭圆椭圆C: (ab0)C: (ab0)的左焦点为的左焦点为F F1 1,

34、 ,上顶点上顶点 为为B B2 2, ,右顶点为右顶点为A A2 2, ,过点过点A A2 2作作x x轴的垂线交直线轴的垂线交直线F F1 1B B2 2于点于点P,P,若若|PA|PA2 2|=3b,|=3b,则则 椭圆椭圆C C的离心率为的离心率为. . 22 22 xy 1 ab 【解析】【解析】由题意知由题意知 答案答案: : 21 212 B OFO PAFA ， 1 2 bc11 ,e. 3bac32 所以所以 【加固训练】【加固训练】已知椭圆已知椭圆 (ab0)(ab0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 F F1 1(-c,0)(-c,0)、F F2 2(c,0),(c,0

35、),若椭圆上存在点若椭圆上存在点P P使使 则则 该椭圆的离心率的取值范围为该椭圆的离心率的取值范围为. . 22 22 xy 1 ab 1 22 1 ac sin PFFsin PF F ， 【解析】【解析】依题意及正弦定理依题意及正弦定理, ,得得 ( (注意到注意到P P不与不与F F1 1F F2 2共线共线),), 答案：答案：( -1,1)( -1,1) 2 1 |PF |a |PF |c 2 2 22 2 PFa , 2aPFc 2ac2ac2a 1,1, PFaPFaac 2 e1,e12.0e121e1. 1e 即 所以所以 即所以又，因此 2 考点考点3 3 直线与椭圆的位

36、置关系直线与椭圆的位置关系 知知考情考情 直线与椭圆的综合问题是高考命题的一个热点问题直线与椭圆的综合问题是高考命题的一个热点问题, ,主要以解答主要以解答 题的形式出现题的形式出现, ,考查椭圆的定义、几何性质、直线与椭圆的位置关系考查椭圆的定义、几何性质、直线与椭圆的位置关系, , 考查学生分析问题、解决问题的能力考查学生分析问题、解决问题的能力. . 明明角度角度 命题角度命题角度1:1:由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质 【典例【典例3 3】(2014(2014新课标全国卷新课标全国卷)设设F F1 1,F,F2 2分别是椭圆分别是椭圆C: C:

37、(ab0(ab0）的左）的左, ,右焦点右焦点,M,M是是C C上一点且上一点且MFMF2 2与与x x轴垂直轴垂直, ,直线直线MFMF1 1与与C C的另的另 一个交点为一个交点为N.N. (1)(1)若直线若直线MNMN的斜率为的斜率为 , ,求求C C的离心率的离心率. . (2)(2)若直线若直线MNMN在在y y轴上的截距为轴上的截距为2,2,且且|MN|=5|F|MN|=5|F1 1N|,N|,求求a,b.a,b. 22 22 xy 1 ab 3 4 【解题提示】【解题提示】(1)(1)将将M,FM,F1 1的坐标都用椭圆的基本量的坐标都用椭圆的基本量a,b,ca,b,c表示表示

38、, ,由斜率由斜率 条件可得到条件可得到a,b,ca,b,c的关系式的关系式, ,然后由然后由b b2 2=a=a2 2-c-c2 2消去消去b b2 2, ,再再“两边同除以两边同除以 a a2 2”,”,即得到离心率即得到离心率e e的二次方程的二次方程, ,由此解出离心率由此解出离心率. . (2)(2)利用利用“MFMF2 2yy轴轴”及及“截距为截距为2”,2”,可得可得y yM M= =4,= =4,然后利用然后利用 |MN|=5|F|MN|=5|F1 1N|N|及焦半径公式即可求出及焦半径公式即可求出a,ba,b的值的值. . 2 b a 【规范解答】【规范解答】(1)(1)因为

39、由题知，因为由题知， 又又a a2 2=b=b2 2+c+c2 2. .联立整理得：联立整理得：2e2e2 2+3e-2=0+3e-2=0， 解得解得e= .e= .所以所以C C的离心率为的离心率为 . . 2 2 1 2 |MF |3b13 , |FF |4a 2c4 ，所以 1 2 1 2 (2)(2)由三角形中位线知识可知，由三角形中位线知识可知，|MF|MF2 2|=2|=22 2，即，即 =4.=4. 设设|F|F1 1N|=m,N|=m,由题可知由题可知|MF|MF1 1|=4m.|=4m.由两直角三角形相似，可得由两直角三角形相似，可得M,NM,N两点两点 横坐标分别为横坐标分

40、别为c,- c.c,- c.由焦半径公式可得由焦半径公式可得: : |MF|MF1 1|=a+ec,|NF|=a+ec,|NF1 1|=a+e(- c)|=a+e(- c)，且，且|MF|MF1 1|NF|NF1 1|=41,|=41, 2 b a 3 2 3 2 2 222 cb e,abc ,4.a7,b2 7. aa 联立解得 命题角度命题角度2:2:由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质 【典例【典例4 4】(2014(2014天津高考天津高考) )设椭圆设椭圆 =1(ab0)=1(ab0)的左、右焦点的左、右焦点 为为F F1 1,F,F2 2, ,

41、右顶点为右顶点为A,A,上顶点为上顶点为B.B.已知已知|AB|= |F|AB|= |F1 1F F2 2|.|. (1)(1)求椭圆的离心率求椭圆的离心率. . (2)(2)设设P P为椭圆上异于其顶点的一点为椭圆上异于其顶点的一点, ,以线段以线段PBPB为直径的圆经过点为直径的圆经过点F F1 1, , 经过原点经过原点O O的直线的直线l与该圆相切与该圆相切, ,求直线求直线l的斜率的斜率. . 22 22 xy ab 3 2 【解题提示】【解题提示】(1)(1)根据根据|AB|= |F|AB|= |F1 1F F2 2| |及及a a2 2=b=b2 2+c+c2 2求离心率求离心率

42、. . (2)(2)以以PBPB为直径的圆经过点为直径的圆经过点F F1 1等价于等价于 【规范解答】【规范解答】(1)(1)设椭圆的右焦点设椭圆的右焦点F F2 2的坐标为的坐标为(c,0).(c,0). 由由|AB|= |F|AB|= |F1 1F F2 2| |，可得，可得a a2 2+b+b2 2=3c=3c2 2， 又又b b2 2=a=a2 2c c2 2，则，则 所以，椭圆的离心率所以，椭圆的离心率 3 2 11 PFBF. 3 2 2 2 c1 . a2 2 e. 2 (2)(2)由由(1)(1)知知a a2 2=2c=2c2 2，b b2 2=c=c2 2. . 故椭圆方程为

43、故椭圆方程为 设设P(xP(x0 0,y,y0 0).).由由F F1 1( (c,0)c,0)，B(0,c)B(0,c)，有，有 =(x=(x0 0+c,y+c,y0 0) )， =(c,c).=(c,c). 由已知，有由已知，有 即即(x(x0 0+c)c+y+c)c+y0 0c=0.c=0.又又c0c0，故有，故有 x x0 0+y+y0 0+c=0.+c=0. 又因为点又因为点P P在椭圆上，故在椭圆上，故 22 22 xy 1. 2cc 1 FP 1 FB 11 FP FB0 ， 22 00 22 xy 1. 2cc 由由和和可得可得3x3x0 02 2+4cx+4cx0 0=0.=

44、0.而点而点P P不是椭圆的顶点，故不是椭圆的顶点，故 代入代入得得y y0 0= = 即点即点P P的坐标为的坐标为 设圆的圆心为设圆的圆心为T(xT(x1 1,y,y1 1) )，则，则 进而圆的半径进而圆的半径 设直线设直线l的斜率为的斜率为k k，依题意，直线，依题意，直线l的方程为的方程为y=kx.y=kx. 0 4c x 3 ， c 3， 4c c , ). 3 3 ( 11 4c c0c 22 33 xcyc 2323 ， 22 11 5 r(x0)(yc)c. 3 由由l与圆相切，可得与圆相切，可得 即即 整理得整理得k k2 28k+1=08k+1=0，解得，解得k=4k=4

45、 . . 所以，直线所以，直线l的斜率为的斜率为4+ 4+ 或或4 4 . . 11 2 |kxy | r k1 ， 2 2c2c |k()| 5 33 c 3 k1 ， 15 1515 悟悟技法技法 1.1.直线与椭圆位置关系判断的步骤直线与椭圆位置关系判断的步骤 (1)(1)联立直线方程与椭圆方程联立直线方程与椭圆方程. . (2)(2)消元得出关于消元得出关于x(x(或或y)y)的一元二次方程的一元二次方程. . (3)(3)当当00时时, ,直线与椭圆相交直线与椭圆相交; ;当当=0=0时时, ,直线与椭圆相切直线与椭圆相切; ;当当0b0)(ab0)的离心率为的离心率为e= e= ，

46、 直线直线l:y=x+2:y=x+2和圆和圆O O：x x2 2+y+y2 2=b=b2 2相切相切. . (1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程. . (2)(2)过椭圆过椭圆C C的左顶点作直线的左顶点作直线m,m,与与O O相交于两点相交于两点R R，S S，已知，已知ORSORS的面积的面积 为为 ，求直线，求直线m m的方程的方程. . 22 22 xy 1 ab 3 3 3 2 【解析】【解析】(1)(1)由直线由直线l:y=x+2:y=x+2和圆和圆O O：x x2 2+y+y2 2=b=b2 2相切得相切得 解得解得b= .b= . 又又 即即 得得a a2 2=3=3，故

47、椭圆，故椭圆C C的方程为：的方程为： 002 b 2 ， 2 c3 e a3 ， 2 2 a21 a3 ， 22 xy 1. 32 (2)(2)方法一：由方法一：由(1)(1)知：左顶点知：左顶点A(- ,0)A(- ,0)，依题意知，直线，依题意知，直线m m的斜率存的斜率存 在且不为在且不为0 0，设直线，设直线m m的方程为：的方程为：y=k(x+ )(k0)y=k(x+ )(k0)，所以圆心，所以圆心O(0O(0，0)0) 到直线到直线m m的距离的距离 因为直线因为直线m m与圆与圆O O相交，所以相交，所以dd r= r= ，即，即 解得解得k k2 222且且k0k0，直线，直线m m与圆与圆O O相交所得的弦长相交所得的弦长 3 3 22 003k3k d k1k1 ， 2 2 3k 2 k1 ， 22 22 2 2 3k2 2k RS2 rd2 2 k1 k1 ， 所以所以 解得解得k k2 2=1=1或或k k2 2= = ， 均适合均适合k k2 220,y0,y0 00).0). 则切线斜率为则切线斜率为- ,- ,切线方程为切线方程为y-yy-y0 0=- (x-x=- (x-x0 0),), 即即x x0 0 x+yx+y0 0y=