cy第2章随机变量及其分布

1、1 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 关键词：关键词： 随机变量随机变量 概率分布函数概率分布函数 离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量 随机变量的函数随机变量的函数 2 1 1 随机变量随机变量 常见的两类试验结果：常见的两类试验结果： 示数的示数的降雨量；降雨量； 候车人数；候车人数； 发生交通事故的次数发生交通事故的次数 示性的示性的明天天气（晴，云明天天气（晴，云）；）； 化验结果（阳性，阴性）化验结果（阳性，阴性） 3 e s X 中心问题：将试验结果数量化中心问题：将试验结果数量化 X=X(e)为为S上的单值函数，上的单值函数，X为实数为实数.

2、4 例例1：任意投掷两骰子，研究两骰子之和。：任意投掷两骰子，研究两骰子之和。 则则S= (1,1), (1,2), (1,6), (2,1), (2,2), (6,6) 共共36个样本点个样本点 A=两骰子之和为两骰子之和为7= (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2),(6,1) 若设两骰子之和为若设两骰子之和为X，则则X=7= (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2),(6,1) , 并且可方便列出其他值及概率。并且可方便列出其他值及概率。 23456789101112 12345654321 36 3636 3636363636363

3、636 X P 5 , ( ) ( ) Se XX e XX e 定定义义：设设随随机机试试验验的的样样本本空空间间为为若若 为为定定义义在在样样本本空空间间上上的的实实值值 单单值值函函数数，则则称称为为随随机机变变量量。 常见的两类随机变量常见的两类随机变量 离散型的离散型的 连续型的连续型的 , ,X Y Z 一一般般采采用用大大写写英英文文字字母母来来表表示示随随机机变变量量 引引入入随随机机变变量量的的目目的的是是用用来来描描述述随随机机现现象象 6 2 2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 定义：随机变量的取值是有限个或可列无限个，称为定义：随机变量的取值是有限个或可列

4、无限个，称为离散型离散型 随机变量或称为离散量。随机变量或称为离散量。 离散量的概率分布离散量的概率分布( (分布律分布律) )形如形如: : 1 0,1 ii i pp 样本空间样本空间S X=x1，X=x2，X=xn， 由于样本点两两不相容，所以：由于样本点两两不相容，所以： 11 1( )() ii ii P SP Xxp P 1 x 2 x i x 1 p 2 p i p X 1 2 、写写出出所所有有可可能能取取值值样样本本点点 概概率率分分布布律律 、写写出出相相应应的的概概率率每每一一个个样样本本点点出出现现的的概概率率 7 例例1：实验室共有：实验室共有40台仪器，其中台仪器，

5、其中5台不能正台不能正 常工作。某班实验课随机取其中的常工作。某班实验课随机取其中的10 台做实验，求取到的不能正常工作的仪台做实验，求取到的不能正常工作的仪 器台数器台数X的分布律。的分布律。 解：X的分布律为： ()P Xk 10 40 C 10 535 kk C C 0,1,5k 8 例例2：射击进行到目标被击中或：射击进行到目标被击中或4发子弹用完为发子弹用完为 止。如果每次射击的命中率都是止。如果每次射击的命中率都是0.4，求，求 总射击次数总射击次数X的分布律。的分布律。 1 2 3 4X解解： 的的可可能能取取值值为为 ， 11 ()(10.4)*0.40.6*0.4 ,1,2,

6、3 kk P Xkk 3 (4)(1 0.4) *0.4P X 4 (1 0.4) 3 0.6 23 1234 0.40.6*0.4 0.6 *0.40.6 X P 9 例例3：设随机变量：设随机变量X具有分布律具有分布律 P(X=k) = ak ， k=1,2,3,4,5 (1)求a (2) P(0.5X0, q0) ) 则称则称X服从参数为服从参数为p的的0-1分布，或两点分布，或两点 分布分布. 若若X的分布律为：的分布律为： 一、一、01分布分布 11 0-10-1分布律还可以写为分布律还可以写为 0 1( ) (1, ) Xp XBp 或 或 1 ()(1),0,1. kk P Xk

7、ppk 12 用途：对于一个随机试验，如果它的样本用途：对于一个随机试验，如果它的样本 空间只包含两个元素，即空间只包含两个元素，即 ，我，我 们总能在们总能在S上定义一个服从上定义一个服从（0 01 1）分布）分布 的随机变量。的随机变量。 12 ,Se e 1 2 0, ( ) 1,. e XX e e 当e 当e 来描述这个随机试验的结果。来描述这个随机试验的结果。 13 2 , (0)9,(1)38 ? X P Xcc P Xc c 1 01例例 ： 已已知知的的可可能能取取值值 与与并并且且 那那么么 2 938ccc（）（） 1/3 2/3 c 2 2/3910/31 1/3 =

8、ccc c 时时，不不合合要要求求 解：由概率的性质解：由概率的性质： =1 (31)(32)0cc 14 一个随机试验一个随机试验,设设A是一随机事件是一随机事件,且且P(A)=p, (0p1). 若仅考虑事件若仅考虑事件A是否发生是否发生, 则可定则可定 义一个服从参数为义一个服从参数为p的的 0-1分布的随机变量分布的随机变量: 1, 0,. A X AA 若 发生 若 不发生(即 发生) 来描述这个随机试验的结果。来描述这个随机试验的结果。只有两个只有两个 可能结果的试验，称为可能结果的试验，称为贝努里试验贝努里试验。 15 二、二项分布二、二项分布 即每次试验结果即每次试验结果 互不

9、影响互不影响 在相同条件下在相同条件下 重复进行重复进行 n重贝努利试验：设试验重贝努利试验：设试验E只有两个可能的只有两个可能的 结果：结果： , ,P( (A) )=p,0,0p1,1,将将E独立独立地地 重复重复进行进行n次，则称这一串次，则称这一串的的试验试验 为为n重重贝努利试验贝努利试验。 与AA 16 ( ) 1 =1 2 n AAP A 例例 ： 独独立立重重复复地地抛抛 次次硬硬币币，每每次次只只有有两两个个可可能能 的的结结果果：正正面面,反反面面, , , nA A A P A 21 1 6 例例 ： 将将一一颗颗骰骰子子抛抛 次次，设设得得到到 点点 ， 则则每每次次试

10、试验验只只有有两两个个结结果果： , , nA A AP A 352 1 2 例例 ： 从从张张牌牌中中有有放放回回地地取取 次次，设设取取到到红红牌牌 ， 则则每每次次只只有有两两个个结结果果：而而且且 n Ak 现现在在要要计计算算在在以以上上的的 次次重重复复的的独独立立试试验验中中，事事件件 恰恰好好发发生生了了 次次的的概概率率。 17 设在设在n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生发生X次，则次，则 并称并称X服从参数为服从参数为p的二项分布，记的二项分布，记 ()(1)( ) 01 kkn k nn P XkC ppP kkn 记作 ， ，, ()XB np， 3 123

11、(0)()(1)P XP AA Ap 3 123 (3)()P XP A A Ap 223 2 1231231233 (2)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp 113 1 1231231233 (1)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp ()(1),0,1,2, kkn k n P XkC ppkn 一般 0 1() 1 n nkkn k n k pqC p qqp 注：其中 推导：设推导：设Ai=第第i次次A发生发生 ，先设，先设n=3 18 例例4 4：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过要经过8

12、8个独立的交通灯，设各灯工作独个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为立，且设各灯为红灯的概率为0.6，以，以X表示表示 一路上遇到红灯的次数。求一路上遇到红灯的次数。求X的概率分布律的概率分布律. . (8,0.6)XB 8 8 ()0.6 0.4, 0,1,2,8 kkk P XkCk 解：这是解：这是8 8重贝努利试验重贝努利试验 012345678 0.007 0.0079 0.0413 0.1239 0.23220.2090 0.0890.2786 0.68701 X P (1)(1)(1)1.npXnpnp一一般般，当当是是整整数数时时， 最最可可能能取取值值是是及

13、及 (1)(1).npXnp当当不不是是整整数数时时， 最最可可能能取取值值是是的的整整数数值值 (1).=5.45.45npX本本例例中中不不是是整整数数， 最最可可能能取取值值是是的的整整数数值值 19 二项分布与二项分布与0-1分布的关系分布的关系 设设X为二项分布中对应的随机变量，即：在为二项分布中对应的随机变量，即：在n 次试验中次试验中A发生的总次数。记发生的总次数。记 p=P(A) 12 1, 0, , i n iA X iA XXX 第 次试验中发生 设 第 次试验中 不发生 是独立的随机变量 12n XXXX则 ( , )(1, ) i XB n pXBp其中， 20 例例5

14、 5：某人独立射击：某人独立射击n次，设每次命中率为次，设每次命中率为p， 0p1，设命中设命中X次，次，(1) (1) 求求X X的概率分布的概率分布 律；律；(2) (2) 求至少有一次命中的概率。求至少有一次命中的概率。 ( ,)Xb n p 1 ()(1) 0,1, kknk n P XkC ppkn ， 2 (1)1(0)1 (1)nP XP Xp (1)1 n lim P X 解：这是解：这是n重贝努利试验重贝努利试验 同时可知：同时可知： 上式的意义为：若上式的意义为：若p较小但较小但p0,0,只要只要n充分大，至充分大，至 少有一次命中的概率很大。即少有一次命中的概率很大。即“

15、小概率事件小概率事件”在在 大量试验中大量试验中“至少有一次发生至少有一次发生”几乎是必然的。几乎是必然的。 21 例例6 6：某娱乐场提供玩客一项活动，玩客可以任选一种某娱乐场提供玩客一项活动，玩客可以任选一种 以下的玩法，如果要你选，你选哪种以下的玩法，如果要你选，你选哪种? (1). 投投1只骰子只骰子 4次，若能得次，若能得“6”点就算赢点就算赢 (2). 投投2只骰子只骰子24次，若能得双次，若能得双“6”点就算赢点就算赢 ( )1/6P A 则 (1)设设A=“任投一次得任投一次得6点点”，X表示表示4次投掷中得次投掷中得“6点点”的次数的次数 (4,1/6)XB (24,1/36

16、)YB (2)设设A事件同上，事件同上，Y表示表示24次投掷中得双次投掷中得双“6点点”的次数的次数 ( )1/36P A 则 (1)1(0)P XP X 04 0 4 11/61 1/60.5177C (1) 1(0)P YP Y 024 0 24 11/3635/360.4991C 因此应选（因此应选（1） 22 例例7：一口袋中有：一口袋中有10个球，其中个球，其中4红红6白，若从中任取白，若从中任取 三只，问恰有一只红球的概率三只，问恰有一只红球的概率 多少？多少？ 12 46 3 10 1 ( ) 2 C C P B C 用用超超几几何何分分布布概概率率公公式式： 解：不放回取球时，

17、各次取球不独立解：不放回取球时，各次取球不独立 4656456541 ( ) 1098109810982 P B 用用分分步步法法： 红红 白白 白白 白白 红红 白白 白白 白白 红红 放回取球时，各次取球独立，可用二项分布放回取球时，各次取球独立，可用二项分布 设设A=“任取一球为红球任取一球为红球”，P(A)=0.4 X表示所取三只球中红球的只数表示所取三只球中红球的只数 (3,0.4)XB则 12 3 ( )(1)0.4 0.60.432P BP XC ( )P B 23 例例8 8：设有：设有8080台同类型设备，各台工作是相互独台同类型设备，各台工作是相互独 立的，发生故障的概率都

18、是立的，发生故障的概率都是0.010.01，且一，且一 台设备的故障只能由一个人来处理。台设备的故障只能由一个人来处理。 现现考虑两种配备维修工人的方案，考虑两种配备维修工人的方案， 其一是由其一是由3 3个人共同维护个人共同维护8080台；台； 其二是由其二是由4 4个人维护，每人负责个人维护，每人负责2020台。台。 试比较这两种方案在设备发生故障时不能试比较这两种方案在设备发生故障时不能 及时维修的概率的大小。及时维修的概率的大小。 24 3 80 80 0 410.010.990.0087 kk k k P XC 80X以以 记记台台中中同同一一时时刻刻发发生生故故障障的的台台数数，

19、X 则则80,0.01B 80故故台台中中发发生生故故障障而而不不能能及及时时维维修修的的概概率率为为： 解：第一种方案解：第一种方案(由由3个人共同维护个人共同维护80台台) 25 1234 ?P AAAA 20,0.01 ,YB则则故故有有： 1 2101P AP YP YP Y 00201119 2020 1*0.01 *0.99*0.01 *0.990.0169CC 4 1234 1 (1 0.0169)0.0659P AAAA 即即有有： 第二种方案第二种方案(由由4个人维护，每人负责个人维护，每人负责20台台) 以以Y记记“第一个人所维护的第一个人所维护的20台机器中同时发生故障的

20、台数台机器中同时发生故障的台数” 以以Ai记记“第第i个人所维护的个人所维护的20台中发生了故障，不能及时维修台中发生了故障，不能及时维修” 则则80台机器中发生故障不能及时维修的概率为台机器中发生故障不能及时维修的概率为： 1234 1()P A A A A 4 1 1 ,P A 26 0.0659 0.0087 . 第第二二种种方方案案的的不不能能及及时时维维修修的的概概率率（） 大大于于第第一一种种方方案案的的概概率率（） 1 0.0169 0.0087 . P A甚甚至至第第二二种种方方案案中中都都大大于于第第一一种种 方方案案的的概概率率（） 方案结果比较方案结果比较 方案一：由方案

21、一：由3个人共同维护个人共同维护80台台 方案二：由方案二：由4个人维护，每人负责个人维护，每人负责20台台 27 例例9 9：某单位在进货时，一般从一大批产品中任取：某单位在进货时，一般从一大批产品中任取1010件，件， 若其中次品数不多于一件，则接受该批产品现若其中次品数不多于一件，则接受该批产品现 有一大批产品其次品率为有一大批产品其次品率为0.05 ，则在以上验收方，则在以上验收方 案下产品能被接受的概率案下产品能被接受的概率P(B)是多少？是多少？ 分析：题中没有说明总的产品数、抽检时是否放回。分析：题中没有说明总的产品数、抽检时是否放回。 许多情况下的抽检时是不放回的，如果产品总许

22、多情况下的抽检时是不放回的，如果产品总 数是数是100100，那么次品数为，那么次品数为5 5，正品为，正品为95.95. 01019 595595 1010 100100 ( ) C CC C P B CC 但是，现在产品总数并不知道！但是，现在产品总数并不知道！ 平平均均值值 28 例例9 9：某单位在进货时，一般从一大批产品中任取：某单位在进货时，一般从一大批产品中任取1010件，件， 若其中次品数不多于一件，则接受该批产品现若其中次品数不多于一件，则接受该批产品现 有一大批产品其次品率为有一大批产品其次品率为0.05 ，则在以上验收方，则在以上验收方 案下产品能被接受的概率案下产品能被

23、接受的概率P(B)是多少？是多少？ 分析：注意到本题的产品数很多，所以可作近似处理：分析：注意到本题的产品数很多，所以可作近似处理： 1 1、可以认为、可以认为抽检时，产品是一件一件抽取的抽检时，产品是一件一件抽取的 2、每取出一件检验后，又放回、每取出一件检验后，又放回 结论：经以上可作近似处理后：可以把抽取结论：经以上可作近似处理后：可以把抽取1010件产品检验件产品检验 看作是做了看作是做了1010次独立试验。为此，次独立试验。为此， A 设设任任取取一一件件产产品品为为次次品品10X表表示示件件品品中中的的次次品品数数 (10,0.05)XB则则 ( )(0)(1)P BP XP X

24、0010119 1010 0.05 0.950.05 0.95CC 29 () kn k sm s n m ms C C nkP Xk C 设设一一口口袋袋共共有有 只只元元件件，其其中中 只只正正品品，则则不不放放回回 取取 只只元元件件中中有有 只只正正品品的的概概率率为为 超超几几何何分分 ， 此此式式即即为为的的布布概概率率公公式式。 , ( , ), () kn k kkn k sm s n n m sms mpq mm XB n p C C P XkC p q C 当当时时，记记，则则可可证证: : 近近似似服服从从二二项项分分布布即即 30 ,0npnp二二项项分分布布中中，设设

25、当当，时时， 1 () 0 ()(1) (1)(1) (1) ! 11 1 (1)(1) () (1) ! kkn k n kn k p n k kp n p k P XkC pp n nn k pp k k nn npp k e k ！ 31 三、泊松分布三、泊松分布(Poisson(Poisson分布分布) ) ()0,1,2,0 ( ) ! k P Xkek k X XX 若若随随机机变变量量 的的概概率率分分布布律律为为 称称 服服从从参参数数为为 的的泊泊松松分分布布，记记 ， 泊松分布的应用：泊松分布的应用： 教科书每页的错别字个数教科书每页的错别字个数(稀有事件稀有事件) 电话交

26、换台在一个时间间隔内收到的呼叫次数电话交换台在一个时间间隔内收到的呼叫次数 某路段单位时间内发生的交通事故数某路段单位时间内发生的交通事故数 车站某时段等车人数、每天进商场购物人数车站某时段等车人数、每天进商场购物人数 在一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计数在一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计数 器的粒子数器的粒子数 32 若若在在不不相相重重叠叠的的“时时间间”区区间间内内需需要要 “服服务务”的的“顾顾客客”数数相相互互独独立立，则则单单位位 “时时间间”内内需需要要服服务务的的“顾顾客客”数数往往往往可可 视视为为服服从从泊泊松松分分布布的的。 这这里里的的“时时间间”、

27、“服服务务”、“顾顾客客” 都都是是广广义义的的概概念念。 如如，单单位位时时间间内内商商品品销销量量；网网站站访访问问 人人数数；棉棉纱纱断断头头数数及及前前面面所所述述的的应应用用等等。 产产生生泊泊松松分分布布背背景景： 33 4.5 4.5 ()0,1,2, ! ()202 ! k r r x P Xkek k P XxeP r ， 可可查查表表（） 4.5 1 (2)1(0)(1) 1 (1 4.5)0.938901 P XP XP X e (2) 2 (2|2)0.1198 (2) P X P XX P X ( ) 4.5X ， 例例1 1：设某汽车停靠站候车人数：设某汽车停靠站候

28、车人数 (1)(1)求至少有两人候车的概率；求至少有两人候车的概率； (2)(2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。 解：解： (2)(2)(3) 0.9389010.826422 P XP XP X 其中 34 * *例例2 2：某商店每天的顾客数是随机变量：某商店每天的顾客数是随机变量 ，设每个进店购，设每个进店购 物的概率为物的概率为p p，顾客之间是否购物相互独立，求该店每天购物的，顾客之间是否购物相互独立，求该店每天购物的 顾客数（顾客数（Y）的概率分布律）的概率分布律。 ( )X (),0,1,2, ! n P Xnen n 其中：

29、 解：引起解：引起A=“Y=k”发生的前导事件组是发生的前导事件组是X=0，X=1，X=2等等 ()() () n k P YkP Xn P Yk Xn 由由全全概概率率公公式式： ( , )Y XnB n p ()(1),0,1,2, kkn kkkn k nn P Yk XnC ppC p qkn () ! n kkn k n n k P YkeC p q n ! !()! n kn k n k n ep q nk n k !()! kn k n k pq e kn k ,0,1,2, ! k p p ek k Yp ! k q p e e k 35 , 1 . 10,0.1, k n k

30、 kk n e np C pp k np np 记记当当 充充分分大大足足够够小小时时 ！ 即即认认为为可可用用泊泊松松分分布布近近似似二二项项分分布布 实实际际上上当当时时 就就可可用用 泊泊松松分分布布代代替替二二项项分分布布作作近近似似计计算算。 ， 有有 泊泊松松定定理理 36 ( )( ) 0 1 00 0 ()( ) ( )()() !(1)! kn n kn k x f xxxxx kn ff 0 0 ! 1 ! k k k k e k e k 012 111 0!1!2! x exxx 注： 0 xx其中 在 和 之间 234 1 1 1 xxxx x 2 2 11 1 23

31、(1)1 xx xx 37 几何分布几何分布 1 12 3 ()(1),1,2,3, ( ) k X P Xkppk Xp XG p pA A kk A 设设某某随随机机变变量量 的的可可能能取取值值是是 ， ， ， ，且且 则则称称随随机机变变量量 服服从从参参数数为为的的几几何何分分布布。 记记为为： 其其中中为为一一次次独独立立试试验验中中事事件件 发发生生的的概概率率， 是是分分布布的的一一个个参参数数。 几几何何分分布布反反映映了了直直到到事事件件 发发生生为为止止，所所做做的的试试验验 次次数数恰恰为为次次的的概概率率问问题题，也也即即反反映映了了直直到到第第次次才才 发发生生事事

32、件件 的的概概率率问问题题。 38 例例1 1：某人进行独立射击，每次命中率为：某人进行独立射击，每次命中率为p，射击直到命中，射击直到命中 目标为止时的射击次数为目标为止时的射击次数为X。求直到。求直到第第3 3次才命中的次才命中的 概率及概率及X的分布律。的分布律。 123123 (3)()() () ()P XP B B BP B P B P B 独独立立 2 (1)pp k一一般般，第第 次次才才命命中中的的概概率率为为： 121 121 1 ()() () ()() () (1)12 3, kk kk k P XkP B BBB P B P BP BP B ppk 独立 ， 1,2,

33、3,. ,() 12 i i Bii B BP Bp 解解：设设第第 次次命命中中目目标标 ， 则则相相互互独独立立 39 3 3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 , ( )() Xx F xP XxX 定定义义：随随机机变变量量对对任任意意实实数数称称函函数数 为为的的概概率率分分布布函函数数，简简称称分分布布函函数数。 4)()( )( )P aXbF bF a 1) ( )F x 是单调不减函数 ( )F x 的几何意义： x X ( )F x 的性质： 2) 0( )1 ()0()1F xFF ，且， 3) ( ),(0)( ).F xF xF x右连续 即 对于非离散型变量，由

34、于其不可列，故考虑区间上的概率对于非离散型变量，由于其不可列，故考虑区间上的概率 问题，注意到问题，注意到 aXbXbXa a b 40 例1： 解： 0 0 ( ) 01 1 1 x F xP Xxqx x p X01 qp (1)(1)P XP Xp (1) 1( )1P XpxF x比较与 当时， 1XF xP X 求 的概率分布函数及的值。 01 q 1 x F x (01)0PX注意： (01)(01 1 )(01)(1) 0PXPXXPXPXp p 不 相 容 (01)(1)(0) 1PXFFqp 右连续点 41 X一般地，设离散型随机变量 的分布律为 ，21kpxXP kk 的分

35、布函数为由概率的可列可加性得 X , 2 , 1,)( kk k xXPp kxxxF 其跳跃值为 处有跳跃，在分布函数 ( )() kk kk xxxx F xP XxP Xxp 42 0,1 0.2,12 ( ), 0.7, 24 1,4 (3), (0.53), (2), x x XF x x x P XPXP XX 例例2 2：设设 求求的的分分布布律律 (3)(3)P XF解解：0.7 (0.53)(3)(0.5)PXFF0.70.20.5 (2)1(2)1(2)(2)P XP XPXXP 1(2)(2)FP X 0.710.20.70.8 -124 43 0,1 0.2,12 (

36、), 0.7, 24 1,4 (3), (0.53), (2), x x XF x x x P XPXP XX 例例2 2：设设 求求的的分分布布律律 000 ()(0)(0) ( )1 2 4F P XxF xF x x 注注意意到到中中取取值值为为常常数数及及区区间间中中 其其实实，可可以以 、 明明 、 证证 上上有有等等号号 (1)( 1 0)( 1 0)0.200.2P XFF (2)0.70.20.5 (4)1 0.70.3 P X P X X整整理理得得 的的分分布布律律为为： X k P 124 0.20.50.3 44 lim( )01= x F xABA 解解：由由分分布布

37、函函的的性性：数质 ,0 ( ), 0,0 4 x ABex XF xA B x 设例例 ：求求 0 0 0(0)lim( )1 x FF xABeB ,0 ( ),(12)1 0,0 3 Ax x XF xAPXx x 例例 ：求求和和设 1= lim( )lim 1 xx Ax F xA x 数质解解：由由分分布布函函的的性性： 211 (12)(2)(1) 121 16 PXFF 45 4 4 连续型随机变量及其连续型随机变量及其概率密度概率密度 ( )( ) x F xf t dt 则称则称X为连续型随机变量为连续型随机变量. . ( )f xX X 其其中中称称为为 的的概概率率密密

38、度度函函数数， 简简称称也也称称 的的密密概概率率密密度度，度度函函数数。 ( ), ( ) XF x f xx 定定义义： 对对于于随随机机变变量量 的的分分布布函函数数若若存存在在 非非负负的的函函数数，使使对对于于任任意意实实数数 有有: : 46 ()( ), ,( ). P xXxxf xxXx x xxf xx 这这表表示示 落落在在点点 附附近近（的的概概率率近近似似等等于于 00 ()( )() ( )( ) xx F xxF xP xXxx f xF xlimlim xx ( )f x概概率率密密度度函函数数的的性性质质 1) ( )0f x + 2) ( )1f x dx

39、,() ( ) b a a bba P aXbf t dt 3 3) ) 对对于于任任意意的的实实数数 4)( ),( )( ) f xxFxf x在在的的连连续续点点 ( ),f xx即即在在的的连连续续点点有有： ( )yf x 1面积为 a b P aXb ()0P XC 47 12 12 1221 121221 1( ),( ) ( ),( ) ( )( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( ) F x F x f x f x Af x f xBf x F x Cf x F xDf x F xf x F x 例例：设设为为两两个个分分布布

40、函函数数，其其相相应应的的密密度度函函数数 是是连连续续函函数数，则则必必为为概概率率密密度度的的是是 ( )1f x dx 解解：任任何何密密度度函函数数均均应应有有 1221 ( )( )( )( )f x F xfx F x dx 12 ( )( )d F x F x 12 ( )( )1F x F x D选 121221 ( )( )( )( )( )( ) x F x F xf x F xfx F x dx 48 2 2 ,00.5 ( )66 ,0.51( ) 0, X xx f xxxF x 例例 ： 设设随随机机变变量量 的的密密度度函函数数为为 ，求求分分布布函函数数。 其其

41、他他 解解： 00.51 ( )f x参参考考的的分分段段情情况况 0 0 2 0 00.5 2 00.5 00 ,0 02,00.5 02(66 )632,0.51 1,1 x x dtx dttdtxx dttdtt dtxxx x - ( )=( ) x F xP Xxf t dt 49 2 ,0 ( ), 0,0 (1); (3)( ). 3 2 x ex Xf x x P XF x 例例 设设随随机机变变量量 有有密密度度函函数数：求求( (1 1) )常常数数 ； （ ）分分布布函函数数 (1)解：1( )f x dx 2 0 x edx 2 0 x edx 2 0 1 2 x d

42、e 2 0 1 | 2 x e 1 (01) 2 1 2 2 1 (2)(1)( )P Xf x dx 2 1 2 x edx 2 1 x de 22 1 | x ee 1 22 0 (1)1(1)12 x P XP Xedxe 或 2 2,0 ( ) 0,0 x ex f x x 50 2 ,0 ( ), 0,0 (1); (3)( ). 3 2 x ex Xf x x P XF x 例例 设设随随机机变变量量 有有密密度度函函数数：求求( (1 1) )常常数数 ； （ ）分分布布函函数数 ( )()( ) x F xP Xxf x dx (3) 注注意意到到被被积积函函数数是是分分段段的

43、的 0 0( )0,( )0 xf xF x当时， 0 0 0( )()( )( ) x xF xP Xxf t dtf t dt 当时， 0 2 0 02 x t dtedt 2 0 2 x t edt 2 0 x t de 22 0 |1 txx ee 2 1,0 ( ) 0,0 x ex F x x 51 2 4() 100 ,100 ( )5 0,100 (1)150 (2)150. X x f xx x 例例 ： 某某批批晶晶体体管管的的使使用用寿寿命命以以小小时时计计 具具有有密密度度函函数数 ， 任任取取其其中中 只只，求求： 使使用用最最初初小小时时内内，无无一一晶晶体体管管损

44、损坏坏的的概概率率； 使使用用最最初初小小时时内内，至至多多有有一一只只晶晶体体管管损损坏坏的的概概率率 解解： 150 (150)( )P Xf x dx 150 2 100 100 dx x 150 100 1001 | 3x 5150Y设设 为为任任取取 只只晶晶体体管管中中使使用用最最初初小小时时内内损损坏坏的的晶晶体体管管数数， 5 5 (5,1/3),()(1/3) (2/3) kkk YBP YkC 则则 05 0 5 12 (1)(0)0.1317 33 P YC 0514 01 55 1212 (2)(0)(1)+=0.4609 3333 P YP YCC 52 均匀分布 1

45、 ( , ) ( ) 0 ( , )( , ) , , xa b Xf xba Xa bXU a b a bXU a b 定定义义： 具具有有概概率率密密度度 其其他他 称称 在在上上服服从从均均匀匀分分布布，记记为为 而而在在上上服服从从均均匀匀分分布布，记记为为 f x 0 b xa 1 b a 几个重要的连续量几个重要的连续量 53 0 ( )( ) 1 x xa xa F xf t dtaxb ba xb F x 0 b xa 1 均匀分布的分布函数均匀分布的分布函数 54 均匀分布的性质均匀分布的性质 1 () s L s assLb L P sXsLdt baba 设 与与s无关无

46、关 1 , ( ) 0 xa b f xba 其他 55 例例1 1：在区间：在区间(-1,2)(-1,2)上随机取一数上随机取一数X ， (1)(1)试写出试写出X的概率密度；的概率密度； (2)(2)求求 的值；的值； (3)(3)若在该区间上随机取若在该区间上随机取1010个数，求个数，求1010个数中恰个数中恰 有有 两个数大于两个数大于0 0的概率。的概率。 1 , 12 ( )3 0, x f x 其他 2 (10, ) 3 YB 28 2 10 21 (2) 33 P YC (0)P X 解：解：(1)(1)X在区间在区间(-1,2)(-1,2)上均匀分布上均匀分布 (3)(3)

47、设设1010个数中有个数中有Y Y个数大于个数大于0 0，则：则： +2 00 12 (0)( ) 33 P Xf x dxdx 或 (0)P X -1012 (2) 202 2( 1)3 56 (0,),(0.5),(10.5)YUXP YP XY求 3 1 (0.5)() (0.5) i P YP Xi P YXi 321 1 2 *例例2：设：设X的分布律为：的分布律为： 解：解：Y的取值与的取值与X有关，把有关，把“Y0.5”作为一个事件，该事作为一个事件，该事 件与件与X=1，2，3事件有关。事件有关。 1111111 6234264 (1) (0.51)(1,0.5)1 (10.5

48、) (0.5)(0.5)3 P XPYXP XY P XY PYPY 由贝叶斯公式：由贝叶斯公式： 由全概率公式：由全概率公式： X 1 3 1 6 k P 57 0 ( ), 00 ( ) x ex Xf x x X XE 定定义义：设设 的的概概率率密密度度为为 其其中中0 0 为为常常数数，则则称称 服服从从参参数数为为 的的指指数数分分布布。 分分布布可可记记为为： 1 0 ( )( ) 0 0 x xex F xf t dt x 指数分布指数分布 应应用用：动动植植物物的的寿寿命命、电电器器的的寿寿命命分分布布等等。 1 0 ( ) 00 x ex f x x 注注意意: :有有的的

49、资资料料用用 表表示示参参数数! ! 58 0 00 0,0, (|) tt P Xtt Xt 设设 0 0 () () P Xtt P Xt 0 0 () 0 0 1()1(1) 1()1(1) tt t t F tte e F te ()P Xt 指数分布指数分布X的的具有无记忆性具有无记忆性 ()()P Xs XtP Xst也也可可写写为为： 00 ()() ()=P XttP Xt P Xt 无无记记忆忆性性可可写写为为： 10 ( ) 00 x ex F x x 59 0.1 0.1,0 ( ) 00 x ex f x x , 0.10.11 10 10 (1)(10)0.1() x

50、x P Xedxee 解： 1 ()(10)P AP Xep 1 (3,)YBe 111 2 3 (1)(1)P YC ee 1 (3)(15 1015)(10)P XXP Xe (2) 设A=“任取一只元件其寿命大于任取一只元件其寿命大于10小时小时” Y表示任取三只元件中寿命大于任取三只元件中寿命大于10小时的元件只数小时的元件只数 (3 110 210 31510 X例例 ：某某种种子子元元件件的的命命以以小小的的密密度度函函数数为为： （）求求任任取取一一只只元元件件其其命命大大于于小小的的概概率率 （ ）求求任任取取三三只只元元件件中中正正好好有有一一只只命命大大于于小小的的概概率率

51、 （ ）已已知知一一只只元元件件使使用用了了 小小未未坏坏，求求元元件件能能用用 小小的的概概率率 设电寿时计) ) 寿时 寿时 时该还时 60 1 ,0 4( ),0 0,0 1 (510),(20) 4 x ex Xf x x PXP X 例例 ：已已知知未未知知， 求求 510 11 (510) 4 10 5 x PXedxee 解解： 55 2 1 () 4 ee 即即： 5 1 2 =e 20 1 (20) 20 x P Xedxe 5 4 1 () 16 e 61 正态分布 X定定义义：设设 的的概概率率密密度度为为: : x 0 f x 2 ()( ,) 22 X GaussXN

52、 其其中中 , ,为为常常数数，称称 服服从从参参数数为为 , ,的的 正正态态分分布布分分布布 ， 记记为为 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xex ， 62 ( )1f x dx *验证： + ( )f x dx 2 2 t Iedt 记 2 21 2 x t t edt 令 2 2 1 2 t edt 22 () 2 2 xy Iedxdy 2 2 2 00 r dredr 2I ( )1f x dx 2 2 2 0 0 2 r e 63 1 ( )f xx 关于对称 0 f x 1 x 55 正正态态分分布布密密度度函函数数的的性性质质 0.5 1.0 f x x 1.5 0

53、.798 0.399 0.266 0 为为位位置置参参数数 决决定定对对称称轴轴位位置置为为尺尺度度参参数数 决决定定曲曲线线分分散散性性 max 1 2 ( )( ) 2 fxf 3lim( )0 x f x 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe 64 X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。的取值呈中间多，两头少，对称的特性。 当固定当固定时，时，越大，曲线的峰越低，落在越大，曲线的峰越低，落在 附近的概率越小，取值就越分散，附近的概率越小，取值就越分散， 是反映是反映X X的取值分散性的一个指标。的取值分散性的一个指标。 在自然现象和社会现象中，大量随机变量在自然现象和社会现象中

54、，大量随机变量 服从或近似服从正态分布。服从或近似服从正态分布。 65 (0 1) XNX记记， ，称称 服服从从标标准准正正态态分分布布 2 2 1 2 x Xxe 的的概概率率密密度度： 2 2 1 ( ) 2 t x Xxedt 的的分分布布函函数数： 1 ( )() xx xx ( )yx ( )x ()x 0 y x x x 200,(0)(1)(1.23)(3.3)(3.9)P查查表表： ( )0.975?cc反反查查表表： 若若，则则 0.50.84130.89071 1.96c ( )0.025?dd反反查查表表： 若若，则则 1.96d 0.9995 ()1( )10.025

55、0.9751.96ddd 或或：，则则 66 () 2 XNX 设设，即即 为为一一般般正正态态分分布布。 ()( )( )()() ba P aXbF bF a )(PxF xX t z 作作变变换换： 2 2 () 2 1 2 t x edt 22 22 11 ( ) 22 xxzz F xedzedz () x 2 ( ,),(0,1) X XNN 实实际际上上，若若则则 ()1() ,()() ab P XaP Xb 67 1(50100)(4562)(5010)XNPXP X例 ： 设，计算和 (4562)(62)(45)PXFF解： 62504550 ()() 1010 (1.2)

56、( 0.5) (1.2)1(0.5) 0.8849 1 0.69150.5764 (5010)(4060)P XPX 60504050 ()() 1010 (1)( 1) (1)1(1) 2(1) 1 2 0.8413 10.6826 68 12 12 2(40, 36) ()0.1401 ,()0.4483 XNxx P XxP Xx 例例 ：设设，求求 和和 使使 2 0.4483()P Xx 2 2 40 ()() 6 x F x (0)0.5 ,0.44830.5,而而在在正正态态分分布布表表上上无无法法查查到到. . 2 40 0 6 x 由由分分布布函函数数的的非非降降性性知知：

57、22 4040 ()1()10.44830.5517 66 xx 0.5517(0.13)0.5517依依概概率率查查正正态态分分布布表表得得： 2 40 =0.13 6 x 2 0.13 6+40=39.22x 1 0.14()P Xx解： 11 1()1( )P XxF x 1 40 1() 6 x 1 40 ()1 0.14010.8599 6 x 0.8599(1.08)0.8599依依概概率率查查正正态态分分布布表表得得： 1 40 =1.08 6 x 1 1.08 6+40=46.48x 69 例3： 2 ( ,)XN ()() (1)( 1)2(1) 10.6826 P XPX

58、(2 )2(2) 10.9544P X (3 )2 (3) 10.9974P X 查书后附表 99.74% 32 68.26% 23 95.44% 33法则：落在区域外的数据，被认为是异常数据。 70 例例4 4：一批钢材：一批钢材( (线材线材) )长度长度 (1)(1)若若=100=100，=2=2，求这批钢材长度小于求这批钢材长度小于97.8cm97.8cm 的概率；的概率；(2)(2)若若=100=100，要使这批钢材的长度至少要使这批钢材的长度至少 有有90%90%落在区间落在区间(97,103)(97,103)内，问内，问至多取何值？至多取何值？ 2 ( ,)XN (97.8)P

59、X 解：(1) 97.8 100 () 2 1(1.1) 1 0.86430.1357 查附表 = 9710390%PX(2) 令： 103 100971003 ()()2()190% 即 3 ()0.95 3 1.645 1.8237 ()cm 71 例例5：设某地区男子身高：设某地区男子身高 (1) 从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于 175cm175cm的概率；的概率；(2) 若从中随机找若从中随机找5个男子测身高个男子测身高,问至问至 少有一人身高大于少有一人身高大于175cm175cm的概率是多少？恰有一人身的概率是多少？恰有一人身

60、高高大于大于175cm175cm的概率为多少？的概率为多少？ 2 ()(169.7,4.1 )X cmN (175) P X 解解： (1) 5175(5, ), 0.0985 YcmYbp p 设设 人人中中有有 人人身身高高大大于于，则则 其其中中 (2) 175 169.7 1() 4.1 1(1.293) 1 0.90150.0985 查表 5 (1)1(0)1 (1)0.4045P YP Yp 114 5 (1)(1)0.3253P YC pp 72 例例6：设从甲地到乙地有两条路，所需时间（分：设从甲地到乙地有两条路，所需时间（分 钟）分别是钟）分别是 和和 ，若，若 某人有某人有