振动力学与结构动力学第二章

1、振动力学与结构动力学第二章 第二章第二章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 第一节单自由度系统的无阻尼自由振动第一节单自由度系统的无阻尼自由振动 一、自由振动的解一、自由振动的解 0)()(tkyty m )sin()(tAty )/( ,)/( 00 22 0 yyarctg yyA 自由振动自由振动-由初位移、初速由初位移、初速 度引起的度引起的, ,在振动中无动荷载在振动中无动荷载 作用的振动。作用的振动。 lEI )(ty )(ty m 振动力学与结构动力学第二章 一一. .运动方程及其解运动方程及其解 EIl )(ty )(ty m )()( 11 tymty )()( 11 t

2、ymtyk 0)()( 2 tyty 11 11 2 1 mm k 其通解为其通解为tctctysincos)( 21 由初始条件由初始条件 0 )0(yy 0 )0(yy 可得可得 01 yc / 02 yc t y tyty sincos)( 0 0 vAysin 0 vAycos/ 0 )sin()(vtAty 2 2 0 2 0 y yA 0 0 tan y y 振动力学与结构动力学第二章 x t 0 A v /2T 2 2 0 2 0 y yA 0 0 tan y y 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简

3、谐振动，并且永无休止为振动频率的简谐振动，并且永无休止 初始条件的说明：初始条件的说明： 初始条件是外界能量转入的一种初始条件是外界能量转入的一种 方式，有初始位移即转入了弹性方式，有初始位移即转入了弹性 势能，有初始速度即转入了动能势能，有初始速度即转入了动能 振动力学与结构动力学第二章 二、单自由度系统的动力特性二、单自由度系统的动力特性 周期：周期： 园频率：园频率： 工程频率：工程频率： 2 T m k 2 f st y g gm g mm k 1 与外界无关与外界无关, ,体系本身固有的特性体系本身固有的特性 与系统是否正在振动着以及如与系统是否正在振动着以及如 何进行振动的方式都毫

4、无关系何进行振动的方式都毫无关系 A A、v v不是系统的固有属性的数不是系统的固有属性的数 字特征，与系统过去所受到过字特征，与系统过去所受到过 的激励和考察开始时刻系统所的激励和考察开始时刻系统所 处的状态有关处的状态有关 振动力学与结构动力学第二章 例例: :图示刚架其横梁的刚度为无限大，柱子的抗弯图示刚架其横梁的刚度为无限大，柱子的抗弯 刚度刚度 ，梁的质量，梁的质量m m=5000kg=5000kg，不计柱，不计柱 子的轴向变形和阻尼，试计算此刚架的自振频率。子的轴向变形和阻尼，试计算此刚架的自振频率。 26 105 . 4NmEI 思考题：刚架如何振动？ 关键是求侧移劲度。 Hzf

5、 srad m k h EI kk 502. 4 5000 104 2 1 ,/284.28 , 12 6 3 21 振动力学与结构动力学第二章 求图示系统的固有频率求图示系统的固有频率 （a a）弹簧串联情况；）弹簧串联情况； （b b）弹簧并联情况。）弹簧并联情况。 (a)(a) )( , ),( , 21 21 21 21 21 21 21 21 2211 kkm kk kk kk y mg k kk kk mg k mg k mg yyy mgykyk st ststst stst 思考题：串联后系统频率与单 个弹簧系统相比有何变化？ 振动力学与结构动力学第二章 (b) (b) 并联情

6、况并联情况 m kk kkk kk mg y mgykyk yyy st stst ststst 21 21 21 2211 21 , , , , 思考题：并联后系统频率与 单个弹簧系统相比有何变化？ 振动力学与结构动力学第二章 例：简支梁例：简支梁ABAB，重量不计。在梁的中点位置放一重为重量不计。在梁的中点位置放一重为W W 的物体的物体M M时，其静挠度为时，其静挠度为y yst st。现将物体现将物体M M从高度从高度h h处自由处自由 释放，落到梁的中点处，求该系统振动的规律。释放，落到梁的中点处，求该系统振动的规律。 当物体落到梁上后，梁、物体系统作简谐振动，只要定 出简谐振动的三

7、个参数：圆频率、振幅和初相角即可。 ghyyy y y arctg y y yA y g st st st 2, , , , 00 0 0 2 0 2 0 振动力学与结构动力学第二章 ).14. 05 .49sin(86. 2 ,14. 0 ,86. 2 ,/5 .49 ,10,4 . 0 ty rad cmA srad y g cmhcmy st st ). 2 5 .49sin(4 . 0 , 2 ,4 . 0, 0 ty cmyAh st 振动力学与结构动力学第二章 例一例一. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期. . 3 11 7 121 ml EI m ) 22

8、1 2 1 3 2 2 1 ( 1 11 l l lllllll EI EI ml T 12 7 2 2 3 EI l EI l =1 11 =1 l l/2 l 解解: : EI l 3 12 7 振动力学与结构动力学第二章 例二例二. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期. . 33 3 2 2 3 1 ml EI EI l m EI l 3 11 3 2 EI ml T 3 2 =1 解解: : 2 3 l EI EIl l m/2 EI EI l l W,求体系的频率和周期求体系的频率和周期. . 3 11 3 l EI kk 解解: : EI k l 11 k 1

9、11 k k3 3 l EI gWm/ g W l EI k 3 3 振动力学与结构动力学第二章 第二节第二节 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 一、一、有阻尼自由振动的解有阻尼自由振动的解 特征方程的根：特征方程的根： 1 2 2, 1 r 1 1、临界阻尼情况：不产生振动的最小阻尼、临界阻尼情况：不产生振动的最小阻尼 )1 ()(, 1 002, 1 tytyetyr t 振动力学与结构动力学第二章 2 2、超阻尼情况、超阻尼情况 mc2, 1或 )( 00 0 tsh yy tchyety D D D t 体系仍不作振动，只发生按指数规律衰减的非周期体系仍不作振动

10、，只发生按指数规律衰减的非周期 蠕动，蠕动，上式也不含简谐振动因子，由于大阻尼作用，受 干扰后，偏离平衡位置体系不会产生振动，初始能量全 部用于克服阻尼，不足以引起振动。 振动力学与结构动力学第二章 3 3、负阻尼情况、负阻尼情况 00或或c0c0 阻尼本来是耗散能量的，负阻尼表示在系统振动过程中不阻尼本来是耗散能量的，负阻尼表示在系统振动过程中不 仅不消耗能量，而且不断加入能量。这种情况下系统的运动是仅不消耗能量，而且不断加入能量。这种情况下系统的运动是 不稳定的，其振幅将会愈来愈大，直至系统破坏。不稳定的，其振幅将会愈来愈大，直至系统破坏。 4 4、低阻尼或小阻尼情况、低阻尼或小阻尼情况

11、11或或c2mc2m cossin)( 0 00 tyt yy ety dd d t 2 1 d 振动力学与结构动力学第二章 考虑阻尼使得结构的自振频率略有减小，亦即使系统 的自振周期稍有增大。阻尼影响使振幅按指数规律衰 减。 结构实际量测表明，对于一般钢筋混凝土杆系结构的阻尼结构实际量测表明，对于一般钢筋混凝土杆系结构的阻尼 比比 在在0.050.05左右，拱坝在左右，拱坝在0.03-0.050.03-0.05，重力坝包括大头坝在，重力坝包括大头坝在 0.05-0.10,0.05-0.10,土坝、堆石坝在土坝、堆石坝在0.10-0.200.10-0.20之间。强震时，之间。强震时， 还会还会

12、 增加一些，但其值也是不大的。即使取增加一些，但其值也是不大的。即使取0.020.02代入求得的频率与代入求得的频率与 不考虑阻尼的频率也很接近。因此实际工程结构动力计算时不不考虑阻尼的频率也很接近。因此实际工程结构动力计算时不 计阻尼的影响。计阻尼的影响。 振动力学与结构动力学第二章 不同阻尼比对自由振动幅值的影响不同阻尼比对自由振动幅值的影响 振动力学与结构动力学第二章 二、阻尼的量测二、阻尼的量测 小阻尼解答经过三角转换可写成小阻尼解答经过三角转换可写成 00 012002 0 ,)( )sin()( yy y tg yy yA tAety d d d t 其中 可以根据自由振动衰减曲线

13、确定阻尼比。考虑两相邻幅值，可以根据自由振动衰减曲线确定阻尼比。考虑两相邻幅值， 在在t ti i时刻，时刻，y yi i=Ae=Ae- - t ti i; ;在 在t ti i+T+Td d时刻，时刻，y yi+1 i+1=Ae =Ae- - (t(ti i+T+Td d), ),定义自定义自 然对数递减率然对数递减率 y y 振动力学与结构动力学第二章 自由振动衰减曲线自由振动衰减曲线 振动力学与结构动力学第二章 22 2 22 2 1 )()2( 1 22 ln , )2( 1 22 ln y y d d mi i y mii y y d d i i y m m mmT y y yym

14、T y y 从而得阻尼比 同样有和个周期的幅值可以量测相隔 因素产生的误差，更高的精度和避免偶然为了获得 由此可得阻尼比 振动力学与结构动力学第二章 例：有关参数同前刚架，若用千斤顶使例：有关参数同前刚架，若用千斤顶使M M产生侧移产生侧移 25mm25mm，然后突然放开，刚架产生自由振动，振动，然后突然放开，刚架产生自由振动，振动5 5周周 后测得的侧移为后测得的侧移为7.12mm7.12mm。试求。试求 ：（：（1 1）考虑阻尼时）考虑阻尼时 的自振频率；（的自振频率；（2 2）阻尼比和阻尼系数；（）阻尼比和阻尼系数；（3 3）振动）振动 1010周后的振幅。周后的振幅。 解：由解：由y

15、y0 0=25mm, y=25mm, y0+5TD 0+5TD=7.12mm, =7.12mm,有：有： Hzff srad skgmc m d d y 498. 4)1 ( /261.28)1 ( /6 .113132 ,04. 0 12. 7 25 ln 10 1 2 2 2 振动力学与结构动力学第二章 mmy e y y e y y mne y y dd d m n mn 028. 2 , 1050, 10 102 0 10 52 0 5 2 ，有，取由 振动力学与结构动力学第二章 kN4 .16 0276.0 1 2 ln 42 1 )/(102 .8 02.0 104 .16 5 3

16、 11 mNk ) s (5 .04/2 D T ) s (4998.01 2 D TT )s/1 (57.12 2 T )kg(5190/ 2 11 km )kN(86.50 mgW )s/mN(36012mc )s/1 (89.136 8005190 102 .8 2 5 2 )s/1 (70.11 )s (537.0/2T 0257.02/mc 振动力学与结构动力学第二章 第三节第三节 单自由度系统简谐荷载作用下的单自由度系统简谐荷载作用下的 受迫振动受迫振动 一、无阻尼受迫振动一、无阻尼受迫振动 1 1、无阻尼受迫振动方程解、无阻尼受迫振动方程解 tFtkytymsin)()( 运动方

17、程的解运动方程的解 t m F t m F tyt y ty sin )( sin )( cossin)( 2222 0 0 振动力学与结构动力学第二章 上式中，前三项都是频率为上式中，前三项都是频率为 的自由振动。但第一、二项是的自由振动。但第一、二项是 初始条件决定的自由振动，第三项与初始条件无关，是由伴初始条件决定的自由振动，第三项与初始条件无关，是由伴 随干扰力的作用而产生的，称为伴生自由振动。第四项则是随干扰力的作用而产生的，称为伴生自由振动。第四项则是 按照干扰力的频率而进行的振动，称为纯受迫振动。按照干扰力的频率而进行的振动，称为纯受迫振动。 2 2、动力系数、动力系数 )(1

18、1 / sin sin 1 )1 ( sin )( )( 2 2max 2 2 222 st st yy ty t m F t m F ty 振动力学与结构动力学第二章 动力系数变化曲线动力系数变化曲线 振动力学与结构动力学第二章 2 2。在不计阻尼的情况下，试求梁的最大位移和弯矩。 。在不计阻尼的情况下，试求梁的最大位移和弯矩。 振动力学与结构动力学第二章 解：（解：（1 1）梁的自振频率）梁的自振频率 m EI Wl yst00265. 0 10008. 148 420 48 4 33 srad y g st /812.60 （2 2）系统的动力系数）系统的动力系数 866. 3 )(1

19、1 /36.52 60 5001416. 32 60 2 2 2 srad n 想想看还有没有其他方法求自振频率？想想看还有没有其他方法求自振频率？ 振动力学与结构动力学第二章 （3 3）梁跨中截面的最大位移和弯矩）梁跨中截面的最大位移和弯矩 mkN FlWl MMM myyy stFst stFst .66.58 44 00776. 0 max max 振动力学与结构动力学第二章 3 2 3 1 48 2 . 1, 48 8 . 0 sin)( ml EI ml EI tFtF 例例: : 图示跨中带有一质体的无重简支梁，受动力荷载图示跨中带有一质体的无重简支梁，受动力荷载 作用，若外干扰力

20、频率取不同的值，试求质体的最大作用，若外干扰力频率取不同的值，试求质体的最大 动力位移。动力位移。 振动力学与结构动力学第二章 解：按叠加原理解：按叠加原理 t m F y m tF m tF yy tFymtFtFy i sin )(1 1 )6875. 0( )( 6875. 0 )( )()()()( 2 2 11 12 2 12111211 （1 1）惯性力前为何加负号？）惯性力前为何加负号？ （2 2）运动方程式与直接作用在质体时有什么差别？）运动方程式与直接作用在质体时有什么差别？ （3 3）如果梁上还有一个动荷载，运动方程式形式有何变）如果梁上还有一个动荷载，运动方程式形式有何变

21、 化？化？ 振动力学与结构动力学第二章 例例1 1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知 5 . 0 动位移、动内力幅值计算动位移、动内力幅值计算 tAty sin)( st yA 22 /1 1 tPsin 1 EI EI EI P Pl/4 解解. . 3 11 24 l EI k EI Pl k P y st 24 3 11 3 4 /1 1 22 EI Pl yA st 3 18 1 Pl/3 动弯矩幅值图动弯矩幅值图 振动力学与结构动力学第二章 例例2 2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知已知: : ./500

22、,10,35 ,210,108 .8,4 45 分转 nkNFkNQ GPaEmIml 解解. . S/13 .62/1 11 Q gm m10722.0 3 11 Fy st 4 .3 /1 1 22 m1045.2 3 st yA tFsin Q /2/2 重力引起的弯矩重力引起的弯矩kN35 4 1 QlM Q 重力引起的位移重力引起的位移 m1053. 2 3 11 Q Q 1 11 /4 m/N10722.0 48 7 3 11 EI l kN.m10 4 1 FlM st S/13 .5260/2n 振幅振幅 动弯矩幅值动弯矩幅值 kN.m34 stD MM 跨中最大弯矩跨中最大弯

23、矩 kN.m69 max DQ MMM 跨中最大位移跨中最大位移 振动力学与结构动力学第二章 动荷载不作用于质点时的计算动荷载不作用于质点时的计算 FF 11 12 * tFsin )(ty )(sin)( 1112 ymtFty )(ty m tFsin 12 =1 11 =1 tFtytym sin)( 1 )( 11 12 11 令令 tFtytym sin)( 1 )( * 11 t m F ty sin)( 2 * 11 * 2 * F m F A 11 11 12 FF 12 st y st y P 仍是位移动力系数仍是位移动力系数 是内力动力系数吗是内力动力系数吗? ? 运动方程

24、运动方程 稳态解稳态解 振幅振幅 振动力学与结构动力学第二章 列幅值方程求内力幅值列幅值方程求内力幅值 tAtysin)( EI Fl l lFl EI y st 3 48 5 6 5 222 11 解解: : 5 .0例例: :求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图. .已知已知 tAtysin)( 2 tmAtIsin)( 2 tFtFsin)( 同频同步变化同频同步变化 tFsin EI l/2l/2 )(ty Am 2 A 3 4 /1 1 22 EI Fl yA st 3 36 5 st y =1 11 2/Fl l 振动力学与结构动力学第二章 11 22 44 1

25、 A mAmAI F 48 5 FF 48 5 Fl 96 5 Fl 48 29 动弯矩幅值图动弯矩幅值图 EI Fl l lFl EI y st 3 48 5 6 5 222 11 解解: : 5 .0例例: :求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图. .已知已知 tFsin EI l/2l/2 )(ty Am 2 A st y =1 11 3 4 /1 1 22 EI Fl yA st 3 36 5 2/Fl l 振动力学与结构动力学第二章 解解: : 例例: :求图示体系右端的质点振幅求图示体系右端的质点振幅 0 o M km F A 410 3 2 11 22 44

26、1 A mAmAI F 48 5 FF 48 5 Fl 96 5 Fl 48 29 动弯矩幅值图动弯矩幅值图 tFsin l k EI ll A F 2 mA 2 3 1 mAAk 3 2 o 振动力学与结构动力学第二章 二、有阻尼受迫振动二、有阻尼受迫振动 1 1、解的形式、解的形式 )sin( sin)sincos(cossin sin)(cos)( sin)()()( 00 0 tA tAetAe t yy etyety tFtkytyctym d dd t d t d dd t d t 式中，第一、二项由初始条件决定的自由振动，第三、四式中，第一、二项由初始条件决定的自由振动，第三、四

27、 是荷载作用而伴生的自由振动，第五项为纯受迫振动。前是荷载作用而伴生的自由振动，第五项为纯受迫振动。前 四项自由振动由于阻尼的存在，很快衰减以致消失，最终四项自由振动由于阻尼的存在，很快衰减以致消失，最终 只存下稳态受迫振动。只存下稳态受迫振动。 2/1222 )2()1( )sin()sin()( st d dst y A tytAty 振动力学与结构动力学第二章 2 2、幅频曲线和相频曲线、幅频曲线和相频曲线 ) 1 2 ( 2 arctg 振动力学与结构动力学第二章 3 3、系统上各个力的平衡、系统上各个力的平衡 由已知的荷载 , 以及求得的位移)sin()(tFtF )sin()sin

28、()sin()(t k F tytAty dstd )cos(2)()( ),sin()()( ),sin()sin()()( 22 tFtyctF tFtkytF tFtm k F tymtF dd ds ddi 有， 振动力学与结构动力学第二章 当荷载频率远小于系统自振频率时，当荷载频率远小于系统自振频率时，0, 0, 惯性力惯性力 F Fi i(t)(t)和阻尼力和阻尼力F Fd d(t)(t)都很小，荷载主要由弹簧力平衡；都很小，荷载主要由弹簧力平衡； 想想：此时相当于什么情况? n当荷载频率远大于系统自振频率时，当荷载频率远大于系统自振频率时，, , 荷载主要由荷载主要由 惯性力平衡

29、；惯性力平衡； 当荷载频率接近系统自振频率时，1, 此时阻尼力 )sin() 2 (12) 2 1 ()(tFCOSFtFd 此时荷载主要由阻尼力平衡，这种状态称为共振。此时荷载主要由阻尼力平衡，这种状态称为共振。 共振区内（共振区内（0.75-1.25)0.75-1.25)阻尼力不可以忽略。阻尼力不可以忽略。 振动力学与结构动力学第二章 稳态响应中四个力的平衡 振动力学与结构动力学第二章 4 4、半功率法确定阻尼比、半功率法确定阻尼比 st yyy 22 1 2 1 max 简谐荷载受迫振动的幅频曲简谐荷载受迫振动的幅频曲 线可以用来确定系统的阻尼线可以用来确定系统的阻尼 比比。 取曲线上取

30、曲线上a a、b b两点，令纵两点，令纵 坐标坐标 代入幅频曲线公式，经处理后有代入幅频曲线公式，经处理后有 )( 2 1 )( 2 1 1212 振动力学与结构动力学第二章 例例. .图示为块式基础图示为块式基础. .机器与基础的质量为机器与基础的质量为 ; ;地基竖向地基竖向 刚度为刚度为 ; ;竖向振动时的阻尼比为竖向振动时的阻尼比为 机器转速为机器转速为N=800r/min, ,其偏心质量引起的离心力为其偏心质量引起的离心力为F F=30kN. .求竖向求竖向 振动时的振幅。振动时的振幅。 N10156 3 m N/m105 .1314 6 K 2.0 解：解： m100228.0 1

31、05 .1314 30 3 3 K F y st )s/1 (79.91 10156 105 .1314 3 6 m K tFtFsin)( )s/1 (78.832 60 N 49.2)/2()/1 (/1 2222 )mm(0568.0 st yA 振动力学与结构动力学第二章 质量为m的物体挂在弹簧系数为 K的弹簧一端，另一端B沿铅直按 作简谐运动，考虑粘滞 阻尼力作用，求物体运动规律。 sindt 解：取0时物体的平衡位置o为坐 标原点，物体的运动微分方程为 0, ()0, sin cis st WFFF Wcymyk yy mycykykdt 右端等价于一个干扰力 振动力学与结构动力学

32、第二章 参照标准形式，可得物体运动规律： 222 1 222 2 sin(), , (1)(2) , (1)(2) st d yAt F A k Fkd yd kk A d 由上式可知，当物体较重，且弹簧常数k很小，而悬挂 点A振动的频率 很高，导致很大，物体的振幅 A0,物体静止。 振动力学与结构动力学第二章 在精密仪器与其支座之间装以 弹簧系数很低的柔软弹簧，当 支座振动强烈时，弹簧的一端 将随同支座一起振动。若支座 的频率比仪器弹簧系统的固 有频率高得多，仪器将近乎静 止而不致损坏。 思考题：试解释一下地震仪工 作原理。 振动力学与结构动力学第二章 第四节第四节 减振与隔振简述减振与隔振

33、简述 一、减振与隔振的常用方法一、减振与隔振的常用方法 1 1、找出产生振动的根源，并设法使其消除或减弱、找出产生振动的根源，并设法使其消除或减弱 2 2、远离振源、远离振源 3 3、避免共振、避免共振 4 4、采用动力消振器、采用动力消振器 主动隔振（隔离振源）主动隔振（隔离振源） 消极隔振（隔振材料）消极隔振（隔振材料） 振动力学与结构动力学第二章 二、隔振的基本原理二、隔振的基本原理 隔振示意图隔振示意图 振动力学与结构动力学第二章 机器的受迫振动方程为 222 22 22 max 22 22 41 41 , )()( )( )sin()()( )( )(4)1 ( )sin( ）（ 代

34、入将 定义隔振系数 。的最大值力的最大值等于干扰力安装在地基上，则动反没有隔振器，机器直接 其中， g R g dsR st st A F cAkA F F FtF tcAkAyckyFFF k F y y A tAy 振动力学与结构动力学第二章 计算简图 隔振系数随变化曲线 振动力学与结构动力学第二章 第五节第五节 一般荷载作用下的响应一般荷载作用下的响应 一、杜哈姆积分和脉冲响应函数一、杜哈姆积分和脉冲响应函数 任意一般荷载 2 1 22 mv F t, F t v=, m F yv tt m = 。 实际上只受初速度的自由振动，以实际上只受初速度的自由振动，以v v作为初速度，初作为初速度，初 位移为零。有解答位移为零。有解答 振动力学与结构动力学第二章 0 1 (t) d d t (t) d d F()d dy(t )esin(t)(t), m y(t)F()esin(t)d m 上式称为杜哈姆积分杜哈姆积分，也可写成卷积积分： 0 1 t