《正方形》PPT

1、 学习目标：学习目标： 1、了解正方形的定义；、了解正方形的定义； 2、探究并掌握正方形的性质及判定；、探究并掌握正方形的性质及判定； 3、能利用正方形的性质及判定进行、能利用正方形的性质及判定进行 有关的推理与计算。有关的推理与计算。 组卷网组卷网 平行四边形平行四边形 情境一： 观察体会 有一个直角有一个直角 有一个直角有一个直角 矩形矩形 有一个直角有一个直角 矩形矩形 有一个直角有一个直角 一组邻边相等一组邻边相等 矩形矩形 菱形菱形 有一个直角有一个直角 一组邻边相等一组邻边相等 矩形矩形 菱形菱形 平行四边形平行四边形 有一个直角有一个直角 一组邻边相等一组邻边相等 矩形矩形 菱形

2、菱形 平行四边形平行四边形 有一个直角有一个直角 一组邻边相等一组邻边相等 矩形矩形 菱形菱形 平行四边形平行四边形 有一个直角有一个直角 一组邻边相等一组邻边相等 矩形矩形 菱形菱形 一组邻边相等一组邻边相等 平行四边形平行四边形 有一个直角有一个直角 一组邻边相等一组邻边相等 矩形矩形 菱形菱形 一组邻边相等一组邻边相等 平行四边形平行四边形 有一个直角有一个直角 一组邻边相等一组邻边相等 矩形矩形 菱形菱形 一组邻边相等一组邻边相等 有一个直角有一个直角 正方形正方形 平行四边形平行四边形 你能给正方形下一个定义吗？你能给正方形下一个定义吗？ 正方形是特殊的矩形正方形是特殊的矩形 矩 形

3、 正方形正方形 矩形矩形一组邻边相等时一组邻边相等时变成怎样的图形呢变成怎样的图形呢? 探究（一）探究（一） 菱菱 形形 正方形正方形 菱形菱形有一个角是直角有一个角是直角时时变成怎样的图形呢变成怎样的图形呢? 探究小结探究小结 矩矩 形形 正方形正方形 邻边邻边相等相等 发现：发现： 一组邻边相等的矩形一组邻边相等的矩形 叫正方形叫正方形 菱菱 形形 一个角一个角是直角是直角 正方形正方形 发现：发现： 一个角为直角的菱形叫一个角为直角的菱形叫 正方形正方形 如何来给正方形下定义？如何来给正方形下定义？ -*/正方形定义+ / 1、有一个角是直角且邻边相等的平行四边形 叫做正方形； 2、有一

4、个角是直角的菱形是正方形； 3、有一组邻边相等的矩形是正方形 正方形是特殊的平行四边形，又是特殊的 菱形，特殊的矩形，你能猜出它具有怎样 的性质？ 边边 对角线对角线 角角 正方形对边平行正方形对边平行 四边相等四边相等 正方形的四个角都是直角正方形的四个角都是直角 正方形的对角线相等，互相垂直平分，正方形的对角线相等，互相垂直平分， 每条对角线平分一组对角。每条对角线平分一组对角。 A A B B C C D D O O 正方形性质正方形性质 边边角角对角线对角线 对称性对称性 图图 形形 语语 言言 文文 字字 语语 言言 符符 号号 语语 言言 A C D B A C D B A C D

5、 B O 对边平行，对边平行， 四条四条边都边都 相等相等 四四 个个 角角 都是直角都是直角 对角线互相垂直对角线互相垂直 平分且相等，每平分且相等，每 条对角线平分一条对角线平分一 组对角组对角 四边形四边形ABCD 是正方形是正方形 ABCD ADBC, AB=BC=CD=AD 四边形四边形ABCD 是正方形是正方形 A=B=C =D=90 四边形四边形ABCD是正方形是正方形 ACBD,AC=BD, OA=OB=OC=OD, 1= 2= 3= 4= 5= 6= 7= 8 轴对称图形轴对称图形 中心对称图形中心对称图形 1 2 3 4 5 6 7 8 O A BC D (A) (B) (

6、C) (D) 总结：总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的平行四边形、矩形、菱形、正方形的 对称性对称性 平行四边形平行四边形 中心对称图形中心对称图形 （对角线的交点）（对角线的交点） 即是中心对称图形，即是中心对称图形， 又是轴对称图形（两条）又是轴对称图形（两条） 即是中心对称图形，即是中心对称图形， 又是轴对称图形（两条）又是轴对称图形（两条） 即是中心对称图形，即是中心对称图形， 又是轴对称图形（四条）又是轴对称图形（四条） 正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系： 有一个角是直角有一个角是直角 有一组邻边相等有一组邻边相等 有

7、一组邻边相等有一组邻边相等 有一个角是直角有一个角是直角 有一组邻边相等且有一个角是直角有一组邻边相等且有一个角是直角 (1) (2) (3) (4) 四边形四边形 平行四边形平行四边形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 平行四边形平行四边形 矩形矩形 四边形四边形 菱形菱形 正正 方方 形形 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系 求证求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等 的等腰直角三角形的等腰直角三角形. 这是一道文字证明题这是一道文字证明题,该怎么做该怎么做?你会做吗你会做吗? 第一步第一步:根

8、据题意画出图形根据题意画出图形 第二步第二步:写出已知、求证写出已知、求证 第三步第三步：进行证明进行证明 AD CB O 已知已知:如图如图,四边形四边形ABCD是正方形是正方形, 对对 角线角线AC、BD相交于点相交于点O. 求证求证:ABO、 BCO、 CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形是全等的等腰直角三角形. 证明证明: 四边形四边形ABCD是正方形是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都都 是等腰直角三角形是等腰直角三角形,并且并且 ABO BCO CDO DAO 分析分析:利用正方形的性质利用正方形的性质,对角线互相垂直

9、平分且相对角线互相垂直平分且相 等等,每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角.平分平分可以产生可以产生线段等量线段等量 关系关系,垂直垂直可以产生可以产生直角直角,于是可以得到四个全等的等于是可以得到四个全等的等 腰直角三角形腰直角三角形. AD C B O 正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？ 拓展讨论拓展讨论: 结论：结论： 分成八个等腰直角三角形，分别是分成八个等腰直角三角形，分别是ABC、 ADC、 ABD、 BCD ； AOB、 BOC、 COD、 DOA. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是正方形具有而矩形不一定具有的性

10、质是( ) A、四个角相等、四个角相等. B、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分. C、对角互补、对角互补. D、对角线相等、对角线相等. 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A、四条边相等、四条边相等. B、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角、对角线平分一组对角. D、对角线相等、对角线相等. B D 2.下列说法正确的是（下列说法正确的是（ ） A.四条边相等的四边形是正方形四条边相等的四边形是正方形 B.两条对角线互相垂直的矩形是正方形两条对角线互相垂直的矩形是正方形 C.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

11、两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D.两条对角线分别平分一组对角的四边形两条对角线分别平分一组对角的四边形是正是正 方形方形 看一看，选一选看一看，选一选 想一想，填一填想一想，填一填 3.一个正方形的面积等于一个正方形的面积等于8，则其对角线，则其对角线 的长为（的长为（ ） 4.正方形正方形ABCD的边长为的边长为2，对角线，对角线AC 、BD相交于点相交于点O，AE平分平分BAC交交 BD于于E，则，则DE的长为（的长为（ ） 5.如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD，以，以AB为为 边向正方形外作等边三角形边向正方形外作等边三角形ABE，连，连 结结DE，CE， 则则DEC

12、=（ ） E B C D A 已知：如图，点已知：如图，点E E是正方形是正方形ABCDABCD的边的边CDCD上上 一点，点一点，点F F是是CBCB的延长线上一点，且的延长线上一点，且 DE=BFDE=BF求证：（求证：（1 1）AE=AFAE=AF；（；（2 2） EAAFEAAF 1 1 2 2 3 3 练一练练一练 证明：（1） ABCD是正方形是正方形 AD=AB，ADE=ABF=90 在在ABF与与ADC中中 AD=AB ADE=ABF=90 DE=BF ABF ADE（SAS） FA=EA ,1=3 （2）2+3=90 1+2=90 EAFA 1 1 2 2 3 3 A A C

13、 C B B D D E E 若O点移动至E点时，连接AE、 CE，你有那些结论？ 该怎样证明这些结论？ O O 变一变变一变 如图所示，正方形如图所示，正方形ABCD中，中，P为为BD上一点，上一点， PEBC于于E， PFDC于于F。试说明：。试说明：AP=EF A BC D P E F 解解: 连接连接PC PEPEBC ， PFDC 而四边形而四边形ABCD是正方形是正方形 FCE=90FCE=90 四边形四边形PECF是矩形是矩形 PC=EF 又又四边形四边形BAPCBAPC是以是以BDBD为轴的轴对称图形为轴的轴对称图形 AP=PC AP=EF 3.3.一正方形对角线长为一正方形对

14、角线长为4,4,则它的面积为则它的面积为 8 A B C D 1 1正方形的两条对角线把正方形分成四个正方形的两条对角线把正方形分成四个 全等的全等的 _ 2.2.一正方形边长为一正方形边长为4,4,则它的面积为则它的面积为 16 等腰直角三角形等腰直角三角形 4.正方形正方形ABCD的面积是的面积是9cm2。则。则 AB=_AC=_ 3cmcm23 变式训练2： 已知：如图，ABC中，C=90，CD平 分ACB，DEBC于E，DFAC于F求 证：四边形CFDE是正方形 6.如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD内有一个内有一个 BEF，AB=6， AFFD=12， E为为DC的中点，的中点

15、， 求求BEF的面积。的面积。 A BC D F E 7.如图，正方形如图，正方形ABCD的对角线的长为的对角线的长为10， M是是AB边上的一点，边上的一点， 且且MEAC于于E，MFBD 于于F，则，则ME+MF=（）（） F E M C B A D 例题赏析例题赏析 4.4.在正方形在正方形ABCDABCD中中,AC,AC是对角线是对角线,AE,AE平分平分 BAC,BAC,试猜想试猜想ABAB、ACAC、BEBE之间的关系，并之间的关系，并 证明你的猜想证明你的猜想 G F E DA B C 练习练习5如图如图(5)，在，在AB上取一点上取一点C， 以以AC、BC为正方形的一边在同一侧

16、作为正方形的一边在同一侧作 正方形正方形AEDC和和BCFG连结连结AF、BD延延 长长BD交交AF于于H。 求证：求证：(1) ACF DCB (2) BHAF 证明：证明： 已知：如图，正方形已知：如图，正方形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD 相交于点相交于点O O，正方形，正方形ABCDABCD的顶点的顶点 AA与点与点O O重合，重合，ABAB交交BCBC于点于点E E， ADAD交交CDCD于点于点F.F. (2)(2)若正方形若正方形ABCDABCD 绕点绕点O O旋转某个角度后，旋转某个角度后， OE=OFOE=OF吗？两正方形重合部吗？两正方形重合部 分的面积怎样变化？为什么？分的面积怎样变化？为什么？ 由（由（1 1）（）（2 2）可以）可以 得到什么结论？得到什么结论？ F E O (A) A B C D B D C 活动与探索活动与探索 7、如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为8 8， M M在在DCDC上，且上，且DM=2DM=2，N N是是ACAC上一个动上一个动 点，求点，求DN+MNDN+MN的最小值。的最小值。 A B C D M N 归纳归纳 1 .正方形是中心对称图形，轴对称图形。正方形是中心对称图形，轴对称图形。 2.正方形的四条边都相等。正方形的