椭圆基本知识

1、要点梳理要点梳理 1.1.椭圆的定义椭圆的定义 （1 1）第一定义：在平面内到两定点）第一定义：在平面内到两定点F F1 1、F F2 2的距离的的距离的 和等于常数（大于和等于常数（大于| |F F1 1F F2 2| |）的点的轨迹叫）的点的轨迹叫 . .这这 两定点叫做椭圆的两定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫，两焦点间的距离叫 做做 . . 集合集合P P=M M|MFMF1 1|+|+|MFMF2 2|=2|=2a a ，| |F F1 1F F2 2|=2|=2c c, ,其中其中 a a0,0,c c0 0，且，且a a，c c为常数：为常数： （1 1）若）若 ，则集合，则集合

2、P P为椭圆；为椭圆； 8.1 8.1 椭圆椭圆 基础知识基础知识 自主学习自主学习 椭圆椭圆 a ac c 第八章 圆锥曲线 （2 2）若）若 ，则集合，则集合P P为线段；为线段； （3 3）若）若 ，则集合，则集合P P为空集为空集. . a a= =c c a ac c 3.3.椭圆的几何性质椭圆的几何性质 标准标准 方程方程 图形图形 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 性性 质质 范围范围 -a-ax xa a - -b by yb b - -b bx xb b - -a ay ya a 对称性对称性对称轴：坐标轴对称

3、轴：坐标轴 对称中心：原点对称中心：原点 顶点顶点 A A1 1(-(-a a,0),0),A A2 2( (a a,0),0) B B1 1(0,-(0,-b b),),B B2 2(0,(0,b b) ) A A1 1(0,-(0,-a a),),A A2 2(0,(0,a a) ) B B1 1(-(-b b,0),0),B B2 2( (b b,0),0) 轴轴长轴长轴A A1 1A A2 2的长为的长为2 2a a; ;短轴短轴B B1 1B B2 2的长为的长为2 2b b 焦距焦距| |F F1 1F F2 2|=2|=2c c 离心率离心率 a a,b b,c c的关系的关系c

4、 c2 2= =a a2 2- -b b2 2 准线准线 ) 1 , 0( a c e c a x 2 c a y 2 基础自测基础自测 1.1.已知椭圆的长轴长是短轴长的已知椭圆的长轴长是短轴长的2 2倍，则椭圆的离倍，则椭圆的离 心率等于心率等于 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 设长轴长、短轴长分别为设长轴长、短轴长分别为2 2a a、2 2b b, ,则则2 2a a=4=4b,b, 3 1 3 3 2 1 2 3 D . 2 3 2 4 2222 b bb a ba a c e 2.2.设设P P是椭圆是椭圆 上的点上的点. .若若F F1 1，

5、F F2 2是椭圆是椭圆 的两个焦点，则的两个焦点，则| |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2| |等于等于 （ ） A.4 B.5 C.8 D.10 A.4 B.5 C.8 D.10 解析解析 由椭圆定义知由椭圆定义知| |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=2|=2a a=10.=10. 1 1625 22 yx D C 4.4.已知椭圆已知椭圆C C的短轴长为的短轴长为6 6，离心率为，离心率为 ，则椭圆，则椭圆 C C的焦点的焦点F F到长轴的一个端点的距离为到长轴的一个端点的距离为 （ ） A.9 A.9 B.1 B.1 C.1 C.1或或9 9 D. D.以上都不对以上都

6、不对 解析解析 由题意得由题意得 a a=5=5，c c=4.=4. a a+ +c c=9=9，a a- -c c=1.=1. 5 4 C , 5 4 3 a c b 5.5.椭圆的两个焦点为椭圆的两个焦点为F F1 1、F F2 2，短轴的一个端点为，短轴的一个端点为A A， 且且 F F1 1AFAF2 2是顶角为是顶角为120120的等腰三角形，则此的等腰三角形，则此 椭圆的离心率为椭圆的离心率为 . . 解析解析 由已知得由已知得AFAF1 1F F2 2=30=30，故，故cos 30cos 30= = ， 从而从而e e= .= . 2 3 a c 2 3 题型一题型一 椭圆的定

7、义椭圆的定义 【例【例1 1】一动圆与已知圆】一动圆与已知圆O O1 1：（：（x x+3)+3)2 2+ +y y2 2=1=1外切外切, ,与与 圆圆O O2 2：（：（x x-3-3）2 2+ +y y2 2=81=81内切，试求动圆圆心的轨内切，试求动圆圆心的轨 迹方程迹方程. . 两圆相切时两圆相切时, ,圆心之间的距离与两圆圆心之间的距离与两圆 的半径有关的半径有关, ,据此可以找到动圆圆心满足的条件据此可以找到动圆圆心满足的条件. . 思维启迪思维启迪 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析 解解 两定圆的圆心和半径分别为两定圆的圆心和半径分别为O O1 1(-3(-3，0),0),

8、r r1 1=1=1； O O2 2(3,0)(3,0)，r r2 2=9.=9.设动圆圆心为设动圆圆心为M M( (x x，y y),),半径为半径为R R， 则由题设条件可得则由题设条件可得| |MOMO1 1|=1+|=1+R R，| |MOMO2 2|=9-|=9-R R. . |MOMO1 1|+|+|MOMO2 2|=10.|=10. 由椭圆的定义知：由椭圆的定义知：M M在以在以O O1 1、O O2 2为焦点的椭圆上为焦点的椭圆上, , 且且a a=5=5，c c=3.=3. b b2 2= =a a2 2- -c c2 2=25-9=16=25-9=16， 故动圆圆心的轨迹方

9、程为故动圆圆心的轨迹方程为 . 1 1625 22 yx 探究提高探究提高 平面内一动点与两个定点平面内一动点与两个定点F F1 1、F F2 2的距的距 离之和等于常数离之和等于常数2 2a a，当，当2 2a a|F F1 1F F2 2| |时时, ,动点的轨迹动点的轨迹 是椭圆；当是椭圆；当2 2a a=|=|F F1 1F F2 2| |时时, ,动点的轨迹是线段动点的轨迹是线段F F1 1F F2 2； 当当2 2a a|F F1 1F F2 2| |时，轨迹不存在时，轨迹不存在. . 已知圆（已知圆（x x+2+2）2 2+ +y y2 2=36=36的圆心为的圆心为M M， 设

10、设A A为圆上任一点，为圆上任一点，N N（2 2，0 0），线段），线段ANAN的垂直的垂直 平分线交平分线交MAMA于点于点P P，则动点，则动点P P的轨迹是的轨迹是 （ ） A.A.圆圆 B. B.椭圆椭圆 C. C.双曲线双曲线 D. D.抛物线抛物线 知能迁移知能迁移1 1 解析解析 点点P P在线段在线段ANAN的垂直平分线上，的垂直平分线上， 故故| |PAPA|=|=|PNPN| |，又，又AMAM是圆的半径，是圆的半径， |PMPM|+|+|PNPN|=|=|PMPM|+|+|PAPA|=|=|AMAM|=6|=6| |MNMN| |， 由椭圆定义知，由椭圆定义知，P P的

11、轨迹是椭圆的轨迹是椭圆. . 答案答案 B 题型二题型二 椭圆的标准方程椭圆的标准方程 【例【例2 2】已知点】已知点P P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P P到两焦点的距离分别为到两焦点的距离分别为5 5、3 3，过，过P P且与长轴垂直且与长轴垂直 的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. . 思维启迪思维启迪 设椭圆方程为设椭圆方程为 )0( 11 2 2 2 2 2 2 2 2 ba a y b x b y a x 或 根据题意求根据题意求a a,b b得方程得方程 . 解解 方法一方法一 设所求的椭圆方程为设所求的

12、椭圆方程为 由已知条件得由已知条件得 解得解得a a=4,=4,c c=2,=2,b b2 2=12.=12. 故所求方程为故所求方程为 ),0( 1)0( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ba b x a y ba b y a x 或 , 35)2( 352 222 c a . 1 1216 1 1216 2222 xyyx 或 方法二方法二 设所求椭圆方程为设所求椭圆方程为 两个焦点分别为两个焦点分别为F F1 1，F F2 2. . 由题意知由题意知2 2a a=|=|PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=8,|=8,a a=4.=4. 在方程在方程 中，令中，令x x= =c

13、c得得| |y y|= ,|= , 在方程在方程 中，令中，令y y= =c c得得| |x x|= ,|= , 依题意有依题意有 =3 =3，b b2 2=12.=12. 椭圆的方程为椭圆的方程为 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ).0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 或 1 2 2 2 2 b y a x a b 2 1 2 2 2 2 b x a y a b 2 a b 2 . 1 1216 1 1216 2222 xyyx 或 探究提高探究提高 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设运用待定系数法求椭圆标准方程，即设 法建立关于法建立关于a a、b b的方程组

14、，先定型、再定量，若位的方程组，先定型、再定量，若位 置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要， 椭圆方程可设为椭圆方程可设为mxmx2 2+ +nyny2 2=1 (=1 (m m0,0,n n0,0,m mn n) )， 由题目所给条件求出由题目所给条件求出m m、n n即可即可. . 知能迁移知能迁移2 2 （1 1）已知椭圆以坐标轴为对称轴）已知椭圆以坐标轴为对称轴, ,且且 长轴是短轴的长轴是短轴的3 3倍，并且过点倍，并且过点P P（3 3，0 0）, ,求椭圆求椭圆 的方程；的方程； （2 2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称）已

15、知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称 轴，且经过两点轴，且经过两点P P1 1( ( ，1)1)、P P2 2(- (- ，- )- )， 求椭圆的方程求椭圆的方程. . 解解 （1 1）若焦点在）若焦点在x x轴上，设方程为轴上，设方程为 ( (a ab b0).0). 椭圆过椭圆过P P（3 3，0 0），）， 又又2 2a a=3=32 2b b,b b=1,=1,方程为方程为 632 1 2 2 2 2 b y a x 3, 1 03 2 2 2 2 a ba 即 . 1 9 2 2 y x 若焦点在若焦点在y y轴上，设方程为轴上，设方程为 椭圆过点椭圆过点P P（3 3，0 0），）

16、， =1, =1, 又又2 2a a=3=32 2b b,a a=9,=9, 方程为方程为 所求椭圆的方程为所求椭圆的方程为 ).0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 2 2 2 2 30 ba . 1 981 22 xy . 1 981 1 9 22 2 2 xy y x 或 b b=3.=3. （2 2）设椭圆方程为）设椭圆方程为mxmx2 2+ +nyny2 2=1(=1(m m0,0,n n0 0且且m mn n).). 椭圆经过椭圆经过P P1 1、P P2 2点，点， P P1 1、P P2 2点坐标适合椭圆方程，点坐标适合椭圆方程， 则则 、两式联立，解得、两式联立，解

17、得 所求椭圆方程为所求椭圆方程为 , 123 , 16 nm nm . 3 1 , 9 1 n m . 1 39 22 yx 题型三题型三 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 【例【例3 3】已知】已知F F1 1、F F2 2是椭圆的两个焦点，是椭圆的两个焦点，P P为椭圆上为椭圆上 一点，一点，F F1 1PFPF2 2=60=60. . （1 1）求椭圆离心率的范围；）求椭圆离心率的范围； （2 2）求证）求证: :F F1 1PFPF2 2的面积只与椭圆的短轴长有关的面积只与椭圆的短轴长有关. . （1 1）在）在PFPF1 1F F2 2中，使用余弦定理和中，使用余弦定理和 | |PFPF

18、1 1|+|+|PFPF2 2|=2|=2a a，可求可求| |PFPF1 1|PFPF2 2| |与与a a，c c的关的关 系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求 出出e e的的范围；范围； （2 2）利用）利用 | |PFPF1 1|PFPF2 2|sin 60|sin 60可证可证. . 思维启迪思维启迪 2 1 21 PFF S （1 1）解解 设椭圆方程为设椭圆方程为 | |PFPF1 1|=|=m m,|,|PFPF2 2|=|=n n. . 在在PFPF1 1F F2 2中，由余弦定理可知，中，由余弦定理可知， 4 4c c2 2=

19、 =m m2 2+ +n n2 2-2-2mnmncos 60cos 60. . m m+ +n n=2=2a a， m m2 2+ +n n2 2= =（m m+ +n n）2 2-2-2mnmn=4=4a a2 2-2-2mnmn， 44c c2 2=4=4a a2 2-3-3mnmn, ,即即3 3mnmn=4=4a a2 2-4-4c c2 2. . 又又mnmn （当且仅当（当且仅当m m= =n n时取等号）时取等号）, , 44a a2 2-4-4c c2 233a a2 2， ，即，即e e . . 又又0 0e e1,1, e e的取值范围是的取值范围是 ),0( 1 2 2

20、 2 2 ba b y a x 2 2 2 a nm 2 2 a c 4 1 2 1 .1 , 2 1 （2 2）证明证明 由（由（1 1）知）知mnmn= = mnmnsin 60sin 60= = 即即PFPF1 1F F2 2的面积只与短轴长有关的面积只与短轴长有关. . , 3 4 2 b 2 1 21 PFF S , 3 3 2 b 探究提高探究提高 （1 1）椭圆上一点与两焦点构成的三角）椭圆上一点与两焦点构成的三角 形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的 计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、 |

21、 |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=2|=2a a，得到，得到a a、c c的关系的关系. . （2 2）对）对F F1 1PFPF2 2的处理方法的处理方法 定义式的平方定义式的平方 余弦定理余弦定理 面积公式面积公式 . sin 2 1 cos24 )2()( 21 21 2 2 2 1 2 22 21 PFPFS PFPFPFPFc aPFPF 知能迁移知能迁移3 3 已知椭圆已知椭圆 的长、的长、短短 轴端点分别为轴端点分别为A A、B B, ,从椭圆上一点从椭圆上一点M M（在（在x x轴轴 上方）向上方）向x x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点

22、F F1 1， . . （1 1）求椭圆的离心率）求椭圆的离心率e e； （2 2）设）设Q Q是椭圆上任意一点，是椭圆上任意一点，F F1 1、F F2 2分别是左、右分别是左、右 焦点，求焦点，求F F1 1QFQF2 2的取值范围的取值范围. . 解解 （1 1）F F1 1（- -c c，0 0），则），则x xM M=-=-c c，y yM M= = ， k kOM OM=- . =- .k kAB AB=- =- ， ， - =- - =- ，b b= =c c，故，故e e= = )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x AB OM a b 2 ac b 2 a b OM

23、AB ac b 2 a b . 2 2 a c （2 2）设）设| |F F1 1Q Q|=|=r r1 1，| |F F2 2Q Q|=|=r r2 2，F F1 1QFQF2 2= = ， r r1 1+ +r r2 2=2=2a a，| |F F1 1F F2 2|=2|=2c c， cos =cos = 当且仅当当且仅当r r1 1= =r r2 2时，时，cos =0,cos =0, 21 2 21 2 21 21 22 2 2 1 2 42)( 2 4 rr crrrr rr crr , 01 ) 2 ( 1 2 21 2 21 2 rr a rr a . 2 , 0 题型四题型四

24、 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 【例【例4 4】（】（1212分）椭圆分）椭圆C C： 的两的两 个焦点为个焦点为F F1 1，F F2 2，点，点P P在椭圆在椭圆C C上，且上，且PFPF1 1F F1 1F F2 2， | |PFPF1 1|= |= ，| |PFPF2 2|= .|= . （1 1）求椭圆）求椭圆C C的方程；的方程； （2 2）若直线）若直线l l过圆过圆x x2 2+ +y y2 2+4+4x x-2-2y y=0=0的圆心的圆心M M，交椭圆，交椭圆 C C于于A A，B B两点，且两点，且A A，B B关于点关于点M M对称，求直线对称，求直线l l

25、的的 方程方程. . )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 3 4 3 14 （1 1）可根据椭圆定义来求椭圆方程；）可根据椭圆定义来求椭圆方程； （2 2）方法一：设斜率为）方法一：设斜率为k k，表示出直线方程，表示出直线方程, ,然后然后 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及中点坐与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及中点坐 标公式求解；标公式求解； 方法二：设出方法二：设出A A、B B两点坐标两点坐标, ,代入椭圆方程代入椭圆方程, ,作作 差变形差变形, ,利用中点坐标公式及斜率求解（即点差利用中点坐标公式及斜率求解（即点差 法）法）. . 思维启迪思维启迪 解解 （1

26、1）因为点）因为点P P在椭圆在椭圆C C上，上， 所以所以2 2a a=|=|PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=6|=6，a a=3.=3. 2 2分分 在在R Rt tPFPF1 1F F2 2中，中， 故椭圆的半焦距故椭圆的半焦距c c= = ， 4 4分分 从而从而b b2 2= =a a2 2- -c c2 2=4=4， 所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为 6 6分分 , 52 2 1 2 221 PFPFFF 5 . 1 49 22 yx 解题示范解题示范 （2 2）方法一方法一 设点设点A A, ,B B的坐标分别为的坐标分别为( (x x1 1, ,y y1 1),

27、(),(x x2 2, ,y y2 2).). 已知圆的方程为（已知圆的方程为（x x+2+2）2 2+(+(y y-1)-1)2 2=5,=5,所以圆心所以圆心M M的的 坐标为（坐标为（-2-2，1 1），从而可设直线），从而可设直线l l的方程为：的方程为： y y= =k k( (x x+2)+1,+2)+1, 8 8分分 代入椭圆代入椭圆C C的方程得：的方程得： (4+9(4+9k k2 2) )x x2 2+(36+(36k k2 2+18+18k k) )x x+36+36k k2 2+36+36k k-27=0.-27=0. 因为因为A A，B B关于点关于点M M对称，对称

28、， 所以所以 10 10分分 所以直线所以直线l l的方程为的方程为y y= (= (x x+2)+1,+2)+1, 即即8 8x x-9-9y y+25=0.+25=0. （经检验，所求直线方程符合题意）（经检验，所求直线方程符合题意） 12 12分分 , 9 8 , 2 94 918 2 2 2 21 k k kkxx 解得 9 8 方法二方法二 已知圆的方程为（已知圆的方程为（x x+2+2）2 2+(+(y y-1)-1)2 2=5,=5, 所以圆心所以圆心M M的坐标为（的坐标为（-2-2，1 1），）， 8 8分分 设设A A，B B的坐标分别为（的坐标分别为（x x1 1, ,y

29、 y1 1）,(,(x x2 2, ,y y2 2).). 由题意由题意x x1 1x x2 2, , 由由- -得：得： 因为因为A A，B B关于点关于点M M对称，对称， 所以所以x x1 1+ +x x2 2=-4,=-4,y y1 1+ +y y2 2=2,=2, 1 49 2 1 2 1 yx 1 49 2 2 2 2 yx . 0 4 )( 9 )( 21212121 yyyyxxxx 代入代入得得 即直线即直线l l的斜率为的斜率为 ， 10 10分分 所以直线所以直线l l的方程为的方程为y y-1= (-1= (x x+2),+2), 即即8 8x x-9-9y y+25=

30、0.+25=0. （经检验，所求直线方程符合题意）（经检验，所求直线方程符合题意）. 12. 12分分 , 9 8 21 21 xx yy 9 8 9 8 探究提高探究提高（1 1）直线方程与椭圆方程联立）直线方程与椭圆方程联立, ,消元后消元后 得到一元二次方程，然后通过判别式得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直来判断直 线和椭圆相交、相切或相离线和椭圆相交、相切或相离. . （2 2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭 圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和 与两根之积的形式，这是进一步解题的基础

31、与两根之积的形式，这是进一步解题的基础. . （3 3）若已知圆锥曲线的弦的中点坐标）若已知圆锥曲线的弦的中点坐标, ,可设出弦可设出弦 的端点坐标的端点坐标, ,代入方程，用点差法求弦的斜率代入方程，用点差法求弦的斜率. .注注 意求出方程后，通常要检验意求出方程后，通常要检验. . 知能迁移知能迁移4 4 若若F F1 1、F F2 2分别是椭圆分别是椭圆 （a ab b0 0）的左、右焦点，）的左、右焦点，P P是该椭圆上的一个是该椭圆上的一个 动点，且动点，且| |PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=4|=4，| |F F1 1F F2 2|=2 .|=2 . （1 1）求出这个

32、椭圆的方程；）求出这个椭圆的方程； （2 2）是否存在过定点）是否存在过定点N N（0 0，2 2）的直线）的直线l l与椭圆与椭圆 交于不同的两点交于不同的两点A A、B B，使，使 （其中（其中O O为为 坐标原点）？若存在，求出直线坐标原点）？若存在，求出直线l l的斜率的斜率k k；若不存；若不存 在，说明理由在，说明理由. . 1 2 2 2 2 b y a x 3 OAOB 解解 （1 1）依题意，得）依题意，得2 2a a=4=4，2 2c c=2 ,=2 , 所以所以a a=2,=2,c c= ,= ,b b= = 椭圆的方程为椭圆的方程为 （2 2）显然当直线的斜率不存在，即

33、）显然当直线的斜率不存在，即x x=0=0时，不满时，不满 足条件足条件. . 设设l l的方程为的方程为y y= =kxkx+2,+2, 由由A A、B B是直线是直线l l与椭圆的两个不同的交点，与椭圆的两个不同的交点， 设设A A（x x1 1，y y1 1），），B B（x x2 2，y y2 2），）， 由由 消去消去y y并整理，得并整理，得 3 3. 1 22 ca . 1 4 2 2 y x , 2 1 4 2 2 kxy y x （1+41+4k k2 2）x x2 2+16+16kxkx+12=0.+12=0. =(16=(16k k) )2 2-4(1+4-4(1+4k

34、k2 2) )12=16(412=16(4k k2 2-3)-3)0,0, 解得解得k k2 2 . . x x1 1+ +x x2 2=- ,=- ,x x1 1x x2 2= = , =0 , =0， = =x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2= =x x1 1x x2 2+(+(kxkx1 1+2)(+2)(kxkx2 2+2)+2) = =x x1 1x x2 2+ +k k2 2x x1 1x x2 2+2+2k k（x x1 1+ +x x2 2）+4+4 = =（1+1+k k2 2）x x1 1x x2 2+2+2k k（x x1 1+ +x x2 2）+4+

35、4 4 3 2 41 16 k k . 41 12 2 k OAOBOAOB OAOB k k2 2=4. =4. 由可知由可知k k= =2,2, 所以，存在斜率所以，存在斜率k k= =2 2的直线的直线l l符合题意符合题意. . , 0 41 )4(4 4 41 16 2 41 12 )1 ( 2 2 22 2 k k k k k k k 方法与技巧方法与技巧 1.1.椭圆上任意一点椭圆上任意一点M M到焦点到焦点F F的所有距离中，长轴的所有距离中，长轴 端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离， 且最大距离为且最大距离为a a+ +c c,

36、 ,最小距离为最小距离为a a- -c c. . 2.2.过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最 短的弦，而且它的长为短的弦，而且它的长为 . .把这个弦叫椭圆把这个弦叫椭圆 的通径的通径. . 3.3.求椭圆离心率求椭圆离心率e e时时, ,只要求出只要求出a a, ,b b, ,c c的一个齐次的一个齐次 方程，再结合方程，再结合b b2 2= =a a2 2- -c c2 2就可求得就可求得e e (0 (0e e1).1). a b 2 2 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 4.4.从一焦点发出的光线，经过椭圆（面）的反射，从一焦点发出的光线

37、，经过椭圆（面）的反射， 反射光线必经过椭圆的另一焦点反射光线必经过椭圆的另一焦点. . 5.5.过椭圆外一点求椭圆的切线过椭圆外一点求椭圆的切线, ,一般用判别式一般用判别式=0=0 求斜率，也可设切点后求导数（斜率）求斜率，也可设切点后求导数（斜率）. . 6.6.求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断 是否为标准方程，判断的依据是：（是否为标准方程，判断的依据是：（1 1）中心是否）中心是否 在原点，（在原点，（2 2）对称轴是否为坐标轴）对称轴是否为坐标轴. . 失误与防范失误与防范 1.1.求椭圆方程时，在建立坐标系时，应该尽可能求椭圆方

38、程时，在建立坐标系时，应该尽可能 以椭圆的对称轴为坐标轴以便求得的方程为最简以椭圆的对称轴为坐标轴以便求得的方程为最简 方程方程椭圆的标准方程椭圆的标准方程. . 2.2.求两曲线的交点坐标，只要把两曲线的方程联求两曲线的交点坐标，只要把两曲线的方程联 立求方程组的解立求方程组的解, ,根据解可以判断位置关系，若根据解可以判断位置关系，若 方程组有解可求出交点坐标方程组有解可求出交点坐标. . 3.3.注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某 一点坐标视为某一函数问题求解时，求函数的单一点坐标视为某一函数问题求解时，求函数的单 调区间、最值时有重要意义调

39、区间、最值时有重要意义. . 4.4.判断椭圆标准方程的原则为：长轴、短轴所在判断椭圆标准方程的原则为：长轴、短轴所在 直线为坐标轴，中心为坐标原点直线为坐标轴，中心为坐标原点. . 5.5.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x x2 2与与 y y2 2的分母大小，若的分母大小，若x x2 2的分母比的分母比y y2 2的分母大，则焦点的分母大，则焦点 在在x x轴上，若轴上，若x x2 2的分母比的分母比y y2 2的分母小，则焦点在的分母小，则焦点在y y 轴上轴上. . 6.6.注意椭圆的范围，在设椭圆注意椭圆的范围，在设椭圆 上点的坐标为上点

40、的坐标为P P（x x，y y）时，则）时，则| |x x|a a，这往往，这往往 在求与点在求与点P P有关的最值问题中特别有用，也是容有关的最值问题中特别有用，也是容 易被忽略而导致求最值错误的原因易被忽略而导致求最值错误的原因. . )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 一、选择题一、选择题 1.1.（20082008上海春招，上海春招，1414）已知椭圆）已知椭圆 =1 =1，长轴在，长轴在y y轴上，若焦距为轴上，若焦距为4 4，则，则m m等于（等于（ ） A.4 B.5 C.7 D.8 A.4 B.5 C.7 D.8 解析解析 椭圆焦点在椭圆焦点在y y轴上，轴上，a

41、 a2 2= =m m-2-2，b b2 2=10-=10-m m. . 又又c c=2=2，m m-2-2-（10-10-m m）=2=22 2=4.=4.m m=8.=8. 定时检测定时检测 210 22 m y m x D 2.2.已知点已知点M M（ ，0 0）, ,椭圆椭圆 =1 =1与直线与直线 y y= =k k( (x x+ )+ )交于点交于点A A、B B, ,则则ABMABM的周长为的周长为 （ ） A.4 B.8 C.12 D.16 A.4 B.8 C.12 D.16 解析解析 直线直线y y= =k k( (x x+ )+ )过定点过定点N N(- ,0),(- ,0

42、),而而M M、N N 恰为椭圆恰为椭圆 的两个焦点，由椭圆定义知的两个焦点，由椭圆定义知 ABMABM的周长为的周长为4 4a a=4=42=8.2=8. 3 2 2 4 y x B 33 1 4 2 2 y x 3 3.3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积 的最大值为的最大值为1 1，则椭圆长轴的最小值为，则椭圆长轴的最小值为 （ ） A.1 A.1B. B. C.2C.2D.2 D.2 解析解析 设椭圆设椭圆 ，则使三角，则使三角 形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短 轴端点，轴端点， S

43、 S= = 2 2c cb b= =bcbc=1=1 a a2 22.2.a a . .长轴长长轴长2 2a a2 2 ，故选，故选D.D. D 2 2 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 1 . 22 222 acb 22 4.4.（20092009浙江文，浙江文，6 6）已知椭圆）已知椭圆 ( (a ab b0)0)的左焦点为的左焦点为F F，右顶点为，右顶点为A A，点，点B B在在 椭圆上，且椭圆上，且BFBFx x轴，直线轴，直线ABAB交交y y轴于点轴于点P P. .若若 =2=2 ，则椭圆的离心率是，则椭圆的离心率是 （ ） A. A. B.B.C.C.D.D

44、. 1 2 2 2 2 b y a x 2 1 3 1 2 2 2 3 APPB 解析解析 如图，由于如图，由于BFBFx x轴，轴， 故故x xB B=-=-c c, ,y yB B= ,= ,设设P P（0,0,t t）, , =2 =2 ， （- -a a, ,t t）=2=2 a a=2=2c c,e e= = 答案答案 D a b 2 APPB , 2 t a b c . 2 1 a c 5.5.已知已知F F1 1，F F2 2是椭圆的两个焦点，过是椭圆的两个焦点，过F F1 1且与椭圆长且与椭圆长 轴垂直的直线交椭圆于轴垂直的直线交椭圆于A A、B B两点，若两点，若ABFABF

45、2 2是是 等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A. A.B.B.C.C.D. D. 解析解析 ABFABF2 2是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，|AFAF1 1|=|=|F F1 1F F2 2| |， 将将x x=-=-c c代入椭圆方程代入椭圆方程 从而从而 即即a a2 2- -c c2 2=2=2acac, ,整理得整理得e e2 2+2+2e e-1=0,-1=0, 解得解得e e=-1=-1 , ,由由e e(0,1),(0,1),得得e e= -1.= -1. 2 3 2 2 12 2 C ),(1 2 2 2 2 2 a b

46、cA b y a x 得 ,2 2 c a b 22 6.(20096.(2009江西理江西理,6),6)过椭圆过椭圆 的左焦点的左焦点F F1 1作作x x轴的垂线交椭圆于点轴的垂线交椭圆于点P P，F F2 2为右焦为右焦 点，若点，若F F1 1PFPF2 2=60=60, ,则椭圆的离心率为（则椭圆的离心率为（ ） A. A.B.B.C.C.D.D. 解析解析 由题意知点由题意知点P P的坐标为的坐标为 F F1 1PFPF2 2=60=60, , 即即2 2acac= = b b2 2= (= (a a2 2- -c c2 2).). e e2 2+2+2e e- =0,- =0,e

47、 e= = 或或e e=- (=- (舍去舍去).). )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 3 3 2 2 2 1 3 1 B , 22 a b c a b c或 , 3 2 2 a b c 3 3 3 3 3 3 3 二、填空题二、填空题 7.7.（20092009广东理，广东理，1111）已知椭圆）已知椭圆G G的中心在坐标的中心在坐标 原点，长轴在原点，长轴在x x轴上，离心率为轴上，离心率为 ，且，且G G上一点上一点 到到G G的两个焦点的距离之和为的两个焦点的距离之和为12,12,则椭圆则椭圆G G的方程的方程 为为 . . 解析解析 设椭圆的长半轴为设椭圆的长半轴为

48、a a，由，由2 2a a=12=12知知a a=6,=6, 又又e e= = ,= = ,故故c c=3 =3 ，b b2 2= =a a2 2- -c c2 2=36-27=9.=36-27=9. 椭圆标准方程为椭圆标准方程为 2 3 a c 2 3 3 . 1 936 22 yx . 1 936 22 yx 8.8.设椭圆设椭圆 （m m0,0,n n0 0）的右焦点与抛）的右焦点与抛 物线物线y y2 2=8=8x x的焦点相同，离心率为的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的，则此椭圆的 标准方程为标准方程为 . . 解析解析 抛物线抛物线y y2 2=8=8x x的焦点是（的焦点是（2,

49、02,0）,椭圆椭圆 的半焦距的半焦距c c=2,=2,即即m m2 2- -n n2 2=4,=4,又又e e= = m m=4,=4,n n2 2=12.=12. 从而椭圆的方程为从而椭圆的方程为 1 2 2 2 2 n y m x 2 1 1 1216 22 yx , 2 12 22 mm nm . 1 1216 22 yx 9.9.B B1 1、B B2 2是椭圆短轴的两端点，是椭圆短轴的两端点，O O为椭圆中心，过为椭圆中心，过 左焦点左焦点F F1 1作长轴的垂线交椭圆于作长轴的垂线交椭圆于P P, ,若若| |F F1 1B B2 2| |是是 | |OFOF1 1| |和和|

50、|B B1 1B B2 2| |的等比中项，则的等比中项，则 的值是的值是 . . 解析解析 由已知由已知2 2bcbc= =a a2 2= =b b2 2+ +c c2 2,b b= =c c= = 设设P P（x x0 0，y y0 0），则），则x x0 0=-=-c c，| |y y0 0|=|=|PFPF1 1|.|. 2 1 OB PF 2 2 . 2 2 a . 2 2 . 2 1 1 , 1 )( 2 1 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 OB PF a b a c b y b y a c 三、解答题三、解答题 10.10.根据下列条件求椭圆的标准方程：根据下列条

51、件求椭圆的标准方程： （1 1）已知）已知P P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P P到两焦点的距离分别为到两焦点的距离分别为 ，过，过P P作长作长 轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； （2 2）经过两点）经过两点A A（0 0，2 2）和）和B B 解解（1 1）设椭圆的标准方程是）设椭圆的标准方程是 或或 5 3 2 5 3 4 和 .3, 2 1 1 2 2 2 2 b y a x , 1 2 2 2 2 b x a y 则由题意知则由题意知2 2a a=|=|PFPF1 1|+|+|PFPF2 2|=2 |=2 ，a a= .= . 在方程在方程 中令中令x x= =c c得得| |y y|=|= 在方程在方程 中令中令y y= =c c得得| |x x|=|= 依题意并结合图形知依题意并结合图形知 = . = .b b2 2= .= . 即椭圆的标准方程为即椭圆的标准方程为 5 5 1 2 2 2 2 b y a x a b2 1 2 2 2 2 b x a y a b2 a b2 5 3 2 3 10 . 1 10 3 5 1 10