导数的应用—函数的单调性

1、导数的应用函数的单调性 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ 课前复习课前复习 1 1、函数、函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处的处的 2 2、某点处导数的、某点处导数的 3 3、导函数的定义、导函数的定义 x y x 0 lim )()( lim 00 0 x xfxxf x )( 0 x f 函数函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0处的导数处的

2、导数f f (x(x0 0) )就是曲线就是曲线y=f(x)y=f(x)在点在点 M(xM(x0 0,y,y0 0) )处的切线的斜率处的切线的斜率. . x x0 0 f f( (x x x x) ) f f( (x x) ) f f ( (x x) )l li im m x x 4 4、四个常见函数的导数公式、四个常见函数的导数公式 公式公式1 （C 为常数）为常数） 0 C )Q()( 1 nxnx nn 公式公式2 公式公式3 .cos)(sinxx 公式公式4 .sin)(cosxx 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错

3、误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ 5 5、导数的四则运算法则、导数的四则运算法则 6 6、复合函数的导数、复合函数的导数 ()uvuv ()uvu vuv )0( 2 v v uvvu v u )()()(xufxf x 7 7、对数函数的导数、对数函数的导数 （1） x x 1 )(ln （2） ax x a ln 1 )(log xx ee)( aaa xx ln)( 8 8、指数函数的导数、指数函数的导数 课前复习课前复习 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ 预备知识预备知识 1增函数、减函

4、数的定义增函数、减函数的定义 一般地，设函数一般地，设函数 f(x) 的定义域为的定义域为 I：如果对：如果对 于属于定义域于属于定义域 I 内某个区间上的内某个区间上的自变量自变量任意两个任意两个 值值 x1，x2，当，当 x1x2时，时，都有都有 f(x1)f(x2)，那么，那么 就说就说 f(x)在这个区间上是增函数在这个区间上是增函数 当当 x1x2时，时， 都有都有 f(x1)f(x2)， 那么就说， 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数在这个区间上是减函数 y x0 abc 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请

5、批 评指正谢谢！评指正谢谢！ 2函数的单调性函数的单调性 如果函数如果函数 yf(x) 在某个区间是增函数或在某个区间是增函数或 减函数，那么就说函数减函数，那么就说函数 yf(x) 在这一区间具在这一区间具 有 （严格的） 单调性， 这一区间叫做有 （严格的） 单调性， 这一区间叫做 yf(x) 的的 单调区间单调区间 在单调区间上增函数的图象是上升的，减在单调区间上增函数的图象是上升的，减 函数的图象是下降的函数的图象是下降的 预备知识预备知识 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ y x0 a

6、 b c 直观地来看直观地来看,如图从如图从a到到b曲线是上升的曲线是上升的,说函数说函数f(x) 在区间在区间(a,b)上是增函数上是增函数; ( )y f x 从从b到到c曲线是下降的曲线是下降的, 说函数说函数f(x)在区间在区间(b,c)上上 是减函数是减函数. 3 . 3 . 单调函数图像特征单调函数图像特征 预备知识预备知识 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ 探究一：函数单调性与导数符号的关系探究一：函数单调性与导数符号的关系 0)()(, 0ththat递增， 0)()(,thth

7、bat递减， 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ 1 y xy2 函数函数 单调区间单调区间 增区间增区间 减区间减区间 符号符号 xy 2 xy )(x f )0 ,(), 0( + R 增区间增区间 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ 函数函数 单调区间单调区间 减区间减区间 减区间减区间 符号符号 3 xy x y 1 )(x f )0 ,(), 0( R 增区间增区间 2 3xy 2 xy 0

8、 这里是具体函数，那么一般情况是否满足呢？这里是具体函数，那么一般情况是否满足呢？ 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ y x0 a b c 观察曲线上升的时候观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的每一点的切线的斜率的 大小大小; ;曲线下降的时候曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小每一点的切线的斜率的大小, 你发现了什么规律你发现了什么规律? ? ( )0f x ( )0f x 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指

9、正谢谢！评指正谢谢！ y x0 a b c ( )0f x ( )0f x 导数的符号显示了函导数的符号显示了函 数值变化的增减情况数值变化的增减情况. . 若在某个区间上有若在某个区间上有 有限个点使有限个点使 f (x)=0, 其 余 的 点 恒 有其 余 的 点 恒 有 f (x)0，则函数，则函数 f(x) 仍为增函数仍为增函数 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ 例题例题1 1、已知导函数、已知导函数 的下列信息：的下列信息：( )f x 当当1x41x0;0; 当当x4,x4,或或x1

10、x1时，时， 0;0; 当当x=4,x=4,或或x=1x=1时，时， =0.=0.则函数则函数f(x)f(x)图象的大致图象的大致 形状是形状是( (）。）。 ( )f x ( )f x ( )f x ( )yf x x y o 14 x y o 1 4 x y o 14 x y o 1 4 A B CD ( )yf x ( )yf x ( )yf x D 应用一：确定函数的图像大致形状应用一：确定函数的图像大致形状 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ ( )fx 练习练习1 已知函数已知函数 的

11、导函数的导函数 的图的图 像如图所示，那么函数像如图所示，那么函数 的图像的图像 最有可能的是最有可能的是 ( )f x( )fx ( )f x A下图中的下图中的( ). 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ 已知函数已知函数y=xf(x)的图像如左图所示，其中的图像如左图所示，其中f(x)是是 函数函数f(x)的导函数，则函数的导函数，则函数f(x)的图象大致是的图象大致是( ). y=x f (x) -1 1 1 -1 o y x 3 1 -2 1 -1 2 2 -2 o y x 1 -2 1

12、 -1 2 2 o y x 4 2 1 -2 o y x 4 2 2 -2 o y x AB C D C 练习练习2 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ 应用二：证明函数单调性或求单调区间应用二：证明函数单调性或求单调区间 法一法一:

13、 :可用定义证明可用定义证明. . 法二法二: :运用导数来证明运用导数来证明 哪哪 种种 方方 法法 更更 简简 洁洁? ? (2)(2)作差作差 f( (x1 1) )f( (x2 2) )，并变形，并变形. . 由定义证明函数的单调性的一般步骤：由定义证明函数的单调性的一般步骤： (1)(1)设设x1 1、x2 2是给定区间的任意两个值是给定区间的任意两个值, ,且且x1 11，求证：，求证：x ln(1x) 点评此类题的解题步骤一般是：首先构造函 数，然后再采用求导的方法证明利用函数的单 调性证明不等式也是证明不等式常用的方法 练习练习:已知：已知：0 x ，求证：，求证：sinx x

14、 tanx. 2 应用三：证明不等式应用三：证明不等式 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ fx ( )0f xa b( )( , )在在内内单单调调递递增增 fx ( )0f xa b( )( , )在在内内单单调调递递减减 ？ ？ 在区间在区间(a, b)内内 f(x)0 是是 f (x)在在(a, b)内单调递增的内单调递增的( ) A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要但不充分条件必要但不充分条件 C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 A 0)( x f 在某

15、区间恒成立在某区间恒成立 ？ )(xf 为常函数为常函数 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ 1、0)( x f 在某区间恒成立在某区间恒成立)(xf 为常函数为常函数 3、)(xf 为某区间的增函数为某区间的增函数0)(xf 且且0)( x f 的点离散的点离散 0)(xf 4、 )(xf 为某区间的增函数为某区间的增函数 fx ( )02、f xa b( )( , )在在内内单单调调递递增增 理由：理由：0)( x f如：如： 3 xy 可能可能 理由：理由：0)( x f可能可能 恒成立恒成立 2021年年7月月12日星期一日星期一导数的应用导数的应用函数的单调性函数的单调性若有错误请批若有错误请批 评指正谢谢！评指正谢谢！ 例例已知向量已知向量a(x2，x1)，b(1x，t)， 若函数若函数f(x)ab在区间在区间(1,1)上是增函数，求上是增函数，求 t的取值范围的取值范围 分析分析由向量的数量积和运算法则求函数由向量的数量积和运算法则求函数f(x) 的解析表达式，再的解析表达式，再f(x)0在在(1,1)上恒成立，上恒成立， 求出求