刚体的复杂运动

1、1 91 刚体平面运动的概述刚体平面运动的概述 92 平面运动分解为平动和转动平面运动分解为平动和转动 刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程 93 平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度 94 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 加速度瞬心的概念加速度瞬心的概念 习题课习题课 第九章第九章 刚体的平面运动刚体的平面运动 2 刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为 复杂的运动对它的研究可以在研究刚体的平动和定轴转动的 基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为上述 两种基本运动然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚 体上一点的速度和加速度的计算公式 9-1 刚体

2、平面运动的概述刚体平面运动的概述 一平面运动的定义一平面运动的定义 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保 持不变也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一 平面内运动具有这种特点的运动称为刚体的平面运动 3 例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，点作圆周运动，B点作直线运动点作直线运动，因此， AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动， 而是平面运动 4 请看动画 5 二平面运动的简化二平面运动的简化 刚体的平面运动可以刚体的平面运动可以 简化为平面图形简化为平面图形S在其自在其自 身平面内的运动身平面内的运动即在研 究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺

3、寸，只需 研究平面图形的运动，确 定平面图形上各点的速度 和加速度 6 9-2 平面运动分解为平动和转动平面运动分解为平动和转动 刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程 一平面运动方程一平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定 平面图形内任意一条线段的位置 任意线段AB的位置可 用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示因此图形S 的位 置决定于三个 独立的参变量所以 , AA yx 7 二平面运动分解为平动和转动二平面运动分解为平动和转动 当图形上点不动时（x,y坐标已定），则刚体作定轴转 动 当图形上 角不变时（x,y坐标已定） ，则刚体作平动 故刚体平面运动可以看成是平

4、动和转动的合成运动 平面运动方程平面运动方程 )( 1 tfxA )( 2 tfyA )( 3 tf 对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 ， 图形S 在该瞬时的位置也就确定了(平面刚体有3个自由度)。 , AA yx 8 例如车轮的运动例如车轮的运动 车轮的平面运动可以看成 是车轮随同车厢的平动和相对 车厢的转动的合成 车轮对于静系的平面运动车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）（绝对运动） 车厢（动系车厢（动系Ax y ) 相对静系的平动相对静系的平动 （牵连运动）（牵连运动） 车轮相对车厢（动系车轮相对车厢（动系Ax y ）的转动）的转动 （相对运动）（相对运动） 9 我们称动系上的原点为

5、基点基点，于是 车轮的平面运动车轮的平面运动 随基点随基点A的平动的平动 绕基点绕基点A的转动的转动 刚体的平面运动可以刚体的平面运动可以 分解为随基点的平动分解为随基点的平动 和绕基点的转动和绕基点的转动 10 再例如再例如: 平面图形在时间内从位置I运动到位置II 1.以A为基点: 随基点A平动到AB后, 绕基点转 角到AB 2.以B为基点: 随基点B平动到AB后, 绕基点转 角到AB 图中看出：AB AB AB ，于是有 21 1 2 21 21 21 2 0 1 0 , ; , limlim dt d dt d tttt 11 所以，平面运动随基点平动的运动规律与基平面运动随基点平动的

6、运动规律与基 点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取 无关无关(即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的 ,都是相同的）基点的选取是任意的 基点的选取是任意的。(通常 选取运动情况已知的点作为基点) 12 曲柄连杆机构曲柄连杆机构 AB杆作平面运动杆作平面运动 平面运动的分解平面运动的分解 （请看动画） 13 9-3平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度 根据速度合成定理 , rea vvv则点速度为： BAAB vvv 一基点法（合成法）一基点法（合成法） 取B为动点, 则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动 为圆周运动的合成, ABAB方向大小

7、 ,vv ;vv ;vv BArAeBa 已知：图形S内一点A的速度， 图形角速度求： 指向与 转向一致 取A为基点, 将动系固结于A点, 动系作平动。 A v B v 14 由于A, B点是任意的，因此 表示了图形上任 意两点速度间的关系由于恒有 ，因此将上式在AB 上投影，有 BAAB vvv ABvBA AB AABB vv速度投影定理速度投影定理 即 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影彼此相 等等这种求解速度的方法称为 速度投影法速度投影法 即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕平面图形上任一点的速度等于基点的速

8、度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和基点转动的速度的矢量和这种求解速度的方法称为基点法基点法， 也称为合成法合成法它是求解平面图形内一点速度的基本方法 二速度投影法二速度投影法 15 三瞬时速度中心法（速度瞬心法）三瞬时速度中心法（速度瞬心法） 1. 问题的提出问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大 简化于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等 于零？如果存在的话，该点如何确定？ 所以反向恰与方向 . , , AAPA vPAvAPv 0 P v 速度瞬心的概念速度瞬心的概念 平面图形S，某瞬时其上一点A速度 , 图形角速度，沿 方向取半直线AL, 然后

9、顺 的转向转90o至AL的位置,在AL上取长 度 则： / A vAP A v A v PAAP vvv 16 即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心 几种确定速度瞬心位置的方法几种确定速度瞬心位置的方法 已知图形上一点的速度 和图形角速度， 可以确定速度瞬心的位置（P点） 且在 顺转向绕A点 转90的方向一侧 , , A A vAP v AP A v A v 已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动, 则图形与固定面的接触点P为速度瞬 心 17 AB

10、 vv vva BA BA , )(同向与 AB vv vvb BA BA , )(反向与 已知某瞬时图形上A ,B两点速度 大小,且 BA vv , ABvABv BA , (b)(a) 已知某瞬间平面图形上A,B两点速度 的方向，且 过A , B两点分别作速度 的垂线,交点 P即为该瞬间的速度瞬心. BA vv , BA vv 不平行 BA vv , 18 另：对种(a)的情况，若vAvB， 则也是瞬时平动 已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线 垂直 此时, 图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度 =0, 图形上 各点速度相等, 这种情况称为瞬时平动瞬时平动. (此时各点的

11、加速度不 相等) 19 例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动 此时连杆BC的图形角速度 ， BC杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等 设匀，则 )( 2 ABaa n BB 而的方向沿AC的，瞬时平动与平动不同瞬时平动与平动不同 c a cB aa 0 BC 20 . 速度瞬心法速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法. 平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转 动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度 方向AP，指向与 一致。 APvA . 注意的问题注意的问题 速度瞬心在平面图形上的位置

12、不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动 刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速 度是不一定相同的。不同于刚体作平动。 21 解：机构中,OA作定轴转动,AB作平面运 动,滑块B作平动。 基点法（合成法） 研究 AB，以 A为基点，且方向如图示。 , lvA llABv llvv ll vv BAAB ABA AB / 45tgtg )(245cos/ cos/ （） 例 例1 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l， 取柄OA以匀 转动。 求：当 =45时, 滑块B的速度及AB杆的角速度 根据, BAAB v

13、vv 在点做 速度平行四边形，如图示。 22 )(2 / , lBPv llAPv lAPlv ABB AAB A （） 试比较上述三种方法的特点。 AB AABB vv根据速度投影定理 cos BA vv )(245cos/ cos/ ll vv AB 不能求出AB 速度投影法 研究AB, , 方向OA, 方向沿BO直线 lvA B v 速度瞬心法 研究AB，已知的方向，因此 可确定出P点为速度瞬心 BA vv , 23 9-4 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 加速度瞬心的概念加速度瞬心的概念 取A为基点，将平动坐标系固结于A点 取B动点，则B点的运动分解为相对运动 为圆周运动

14、和牵连运动为平动 n BABABArAeBa aaaaaaaa ; ; 于是,由牵连平动时加速度合成定理可得如下公式 rea aaa n BABAAB aaaa 一. 基点法 (合成法) 已知：图形S 内一点A 的加速度 和图形 的 , （某一瞬时）。 求： 该瞬时图形上任一点B的加速度。 A a 24 其中：，方向AB，指向与 一致； ，方向沿AB，指向A点。 ABaBA 2 ABa n BA 即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕 基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加速度 的方法称为基点法，也称为合成法。是求解平面图形内一点加速 度的基本方法。 上述公式是

15、一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求 出其余两个。由于 方位总是已知，所以在使用该公式 中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。 n BABA aa, n BABAAB aaaa 25 n BABA aa , 二加速度瞬心 由于 的大小和方向随B点的不同而不同,所以总可以 在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度 大小恰与基 点A的加速度等值反向，其绝对加速度 Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心 QA a A a0 Q a 注 注 一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点 一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关 系式. 即一般情况下,图形上任意两点A, B的加速度 AB

16、 B AB A aa 若某瞬时图形 =0, 即瞬时平动, 则有 即若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时 图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等 ABBABA aa 26 由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一 般 情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基 点法求图形上各点的加速度或图形角加速度 分析： 大小 ？ 2 方向 ？ 故应先求出 n POPOOP aaaa RvO/ （） 例例1 半径为R的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心O点的速度 及加速度 ,求车轮与轨道接触点P的加速度 O v O a 解：轮O作平面运动，P为速度瞬心， 27 由于此式

17、在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而 R a dt dv Rdt d OO 1 （） 由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度 瞬心当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心P的加 速度指向轮心 以O为基点，有 其中： 做出加速度矢量图，由图中看出： （ 与 等值反向） 即 n POPOOP aaaa R v R v RRaaRa OO n POOPO 2 22 )( , n POP aa O a PO a )(/ 2 Rva OP 28 解：(a) AB作平动，) , ( , n B n ABABABA aaaaaavv BOAO BOaAOa BOvAOv BA BA

18、21 2211 2211 ;/ ,/ ;/ ,/ 而 又 .; 2121 例 例2 已知O1A=O2B, 图示瞬时 O1A/O2B 试问(a),(b)两种情况下1和 2，1和2是否相等？ (a)(b) 29 (b) AB作平面运动, 图示瞬时作瞬时平动, 此时BAAB vv , 0 21221121 ,/ ,/ ,BOvAOvBOAO BA AB n B AB B AB n A AB A AB B AB A aaaaaa , 即 cossincossin 2 2222 2 1111 BOBOAOAO BA aaAB作瞬时平动时并由此看出即, ctg2 21 2 112 30 例例3 曲柄滚轮机

19、构 滚子半径R=15cm, n=60 rpm 求：当 =60时 (OAAB),滚轮的， 翻页请看动画翻页请看动画 31 请看动画 32 解解：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动 研究AB： rad/s 3 2 153 /30/ 1 APvA AB （） cm/s 30215 rad/s 230/6030/ OAv n A P为其速度瞬心 )(cm/s 320 3 2 1532 1 ABB BPv 分析分析: 要想求出滚轮的, 先要求出vB, aB P2 P1 vB P2为轮速度瞬心 33 取A为基点， 2222 cm/s60)2(15OAa A 指向O点 n BABAAB aaaa ), 3

20、 320 ) 3 2 (153( 22 2 BAABa AB n BA 沿 大小？ ？ 方向 作加速度矢量图，将上式向BA线上投影 n BAB aa0030cos )(cm/s5 .131 3 40 2 3 / 3 320 30cos/ 222 n BAB aa rad/s25. 715/320/ 2 BPvB B 2 2 rad/s77. 815/ 5 .131/BPaB B ）( ）( 研究轮B：P2为其速度瞬心 34 第九章刚体平面运动习题课第九章刚体平面运动习题课 一概念与内容一概念与内容 1. 刚体平面运动的定义 刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变 2. 刚体平面运动的

21、简化 可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平 面内的运动代替刚体的整体运动 3. 刚体平面运动的分解 分解为 4. 基点 可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点 随基点的平动（平动规律与基点的选择有关） 绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关） 35 5. 瞬心（速度瞬心） 任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点 瞬心位置随时间改变 每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动这 种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同 =0, 瞬心位于无穷远处, 各点速度相同, 刚体作瞬时平 动, 瞬时平动与平动不同 6. 刚体定轴转动和平面平动是刚体平面运动的特例 7.

22、求平面图形上任一点速度的方法 基点法： 速度投影法： 速度瞬心法： 其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例 为基点Avvv BAAB , AB AABB vv 为瞬心一致与PBPvBPv BB . , , 36 8. 求平面图形上一点加速度的方法 基点法： ，A为基点, 是最常用的方法 此外，当 =0,瞬时平动时也可采用方法 它是基点法在 =0时的特例。 n BABAAB aaaa AB A AB B aa 9. 平面运动方法与合成运动方法的应用条件 平面运动方法用于研究一个平面运动刚体上任意两点的速 度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形 角速度、角加速度之间的关系 合

23、成运动方法常用来确定两个相接触的物体在接触点处有 相对滑动时的运动关系的传递 37 二解题步骤和要点二解题步骤和要点 1. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动 形式注意每一次的研究对象只是一个刚体 2. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速 度(图形角速度)问题的方法, 用基点法求加速度(图形角加速 度) 3. 作速度分析和加速度分析，求出待求量 (基点法: 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图； 速度投影法: 不能求出图形 ; 速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键） 38 例例1 曲柄肘杆压床机构 已知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=

24、0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平 求该位置时的、 及ABBD D v 翻页请看动画翻页请看动画 39 请看动画 40 例例1 曲柄肘杆压床机构 已知:OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时, AB水平. 求该位置时的， 及 ABBD D v 解：OA,BC作定轴转动, AB,BD均作平面运动 根据题意： 研究AB, P为其速度瞬心 rad/s10 30 300 30 n m/s 5 . 11015. 0OAvA （ ） rad/s 16.7 376.0 25.1 60sin 5.1 1 ABAP vA AB

25、m/s 72. 216. 75 . 076. 016. 760cos 1 ABBPv ABB 研究BD, P2为其速度瞬心, BDP2为等边三角形DP2=BP2=BD rad/s 13.5 53.0 73.2 2 BP vB BD )(m/s 72.213.553.0 2 BDD DPv （） 41 例例2 行星齿轮机构 请看动画 42 解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点 ,)(22 11ooM rR r rR rPMv ooA r rR rrRv )(）( 方向均如图示,)(22 22ooM rR r rR rPMv 例例2 行星齿轮机构 已知: R, r , o 轮A作纯滚动，

26、求 21,MM vv 43 例 例3 平面机构中, 楔块M: =30, v=12cm/s ; 盘: r = 4cm , 与 楔 块间无滑动求圆盘的及轴O的速度和B点速度 请看动画 44 解解：轴O, 杆OC, 楔块M均作平动, 圆盘作平面运动，P为速度瞬心 , cm/s 12vvA rad/s 3230cos4/12cos/12/ rPAvA )(m/s 343230sin4sin rPOvo m72 2 1 42242120cos2 2222 OBPOOBPOPB ) ( m/s 3 .182143272PBPBvB ）( 例 例3 平面机构中, 楔块M: =30, v=12cm/s ; 盘

27、: r = 4cm , 与 楔块间无滑动求圆盘的 及轴O的速度和B点速度 45 比较比较例例2和和例例3可以看出可以看出, 不能认为圆轮只滚不滑时不能认为圆轮只滚不滑时,接接 触点就是瞬心触点就是瞬心, 只有在接触面是固定面时只有在接触面是固定面时, 圆轮上接触点圆轮上接触点 才是速度瞬心才是速度瞬心 每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和 角速度角速度, 并且瞬心在刚体或其扩大部分上并且瞬心在刚体或其扩大部分上, 不能认为瞬心在 不能认为瞬心在 其他刚体上其他刚体上. 例如例如, 例例1 中中AB的瞬心在的瞬心在P1点点,BD的瞬

28、心在的瞬心在P2 点点, 而且而且P1也不是也不是CB杆上的点杆上的点 46 例例4 导槽滑块机构 请看动画 47 例例4 导槽滑块机构 已知已知： 曲柄OA= r , 匀角速度 转动, 连杆AB的中点C处连接一 滑块C可沿导槽O1D滑动, AB=l,图示瞬时O,A,O1三点 在同一水平线上, OAAB, AO1C= =30。 求求：该瞬时O1D的角速度 解解：OA, O1D均作定轴转动, AB作平面运动 研究 研究AB: , 图示位置, 作瞬时平动瞬时平动, 所以 rvvrv AcB ; rvA 用合成运动方法 求O1D杆上与滑块C 接触的点的速度 动点动点: AB杆上C (或滑块C ),

29、动系 动系: O1D杆, 静系静系: 机架 48 绝对运动绝对运动：曲线运动，方向 相对运动相对运动：直线运动，方向/ O1D 牵连运动牵连运动：定轴转动，方向 O1D rvv ca ? r v ? e v 根据，作速度平行四边形作速度平行四边形 rea vvv rrvv Ce 2 3 30coscos l r l r CO v COv e DO DOe 2 3 sin/ 2 23 1 1 1 1 又 ）( 这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论 求解的综合性问题求解的综合性问题注意这类题的解法，再看下例 49 例例5 平面机构 请

30、看动画 50 例例5 平面机构 图示瞬时, O点在AB中点, =60, BCAB, 已知O,C在同一水平线上, AB=20cm,vA=16cm/s , 试求试求该瞬时AB杆, BC杆的角速度 及滑块C的速度 解解: 轮A, 杆AB, 杆BC均作平面运动, 套筒O作定轴转动, 滑块C平动. 取套筒上O点为动点动点, 动系动系固结于AB杆; 静系静系固结于机架, rea vvv , 由于沿AB, 所以方向沿AB并且与反向。 从而确定了AB杆上与O点接 触点的速度方向。 ra vv , 0 e v r v 研究AB, P1为速度瞬心 51 也可以用瞬心法求BC和vC，很简便 cm/s31631660 cm/s321622 60cos tgvv v v v BCB B B C cm3103 OBBCBCv BCCB 研究研究BC, 以B为基点, 根据 作速度平行四边形速度平行四边形 CBBC vvv cm/s 16 11 AABABB vAPBPv rad/s 3 5 4 60sin/10 16 sin/ 16 1 OAAP vA AB ）( （）rad/s 6 . 1