浅谈导数在中学数学建模中的应用

1、浅谈导数在中学数学建模中的应用 【标题】浅谈导数在中学数学建模中的应用 【作者】杨 鹏 飞 【关键词】导数最值函数数学模型 【指导老师】赵 博 【专业】数学与应用数学 【正文】1?引言今天，导数作为研究函数性态的有力工具，是对学生进行理性思维训练的良好素材，是我国高考命题的热点，高考中主要考察利用导数求函数的单调性、单调区间、极值点、凹凸性、画图象等许多性质。除此以外，导数在现实中的重要性，也越来越得到人们的认肯，如在物理运动学中和微观经济学中边值问题的应用。特别的在中学利用导数建立数学模型解决优化设计问题，有利于培养学生创新意识，提高学生分析问题、解决问题的能力。2?导数溯源在西方，导数的思

2、想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的。但导数作为微分学中最主要的组成部分则是由牛顿（Isac Newton，16431727）与莱布尼茨（Gottfried Wilhelm，16461716）分别通过研究不同的问题而创立的。11666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文流数简论，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分），从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”，并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微

3、积分基本定理”。“微积分基本定理”也称为牛顿莱布尼茨定理，牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理。而莱布尼茨与牛顿的切入点不同，他创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在教师学报上发表了第一篇微分学论文一种求极大值与极小值以及求切线的新方法。在我国，导数作为微积分教学改革内容有一个漫长的过程。微积分内容在我国数学中几进几出,究其原因值得深思。1978年由教育部颁布的数学教学大纲中提了精简传统数学内容,增加微积分的初步知识。1988年以后,由于高考不考察其内容的导向影响,微积分实际上形同虚设。因此,关于微积分

4、内容是否要增加,其深度、广度、体系安排和教学规律又怎样掌握,一直是教育界同仁努力探索的问题。和我国形成鲜明对比的是世界上大部分发达国家受新数运动的影响早已将微积分等近现代数学的基础知识作为中学数学的教学内容,把微积分放在突出位置作为提高人才培养质量的关键来加以改革。例如,美国从1958年,日本从1951年就开始在高中讲授微积分,他们强调拓宽知识面,注重问题解决,强调理解和使用新技术等。而我国导数第一次出现在高考题中是在2000年，经过几年的发展已成为各地高考的热点，纵观2007年全国各地的高考有近三分之二的试卷中都出现了与导数相关的试题。3?中学数学开设导数等微积分课程的探讨随着教育改革的不断

5、深化,课程改革问题摆到了教育理论界的面前。在我国中学是否开微积分初步一度成为人们讨论的热点问题,在新一轮的课程改革当中,也再一次将导数及其应用规定为选修内容。现在看来,无论是从社会发展需要,还是对人的培养方面来看都是必要的。首先，微积分中蕴涵着许多重要的思想,由常量到变量,由孤立到发展,由静止到变化,由有限到无限,符合人的认识规律。而极有价值的极限思想,?以“直”代“曲”,以“局部”研究“整体”,无穷分割等思想是初等数学中未能涉及的。这些思想和方法有利于实现学生数学思维的飞跃,有利于学生形成辨证逻辑思维,使复杂问题简化。我们设想,从未接触微积分内容的高中生进入社会所面临的是所学的知识的技能与实

6、际的具体需要还甚远的情形将会怎样。从这一点来讲,在中学开设微积分是必要的,也势在必行。其次，面对21世纪这个信息时代,数学要与之相适应,就要作适当的更新,要逐步渗透一些高等数学思想，从本质上讲初等数学和高等数学本身就是无法分割的，在中学开设微积分可与大学形成更好的衔接,为初等数学过渡到高等数学奠定了一定的基础，也为进入社会工作生活的部分学生掌握新技术和新知识奠定了良好的基础。让学生能够认识到数学知识的统一性,应用微积分可以解决初等数学难以解决的一些问题。再次,从学生的心理发展来看,微分学是高度抽象思维的结果,在高中开设部分微积分课程是完全符合学生心理发展规律的。最后,从标准实施情况来看,微积分

7、在中学开设是完全可以的,我国大部分地区的师资配备、硬件设施已明显改善,为微积分的实施提供了物质保障。4导数在中学数学的基础理论4.1导数概念的理解一般高中数学教材引入导数有三种模式：2第一种，从运动学角度，借助物理课中瞬时速度概念引入导数概念，这是从实际问题中提炼数学模型的范例。这种模式的好处是，利用高中物理课中已经讲过的瞬时速度为基础讲变化率，并利用此方法定义的导数反回来求加速度和速度，可以跟物理学联系比较，学生容易接受；同时，也符合微积分发展史上导数产生的现实意义，是早期中学教材引入导数的常效法。第二种，从纯数学角度，以变量和函数极限方式定义引入导数概念，并结合曲线上某点切线的斜率代表导数

8、这一几何意义加以阐述。这是目前高等数学教育中数学课本普遍采取的方法，较为抽象，需要较强的函数极限知识作基础，被部分中学教材引入采用。第三种，从初等数学角度考察导数的极限定义相形式，以直观描述为主，由具体实例引入，经历由平均变化、瞬时变化率刻画现实问题的过程，间接给出导数概念，而不直接追求理论上的抽象性和严谨性。这是新近中学数学教材引入导数所采用的方法模式。我们认为，以上第三种引入模式较符合高中数学导数教学引入，其例子可来源于当前现实生活普遍关注的新问题，如利率的跌降、气体分子的扩散率等，符合高中生的认知特点，易引发兴趣；同时，弱化了概念，注重了导数在实际问题中的运用。在国家高中数学课程标准组2

9、003年全日制普通高中数学课程标准（实验）（简称新课标）中所采用的就是第三种模式。4.2导数方法的运用其一，可以利用导数判断函数的单调性，当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f/(x) 0，则f(x)为增函数；如果 f/(x) 0，则f(x)为减函数。其二，可以利用导数解决极大值和极小值问题，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)）,我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）。其三，可以利用导数解决最大值和最小值问题，我们知道连续函数y=f(x)在闭区间a,b上一定存在最大值和最小值，且最大值和最小值只可能在区间（a,b）内的极值点

10、和端点处得到。因此可直接求出一切可能的极值点（驻点及个别不可导点）和端点处函数值，比较这些值的大小，即可得到函数的最大值和最小值。微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。 中把导数作为选修课程并要求通过大量实例，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。初步了解定积分的概念为以后进一步学习微积分打下基础。数学建模在培养学生创新能力和分析问题，解决问题的能力等方面有着重要作用，而微积分增加了培养学生数学思维能力的全新素材和解决实际问题的重要工具。所以本文从微积分在数学建模中的应用这一角度展开分析。5?导数在中学数学建模中的应用

11、一般地说，数学模型可以描述为，对现实世界的某一特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，并运用适当的数学工具得出一个数学结构。数学建模是讨论建立数学模型的全过程。是运用数学思想、方法和知识解决问题的过程，它为学生创设了提出问题、探索思考和实际应用的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，有助于激发学生学习数学的兴趣。5.1?中学数学建模的步骤建立数学模型解决实际问题是一种创造性的思维活动它没有统一的模式和固定的方法，目前数学的教学理论也尚未形成，然而它的七个步骤却是所有建模教材的共同内容，也是数学建模者必须掌握的内容，

12、如图12所示：?图1应该指出，并不是所有的建模都要经过这些步骤，有时各步骤之间的界限也不那么明显，建模时要不拘泥于形式上的按部就班，而应该采取灵活多边的表述形式。5.2?中学数学建模的过程根据对数学建模的一般步骤进行分析，可以将数学建模的过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，如图22所示：图25.3?中学数学建模的特点学建建模活动是讨论建立数学模型的全过程,是通过建立数学模型解决实际问题的全过程,是一种数学思维方式。它为学生创设了“提出问题、探索思考和实际应用”的空间。其特点为:创新性，由于数学建模活动所讨论的是现实世

13、界中的实际问题,而现实世界的复杂性往往使所提出的问题不能直接套用数学定理来解决,这就需要较多的创新工作；应用性，即给出的是一种现实的情景?,一种实际的需求?,让学提出的问题中条件可能不足?,也可能冗余?,问题有较强的探索性?,需要从迷离混沌的状态中?,运用思维能力?,找出一条主要线索。因此?,我们认为?,通过数学建模活动?,可以激发学生的创造能力?,提高应用数学知识解决实际问题的能力。5.3?导数在中学数学建模中的应用举例从数学建模的内涵、特点及步骤可看出,在数学建模的过程中,要求学生具有丰富的想象力、洞察力,数学语言的翻译能力,提出问题、分析问题、解决问题的能力和创新能力。以往我国中学数学建

14、模活动仅限于初等数学方法的应用?,内容比较贫乏。作为重要的工具性知识的微积分进入中学后?,可以大大丰富数学建模活动的内容?,促使学生涉猎更广泛的领域?,唤起学生求知的欲望?,既体验到数学在现实世界中的作用?,又实现了数学教育的目标?,即培养学生的数学思维能力、创新能力及分析和解决问题的能力。运用微积分知识?,人们建立了许多数学模型?,并解决了许多重大问题。例如?,17?世纪伟大的科学家牛顿在研究力学的过程中发明了微积分?,又在开普勒三定律的基础上运用微积分?,成功地推导出了著名的力学定律万有引力定律?,这一创造性的成就可以看作是历史上著名的数学模型之一;最初的人口预测和控制模型?马?尔?萨?斯

15、（Malthus）人口模型和阻滞增长模型（Logis2tic)模型，是应用微积分知识建立起来的;还有描述生产量、劳动力、投资之间变化规律的道格拉斯?（Douglas）生产函数等等也要用到微积分知识。又如,有一段时间,美国原子能委员会处理浓缩放射性废物的方式是装入密封性很好的圆桶中,然后扔到深海里。这种做法是否造成放射性污染?,引起了生态学家和社会学家的关注?,通过有关微积分数学模型的建立?,成功解决了放射性废物处理问题中的争论。此外?,微积分还可以解决许多中学生能够理解的、现实生活中的实际问题?,这就为我们在中学开展数学建模活动奠定了良好的基础?,请看以下几例:?案例:?交通管理中黄灯问题14在十字路口的交通管理中,亮红灯之前,要亮一段时间黄灯,这是为了让那些正行驶在十字路口上或距十字路口太近以至无法停下的车辆通过路口,那么,黄灯应该亮多长时间呢1、问题分析：这个问题提得笼统含糊,因为十字路口的交通现象是很复杂的,并且通过路口的车辆的型号、行驶速度和方向等等也千差万别。因此,我们分析这个问题必须通过假设、简化,明确问题。2、模型假设：（1）十字路口的车辆秩序良好,无堵塞;（2）所有车辆长度相同,行驶速度相同;（3）所有车辆都是直接穿过路口。3、模型建立：