初三数学圆周角和圆心角的关系

1、圆周角和圆心角圆周角和圆心角 的关系的关系(2)(2) 3.33.3 学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟，学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟， 学思疑问学思疑问才会感悟生活的乐趣、数学学习的快乐！才会感悟生活的乐趣、数学学习的快乐！ 1.什么是圆周角？什么是圆周角？ 顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角. . 2.填空：填空： 一条弧所对的一条弧所对的_ 等于它所对等于它所对-的的 度度 数的一半数的一半. 圆周角的度数等于它所对的弧圆周角的度数等于它所对的弧_. 一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的 _.

2、 圆周角圆周角 圆心角圆心角 度数的一半度数的一半 2 2倍倍 练一练练一练 1、如图，在、如图，在 O中，中，ABC=50， 则则AOC等于（等于（ ） A、50； B、80； C、90； D、100 A C B O D 2、如图，、如图，ABC是等边三角形，是等边三角形， 动点动点P在圆周的劣弧在圆周的劣弧AB上，且不上，且不 与与A、B重合，则重合，则BPC等于（等于（ ） A、30； B、60； C、90； D、45 C A B P B 1 1：已知：已知OO中弦中弦ABAB等等于半径，于半径， 求弦求弦ABAB所对的圆心角和圆周角的度数。所对的圆心角和圆周角的度数。 O A B 圆心

3、角为圆心角为60度度 圆周角为圆周角为 30 度度 或或 150 度。度。 练练 习习 . ,3:1. 1 圆心角和圆周角的度数 求这条弦所对的的两部分一条弦分圆为 O A B 新知探究新知探究1 如图如图1,1,圆中一段弧圆中一段弧(AC)(AC)对着许多个圆周对着许多个圆周 角角, ,这些个角的大小有什么关系这些个角的大小有什么关系?为什么为什么? O F B A C E G 图图2 由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论? O O B B C C D D E E A A 图图1 如图如图2,2,圆中圆中AB=EF,AB=EF,那么那么CC和和GG的大小的大小 有什么关系有什么关系?为什

4、么为什么? 新知探究新知探究2 O F B A C E G 如图如图, ,圆中圆中C=G, ,那么那么 和和 的大小的大小 有什么关系有什么关系?为什么为什么? EF AB 由此你又能得出什么结论由此你又能得出什么结论? 用于找相用于找相 等的弧等的弧 圆周角定理的推论圆周角定理的推论1： 同圆或等圆中同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等相等的圆周角所对的弧也相等. 用于找相用于找相 等的角等的角 1.1.如图如图(1)(1)，BCBC是是OO的直径，的直径，A A是是OO上上 任一点，你能确定任一点，你能确定BACBAC的度数吗的

5、度数吗? ? B C O A 图图(1) 2.2.如图如图(2)(2)，圆周角，圆周角BAC =90BAC =90，弦，弦BCBC经过经过 圆心圆心O O吗？为什么？吗？为什么？ O BC A 图图(2) 问题讨论问题讨论 由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论? F E 圆周角定理的推论圆周角定理的推论2： 2.半圆半圆（或直径）（或直径）所对的圆周角是直角；所对的圆周角是直角； 3.90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是直径直径。 圆周角定理的圆周角定理的推论推论： 推论推论1 1 同圆或等圆中同圆或等圆中，同弧或等弧所，同弧或等弧所 对的圆周角相等；相等的圆周角所对的圆周角相等；相等

6、的圆周角所 对的弧也相等对的弧也相等. . 推论推论2 2 半圆（或直径）所对的圆周角半圆（或直径）所对的圆周角 是直角；是直角； 9090的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径. . 1。为什么有些电影院的。为什么有些电影院的座位排列（座位排列（横排）呈圆横排）呈圆 弧形弧形？说一说这种设计的合理性。？说一说这种设计的合理性。 O O D A BC 1. 1.如图如图,AB,AB是是OO的直径，的直径，BDBD是弦是弦, ,延长延长BDBD 到到C,C,使使DC=BD,DC=BD,ACAC与与ABAB的大小有什么关系的大小有什么关系? ? 为什么为什么? ? - 2.2.如图如图, ,

7、ABCABC的顶点均在的顶点均在OO上上, , AB=4, C=30AB=4, C=30, ,求求OO的直径的直径. . O O A C B E E 2.如图，如图， O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm， ACB的平分线交的平分线交 O于于D，求，求BC、AD、BD的长的长 8610 2222 ACABBC 又在又在Rt ABD中，中，AD2+BD2=AB2， AB C D O 解：解：AB是直径，是直径， ACB= ADB=90 在在RtABC中，中， CD平分平分ACB， AD=BD. 22 105 2(cm) 22 ADBDAB 5.如如图图 AB是是 O的直径的直径, C

8、 ,D是圆上的两点是圆上的两点, 若若ABD=40,则则BCD=. AB O C D 40 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（）同弧或等弧所对的圆周角相等（） 2.相等的圆周角所对的弧相等（）相等的圆周角所对的弧相等（） 3.90的圆周角所对的弦是直径（）的圆周角所对的弦是直径（） 4.直径所对的角等于直径所对的角等于90（ ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于长等于半径的弦所对的圆周角等于30（ ） 当堂训练（16）分钟 6.判断题：判断题： （1）等弧所对的圆周角相等）等弧所对的圆周角相等. （ ） （2）相等的圆周角所对的弧也相等）相等的圆周角所对的弧也相等.（ ） （3）90的角所对的

9、弦是直径的角所对的弦是直径. （ ） （4）同弦所对的圆周角相等）同弦所对的圆周角相等. （ ） X X X X X X O B A C E O A BC 9、 若弧若弧BC的度数为的度数为1000, 则则 BOC=_ ,A=_ 10、如图如图(2)四边形四边形ABCD中中, B与与1互补互补,AD的延的延 长线与长线与DC所夹所夹2=600 , 则则1=_,B=_. 11. 判断判断:圆上任意两点之间分圆周为两条弧圆上任意两点之间分圆周为两条弧, 这两条弧的度数和为这两条弧的度数和为3600( ) 100 50 120 60 A B C O E D C B A 2 1 12.12.填空题填空

10、题: : (1)(1)如图所示如图所示, , BAC=BAC= ,DAC=,DAC= . . D A B C DBCBDC O O A C B (2)(2)如图所示如图所示,O,O的半径为的半径为10cm,10cm, C C为为OO上一点上一点,BAC=30,BAC=30, , 则则BC=BC= cmcm 10 基础练习：基础练习： M N O B A C 13如图，已知如图，已知OA、OB是是 O的半径，点的半径，点C为为AB的的 中点，中点，M、N分别为分别为OA、 OB的中点，求证：的中点，求证： MC=NC O B C A E 14.如图，如图，BC为为 O的直径，的直径，OA是是 O

11、的半径，弦的半径，弦 BEOA, 求证：求证：AC=AE 证明证明：连结：连结AD. AB是圆的直径是圆的直径 ADB=90， ADBC AB=AC， AD平分平分BAC，即，即BAD=CAD， BD= DE（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等 （同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。）。 A B C D E 已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC, 以以AB为直径的圆交为直径的圆交BC于于D,交交AC于于E, 求证：求证： BD=DE 如图，以如图，以OO的半径的半径OAOA为直径作为直径作OO1 1, , OO的弦的弦ADAD交交OO1 1于于C,C,则则 (1)OC(1

12、)OC与与ADAD的位置关系是的位置关系是_ _ ; ; (2)OC(2)OC与与BDBD的位置关系是的位置关系是_ ; ; (3)(3)若若OC = 2cm,OC = 2cm,则则BD = _BD = _ cmcm。 OCOC垂直平分垂直平分ADAD 平平 行行 4 C C D D O O1 1 A AB B O O 问：若点问：若点D在在圆外圆外， 上述结论仍成立吗？上述结论仍成立吗？ 例例2 2：已知，如图，圆内接已知，如图，圆内接ABCABC中，中， AB=ACAB=AC，弦，弦AEAE交交BCBC于于D D 求证：求证：ABDABDAEBAEB E C O A B D AEADAB

13、2 )2( O O C C D D B B A A 已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD是是 圆的内接四边形并且圆的内接四边形并且ABCDABCD是是 平行四边形。平行四边形。 求证：四边形求证：四边形ABCDABCD 是矩形。是矩形。 若若ABCDABCD为圆内接四边形，则下列哪为圆内接四边形，则下列哪 个选项可能成立个选项可能成立（ ） （A）A B C D 1 2 3 4 （B）A B C D 2 1 3 4 （C）A B C D 3 2 1 4 （D）A B C D 4 3 2 1 B 补充练习：补充练习： (4)梯形梯形ABCD内接于内接于 O,ADBC, B=750

14、,则则C=_ 75 返回 D B A C O 已知顶角已知顶角A=50A=500 0的等腰的等腰ABCABC 内接于内接于OO，D D是是OO上一点，上一点， 则则ADBADB的度数是（的度数是（ ） A.50A.500 0 B.65 B.650 0 C.50C.500 0或或65650 0 D.65 D.650 0或或1151150 0 思考题：思考题： 练习：练习：如图， 如图，P是是ABC的外接圆上的一点的外接圆上的一点 APC=CPB=60。求证：。求证：ABC是等边三角形是等边三角形 A P B C O 证明：证明： ABC=APC=60 (同弧所对的圆周角相等）同弧所对的圆周角相等

15、） BAC=CPB=60 ABC等边三角形。等边三角形。 ABC= BAC= ACB= 60 O O D D A A B B C C N M E E 3.3.如图如图OO中中,D,D、E E分别是分别是ABAB和和ACAC的中点的中点, , DEDE分别交分别交ABAB和和ACAC于点于点M M、N; N; 求证求证: :AMNAMN是等腰三角形是等腰三角形. . 三、应用举例：三、应用举例： 练习：练习： 4、如图，在、如图，在 O中，中，2BC=DE， DOE=64， 求求 A的度数的度数。 A B C D E O 练习练习1：如图，如图，AEOAEO的直径的直径, , ABCABC的顶点

16、的顶点 都在都在OO上上,AD,AD是是ABCABC的高的高; ; 求证：求证：AB AC = AE AD A O B C D E 分析：分析：要证要证AB AC = AE AD AB AD AE AC ADC ABE 或或ACE ADB 练习练习4:4: 如图，如图，RtABC中，中，C=90，AC=5， BC=12，以，以C为圆心，为圆心，AC为半径的圆交为半径的圆交AB于于 点点D.求求AD的长的长. C AD B 例题精解例题精解 例例2、如图，、如图，AD是是ABC的高，的高，AE是是ABC的外接圆的外接圆 直径。求证：直径。求证：AB AC = AE AD A O BC D E 分

17、析：要证分析：要证AB AC = AE AD AB AD AE AC ADC ABE 或或ACE ADB 题后思：题后思：1 1、证明题的思路寻找方法；、证明题的思路寻找方法； 2 2、等积式的证明方法；、等积式的证明方法； 3 3、辅助线的思考方法。、辅助线的思考方法。 如图，如图，AEOAEO的直径的直径, , ABCABC的顶的顶 点都在点都在OO上上,AD,AD是是ABCABC的高的高; ; 求证：求证：AB AC = AE AD 变式：变式： ABC内接于内接于 O ， 若若1=2. 求证：求证：ABAC=AEAD. 变式：变式：ABC内接于内接于 O ， 若弦若弦AE平分平分BAC

18、. 求证：求证：ABAC=AEAD. O BC A E D 1 2 例例1、（99年北京中考题）年北京中考题） 在在 O中，中，CD过圆心过圆心O，且，且 CDAB于于D，过点，过点C任作一任作一 弦弦CF交交 O于于F，交，交AB于于E， 求证：求证：CB=CECF O AB C D E F 练习练习2：如图，如图，AB为为O的直径，的直径，DC为弦，为弦， ABDC，F为弧为弧BC上的一点，上的一点，AF交交DC 于于E.求证：求证：AD2=AEAF. O C D A B F E 讨论与思考讨论与思考 A B C D O E 如图，如图，CD是是 O的直径，的直径， 弦弦ABCD于于E，那么你，那么你 能得到什么结论？能得到什么结论？ 结论结论： （1）AE = BE，AC = BC，AD = BD （2）AC = BC，CAB = ABC = D， ACE =BCE =DAB （3）BC2 = AC2 = CE CD，AD2 = DE DC BE2 = AE2 = DE CE 推论推论3 3： 圆内接四边形对角互补。圆内接四边形对角互补。 对角互补的四边形内接于圆。对角互补