大学物理学习资料：Zb_3

1、1 4 简谐振动的合成简谐振动的合成 4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成 4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成垂直方向、同频率简谐振动的合成 4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成 4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成 本讲提纲本讲提纲 作业：作业：6-10， 6-11 , 6-12 2 代数方法：设两个振动具有相同频率，代数方法：设两个振动具有相同频率， 同一直线上运动，有不同的振幅和初相位同一直线上运动，有不同的振幅和初相位 4 4 简谐振动的合成简谐振动的合成 4.1 同方向、同频率

2、的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成 )cos()( 111 tAtx )cos()( 222 tAtx )()()( 21 txtxtx tAAcos)coscos( 2211 tAAsin)sinsin( 2211 tAtAsinsincoscos )cos(tA 结论： 仍然是同频率仍然是同频率 的简谐振动的简谐振动 合振幅合振幅 3 )cos( 1221 2 2 2 1 2 AAAAA 式中：式中： 2211 2211 coscos sinsin AA AA arctg 可见：可见： ,2102 12 kk 21 AAA 合振幅最大。合振幅最大。 2 A A 1 A 4 2

3、A A 1 A 2 1 X Y 11 cosA 22 cosA 11 sinA 22 sinA 几何方法几何方法 )cos( 1221 2 2 2 1 2 AAAAA 2211 2211 coscos sinsin AA AA arctg 5 )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA 上面得到上面得到 2211 2211 coscos sinsin AA AA arctg 讨论一：讨论一： , 2, 1, 02 12 kk 21 AAA合振幅最大。合振幅最大。 2 A A 1 A 当当 称为干涉相长。称为干涉相长。 21 AA 1 2AA 6 讨论二：讨论二： | 21 AAA 当当

4、 时，时， 称为干涉相消称为干涉相消 21 AA 0A 2 A A 1 A 讨论三：讨论三： 1 A 2 A A ,)(21012 12 kk | 2121 AAAAA k 12 一般情况一般情况 7 4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成 利用三角函数关系式：利用三角函数关系式： 合成振动表达式合成振动表达式： 为了简单起见，先讨论两个振幅相同，为了简单起见，先讨论两个振幅相同， 初相位也相同，在同方向上以不同频初相位也相同，在同方向上以不同频 率振动的合成。其振动表达式分别为：率振动的合成。其振动表达式分别为： 22 2 coscoscoscos )cos

5、()cos()( tAtAtx 21 )cos()( tAtx 22 )cos()( tAtx 11 8 coscos )cos1 ( 2 1 )cos1 ( 2 1 )cos1 ( 2 1 )cos1 ( 2 1 2 4 ) 2 sin 2 sin 2 cos 2 (cos 2 4 ) 2 sin 2 sin 2 cos 2 )(cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 (cos 2 4 2 cos 2 cos 2 4 2222 9 21 与当当 都很大，且相差甚微时，可将都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分，视为振幅变化部分， 合成振动是以合成振动是以 为角频率的谐振动。为角

6、频率的谐振动。2/ )( 12 | 2/)cos(2| 12 tA 其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定， 即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种 合振动忽强忽弱的现象称为合振动忽强忽弱的现象称为拍拍。 )cos()cos()( tAtAtx 21 )( cos ( cos 22 2 1212 tt A ） 10 单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频 Wave 显然，拍频是振动显然，拍频是振动 的频率的两倍。的频率的两倍。 即拍频为：即拍频为： )cos(t 2 12 )(

7、tx t 12 12 22 1 2 )( ) 2 ( 2 12 11 4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成垂直方向、同频率简谐振动的合成 设一个质点同时参与了两个振动方向相互设一个质点同时参与了两个振动方向相互 垂直的同频率简谐振动，即垂直的同频率简谐振动，即 );cos( 101 tAx)cos( 202 tAy 1010 1 sinsincoscos tt A x 2020 2 sinsincoscos tt A y )sin(sincoscos 102010 2 20 1 t A y A x 12 )sin(sincoscos 102010 2 20 1 t A y A x )sin(

8、cossinsin 102010 2 20 1 t A y A x 2 21 2 2 2 2 1 2 2 sincos AA xy A y A x )( 1020 上式是个椭圆方程，具体形状由上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定。相位差决定。 质点的运动方向与质点的运动方向与 有关。当有关。当 时，时， 质点沿顺时针方向运动；当质点沿顺时针方向运动；当 时，时， 质点沿逆时针方向运动。质点沿逆时针方向运动。 2 0 21 AA 当当 时，正椭圆退化为圆时，正椭圆退化为圆。 13 讨论讨论1 0 1020 )( 0 2 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x x A A y

9、 1 2 所以是在所以是在 直线上的运动。直线上的运动。 y x 2 21 2 2 2 2 1 2 sincos 2 AA xy A y A x ZD_7hech 14 讨论讨论2 )( 1020 0 2 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x x A A y 1 2 所以是在所以是在 直线上的振动。直线上的振动。 讨论讨论3 2 1020 )( 1 2 2 2 2 1 2 A y A x 所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ， Y轴半轴长为轴半轴长为 的椭圆方程，且顺时针旋转。的椭圆方程，且顺时针旋转。 1 A 2 A y x 15 质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。 X

10、和和Y方向的相位差决定旋转方向方向的相位差决定旋转方向。 21 AA 讨论讨论5 讨论讨论4 所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ， Y轴半轴长为轴半轴长为 的椭圆方程，且逆时针旋转。的椭圆方程，且逆时针旋转。 1 A 2 A 1 2 2 2 2 1 2 A y A x 2 3 1020 )( 16 讨论讨论6 k2 1020 则为任一椭圆方程。则为任一椭圆方程。 3210 2 12 1020 ， k k 综上所述：两个频率相同的互相综上所述：两个频率相同的互相 垂直的简谐振动合成后，合振动垂直的简谐振动合成后，合振动 在一直线上或者在椭圆上进行在一直线上或者在椭圆上进行 (直线是退化了的

11、椭圆直线是退化了的椭圆)当两个当两个 分振动的振幅相等时，椭圆轨分振动的振幅相等时，椭圆轨 道就成为圆。道就成为圆。 ZD_7hech 17 4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成 CAIUPS 一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线， 即合成运动不是周期性的运动。即合成运动不是周期性的运动。 下面就两种情况讨论下面就两种情况讨论 视为同频率的合成，不视为同频率的合成，不 过两个振动的相位差在缓慢地变化，过两个振动的相位差在缓慢地变化， 所以质点运动的轨道将不断地从下图所以质点运动的轨道将不断地从下图 所示图形依次的循环变化。所示图

12、形依次的循环变化。 0 12 12 0 2 12 当当 时是顺时针转；时是顺时针转； 时是逆时针转。时是逆时针转。 演示演示caiups 偏振偏振 光中的振动合成光中的振动合成 18 0 12 4 12 4 3 12 4 5 4 7 2 12 2 3 19 2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，如果两个互相垂直的振动频率成整数比， 合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有 周期。这种运动轨迹的图形周期。这种运动轨迹的图形 称为李萨如图形。称为李萨如图形。 用李萨如图形用李萨如图形 在无线电技术在无线电技术 中可以测量频中可以测量频 率：率： 在示波器上，垂直方

13、向与水平方向同时在示波器上，垂直方向与水平方向同时 输入两个振动，已知其中一个频率，则输入两个振动，已知其中一个频率，则 可根据所成图形与已知标准的李萨如图可根据所成图形与已知标准的李萨如图 形去比较，就可得知另一个未知的频率。形去比较，就可得知另一个未知的频率。 2:1: yx TT 20 4 简谐振动的合成简谐振动的合成 4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成 4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成垂直方向、同频率简谐振动的合成 4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成 4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的

14、简谐振动的合成 本讲提纲本讲提纲 作业：作业：6-10， 6-11 , 6-12 21 本章要点 本章要点 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程 2 2 1 kxxU )( 2 0 mk 令 kxxm 0 2 0 xx )cos()( 00 tAtx 单摆单摆 0 l g l g 0 sinmgl dt d ml 2 2 2 Imghsin 为为m绕绕O点转动的转动惯量点转动的转动惯量I 0 I mgh 复摆（物理摆）复摆（物理摆） I mgh 2 0 C O mg 222 2 1 4 1 4 1 kAkAkA pk EEE 简谐振动的能量简谐振动的能量 * * 任一简谐振动总能量任一简谐振动总能量 与振幅的平方成正比与振幅的平方成正比 K m T 2