北大材料力学--第一章拉压

1、 轴向拉压举例轴向拉压举例 截面法与轴力截面法与轴力 拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力 拉压杆斜截面上的应力拉压杆斜截面上的应力 轴向拉压的变形分析轴向拉压的变形分析 拉伸和压缩时材料的力学性能拉伸和压缩时材料的力学性能 轴向拉压的强度计算轴向拉压的强度计算 曲柄连杆机构曲柄连杆机构 连杆连杆 P 特点：特点： 连杆为直杆连杆为直杆 外力大小相等外力大小相等 方向相反沿杆方向相反沿杆 轴线轴线 杆的变形为轴向伸杆的变形为轴向伸 长或缩短长或缩短 等直杆沿轴线受到一对大小相等方向相反的力作用，称为轴向等直杆沿轴线受到一对大小相等方向相反的力作用，称为轴向 拉压。拉压。 为了分析拉压杆的强

2、度和变形，首先需为了分析拉压杆的强度和变形，首先需 要了解杆的内力情况要了解杆的内力情况 材料力学中，采用截面法研究杆的内力材料力学中，采用截面法研究杆的内力 1、截面法、截面法 将杆件假想地沿某一横截面切开，去掉一部分，将杆件假想地沿某一横截面切开，去掉一部分， 保留另一部分，同时在该截面上用内力表示去掉部保留另一部分，同时在该截面上用内力表示去掉部 分对保留部分的作用，建立保留部分的静力平衡方分对保留部分的作用，建立保留部分的静力平衡方 程求出内力。程求出内力。 P I PP III P II N S SX=0：+N- -P=0 N=P S SX=0：- -N+ +P=0 N=P N x

3、x 截面法的步骤：截面法的步骤： 注意：外力的正负号取决于坐注意：外力的正负号取决于坐 标，与坐标轴同向为正，标，与坐标轴同向为正， 反之反之 为负。为负。 截面法求内力举例：截面法求内力举例：求杆求杆AB段和段和BC段的内力段的内力 A B C 2P P P 1 1 2 2 2P N1 N2 020 1 - PNXPN2 1 020 2 -+ PPNX PN 2 2P P x 2、轴力与轴力图、轴力与轴力图 拉压杆的内力称为轴力，用拉压杆的内力称为轴力，用 N 表示表示 轴力沿横截面的分布图称为轴力轴力沿横截面的分布图称为轴力 图图 N |N|max=100kN + - - 150kN100

4、kN50kN NII= - -100kN 100kN II II NII I I II II 50kN 100kN NI=50kN I NI I 50kN 2-3 2-3 应力的概念应力的概念 拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上的应力 1、应力的概念、应力的概念 为了描写内力的分布规律，我们将单位面积的内力称为应力。为了描写内力的分布规律，我们将单位面积的内力称为应力。 在某个截面上，在某个截面上， 与该截面垂直的应力称为正应力。与该截面垂直的应力称为正应力。 与该截面平行的应力称为剪应力。与该截面平行的应力称为剪应力。 记为： 记为： 应力的单位：应力的单位：Pa 2 11m/NPa 工程上

5、经常采用兆帕（工程上经常采用兆帕（MPa）作单位）作单位 Pamm/NMPa 62 1011 2、拉压杆横截面上的应力、拉压杆横截面上的应力 杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形 所以讨论横截面的应力时需要知道变形的规律所以讨论横截面的应力时需要知道变形的规律 我们可以做一个实验我们可以做一个实验 P P P P 说明杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者说明杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者 说横截面上每一点的伸长量是相同的说横截面上每一点的伸长量是相同的 P N 如果杆的横截面积为：如果杆的横截面积为：A A N 根据前面的实验，我么可以

6、得出结论，即横截面根据前面的实验，我么可以得出结论，即横截面 上每一点存在相同的拉力上每一点存在相同的拉力 5kN |N|max=5kN N 2kN 1kN 1kN + + - - f f20 f f10 f f30 2kN4kN6kN 3kN 1 1 3 3 2 2 做轴力图并求各个截面应力做轴力图并求各个截面应力 MPa8 . 2 )1030( 4102 A N MPa7 .12 )1010( 4101 A N MPa9 .15 )1020( 4105 A N 23 3 3 3 3 23 3 2 2 2 23 3 1 1 1 - - - - - - - - - - f f20 f f10

7、f f30 2kN4kN6kN 3kN 例例1-1 图示矩形截面（图示矩形截面（b h）杆，已知）杆，已知b = 2cm ，h=4cm ， P1 = 20 KN， P2 = 40 KN， P3 = 60 KN，求，求AB段和段和BC 段的应力段的应力 A BC P1 P2 P3 P1 N1 x 0PN 11 +KN20PN 11 - MPa25mm/N25 mm4020 N100020 A N 2 2 1 1 1 - - 压应力压应力 P3 N2 0PN 32 - KN60PN 32 - 压应力压应力 MPa A N 75 2 2 2 - 例例1-2 图示为一悬臂吊车，图示为一悬臂吊车， BC

8、为为 实心圆管，横截面积实心圆管，横截面积A1 = 100mm2， AB为矩形截面，横截面积为矩形截面，横截面积 A2 = 200mm2，假设起吊物重为，假设起吊物重为 Q = 10KN，求各杆的应力。，求各杆的应力。 30 A B C 首先计算各杆的内力：首先计算各杆的内力： 需要分析需要分析B点的受力点的受力 Q F1 F2 x y 0X0F30cosF 21 +- 0Y 0Q60cosF 1 - KN20Q2F 1 KN32.17F3 2 1 F 12 30 A B C Q F1 F2 x y KN20Q2F 1 KN32.17F3 2 1 F 12 BC杆的受力为拉力，大小等于杆的受力

9、为拉力，大小等于 F1 AB杆的受力为压力，大杆的受力为压力，大 小等于小等于 F2 由作用力和反作用力可知：由作用力和反作用力可知： 最后可以计算的应力：最后可以计算的应力： BC杆：杆：MPa200 mm100 KN20 A F A N 2 1 1 1 1 1 AB杆：杆： MPa6 .86 mm200 KN32.17 A F A N 2 2 2 2 2 2 - - - 2-4 2-4 拉压杆斜截面上的应力拉压杆斜截面上的应力 x PP m m 为了考察斜截面上的应力，我们仍然利用截面法，即假想为了考察斜截面上的应力，我们仍然利用截面法，即假想 地用截面地用截面 m-m 将杆分成两部分。并

10、将右半部分去掉。将杆分成两部分。并将右半部分去掉。 该截面的外法线用该截面的外法线用 n 表示，表示， n 法线与轴线的夹角为：法线与轴线的夹角为： 根据变形规律，杆内各纵向纤维变形相同，因此，斜截根据变形规律，杆内各纵向纤维变形相同，因此，斜截 面上各点受力也相同。面上各点受力也相同。 p 设杆的横截面面积为设杆的横截面面积为A， A 则斜截面面积为：则斜截面面积为： cos A A 由杆左段的平衡方程由杆左段的平衡方程0X 0PAp- cos A cosP A P p 这是斜截面上与这是斜截面上与 轴线平行的应力轴线平行的应力 n pP 下面我们将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力下面我

11、们将该斜截面上的应力分解为正应力和剪应力 斜截面的外法线仍然为斜截面的外法线仍然为 n，斜截面的切线设为斜截面的切线设为 t 。 t 根据定义，沿法线方向的应力为正应力根据定义，沿法线方向的应力为正应力 沿切线方向的应力为剪应力沿切线方向的应力为剪应力 利用投影关系，利用投影关系， 2 coscosp 2sin 2 cossinsinp 为横截面正应力为横截面正应力 2-5 轴向拉压的变形分析轴向拉压的变形分析 细长杆受拉会变长变细，细长杆受拉会变长变细， 受压会变短变粗受压会变短变粗 d L P P d-D Dd L+D DL 长短的变化，沿轴线方向，称为长短的变化，沿轴线方向，称为 纵向变

12、形纵向变形 粗细的变化，与轴线垂直，称为粗细的变化，与轴线垂直，称为 横向变形横向变形 P P P P 1、纵向变形、纵向变形 l l lll-D 实验表明实验表明 A Pl l D 变形和拉力成正比变形和拉力成正比 引入比例系数引入比例系数E，又拉压杆的轴力等于拉力，又拉压杆的轴力等于拉力 EA Nl l D EA Nl l D E 体现了材料的性质，体现了材料的性质，称为材料的称为材料的拉伸弹性模量拉伸弹性模量， 单位与应力相同单位与应力相同 称为胡克（虎克）定律称为胡克（虎克）定律 显然，纵向变形与显然，纵向变形与E 成反比，也与横截面积成反比，也与横截面积A 成反比成反比 EA 称为抗

13、拉刚度称为抗拉刚度 为了说明变形的程度，令为了说明变形的程度，令 l l l llD - 称为纵向线应变，显然，伸长为正号，缩称为纵向线应变，显然，伸长为正号，缩 短为负号短为负号 EA Nl l D l l l llD - EEA N1 E 也称为胡克定律也称为胡克定律 称为胡克（虎克）定律称为胡克（虎克）定律 tgE 2、横向变形、横向变形 P P P P l l h h hhh-D 同理，令同理，令 h h h hhD - 为横向线应变为横向线应变 实验表明，对于同一种材料，存在如下关系：实验表明，对于同一种材料，存在如下关系： 称为泊松比，是一个材料常数称为泊松比，是一个材料常数 -

14、负号表示纵向与横向负号表示纵向与横向 变形的方向相反变形的方向相反 EEA N1 E - E 最重要的两个材料弹性常数，可查表最重要的两个材料弹性常数，可查表 2-6 2-6 拉伸压缩时材料的力学性能拉伸压缩时材料的力学性能 由前面的讨论可知，杆件的应力与外力和构件的几由前面的讨论可知，杆件的应力与外力和构件的几 何形状有关，而杆件的变形却与材料的性质有关。何形状有关，而杆件的变形却与材料的性质有关。 因此，有必要研究材料的力学性能。这种研究可以因此，有必要研究材料的力学性能。这种研究可以 通过实验进行。通过实验进行。 1、低碳钢和铸铁拉伸、低碳钢和铸铁拉伸压缩时的力学性能压缩时的力学性能 在

15、工程上使用最广泛，力学性能最典型在工程上使用最广泛，力学性能最典型 # 实验用试件实验用试件 标点标点 L0 标距标距 d0 （1）材料类型材料类型： 低碳钢：低碳钢： 灰铸铁：灰铸铁： 2标准试件标准试件： 塑性材料的典型代表；塑性材料的典型代表； 脆性材料的典型代表脆性材料的典型代表； （2）标准试件标准试件： 标距：标距： 用于测试的等截面部分长度；用于测试的等截面部分长度； 尺寸符合国标的试件；尺寸符合国标的试件； 圆截面试件标距：圆截面试件标距：L0=10d0或或5d0 # 低碳钢拉伸实验曲线低碳钢拉伸实验曲线 O P D D L Pe Pp Ps Pb 线弹性阶段线弹性阶段 屈服阶

16、段屈服阶段 强化阶段强化阶段 颈缩阶段颈缩阶段 屈服极限：屈服极限： 0 A Ps s 0 A Pb b 强度极限：强度极限： 冷作硬化冷作硬化 %100 0 01 - - L LL 延伸率：延伸率： %100 0 10 - - A AA 断面断面 收缩率：收缩率： 弹性极限和比例极限弹性极限和比例极限 PP, Pe E=tg O1O2 f1(f) 低碳钢拉伸低碳钢拉伸 应力应变曲线应力应变曲线 D( s下 下) ( e) B C( s上 上) A( p) E( b) g Ey= tg (MPa) 200 400 0.10.2O 低碳钢压缩低碳钢压缩 应力应变曲线应力应变曲线 O bL 灰铸铁

17、的灰铸铁的 拉伸曲线拉伸曲线 by 灰铸铁的灰铸铁的 压缩曲线压缩曲线 = 45o55o 剪应力引起断裂剪应力引起断裂 1 2 3 O A 0.2% S 0.2 0.2 4 102030 (%) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 (MPa) 其它塑性材料拉伸应力应变曲线其它塑性材料拉伸应力应变曲线 塑性材料和脆性材料力学性能比较塑性材料和脆性材料力学性能比较 塑性材料塑性材料 脆性材料脆性材料 断裂前有很大塑性变形断裂前有很大塑性变形断裂前变形很小断裂前变形很小 抗压能力与抗拉能力相近抗压能力与抗拉能力相近抗压能力远大于抗拉能力抗压能力远大于抗拉能力

18、延伸率延伸率 5%延伸率延伸率 5% 可承受冲击载荷，适合于可承受冲击载荷，适合于 锻压和冷加工锻压和冷加工 适合于做基础构件或外壳适合于做基础构件或外壳 材料的塑性和脆性会因为制造方法工艺条件材料的塑性和脆性会因为制造方法工艺条件 的改变而改变的改变而改变 2-7 2-7 轴向拉伸压缩时的强度计算轴向拉伸压缩时的强度计算 1、材料的极限应力、材料的极限应力 塑性材料为屈服极限塑性材料为屈服极限 脆性材料为强度极限脆性材料为强度极限 b s 0 材料的极限应力是指保证正常工作条件下，该材料所能材料的极限应力是指保证正常工作条件下，该材料所能 承受的最大应力值。承受的最大应力值。 所谓正常工作，

19、一是不变形，二是不破坏。所谓正常工作，一是不变形，二是不破坏。 屈服极限屈服极限 s 强度极限强度极限 b A3 钢：钢：235 MPa372-392 MPa 35 钢：钢： 314529 45 钢：钢： 353598 16Mn：343510 2、工作应力、工作应力 A N ？ 工程实际中是否允许工程实际中是否允许 b s 0 不允许！不允许！ 前面讨论杆件轴向拉压时截面的应力是构件前面讨论杆件轴向拉压时截面的应力是构件 的实际应力的实际应力工作应力。工作应力。 工作应力仅取决于外力和构件的几何尺寸。工作应力仅取决于外力和构件的几何尺寸。 只要外力和构件几何尺寸相同，不同材料做成只要外力和构件

20、几何尺寸相同，不同材料做成 的构件的工作应力是相同的。的构件的工作应力是相同的。 对于同样的工作应力，为什麽有的构件破对于同样的工作应力，为什麽有的构件破 坏、有的不破坏？显然这与材料的性质有关。坏、有的不破坏？显然这与材料的性质有关。 原因：原因： # 实际与理想不相符实际与理想不相符 生产过程、工艺不可能完全符合要求生产过程、工艺不可能完全符合要求 对外部条件估计不足对外部条件估计不足 数学模型经过简化数学模型经过简化 某些不可预测的因素某些不可预测的因素 # 构件必须适应工作条件的变化，要有强度储备构件必须适应工作条件的变化，要有强度储备 # 考虑安全因素考虑安全因素 许用应力许用应力

21、n 0 b b s s n n 脆性材料：脆性材料： 塑性材料：塑性材料： 一般来讲一般来讲 sb nn 因为断裂破坏比屈服因为断裂破坏比屈服 破坏更危险破坏更危险 3 3、许用应力、许用应力 4 4、强度条件、强度条件 A N 工作应力工作应力 轴力轴力 横截面积横截面积 材料的许用应力材料的许用应力 max 5 5、强度条件的工程应用、强度条件的工程应用 min max max A N # 已知已知 N 和和 A，可以校核强度，即考察是否，可以校核强度，即考察是否 max # 已知已知 N 和和 ，可以设计构件的，可以设计构件的 截面截面A（几何形状）（几何形状） max min N A

22、# 已知已知A和和，可以确定许可载荷，可以确定许可载荷 （N P） minmax AN 三个方面的应用三个方面的应用 举例举例 例1 上料小车，每根钢丝绳的拉力Q=105kN，拉杆 的面积A=60100mm2 材 料为Q235钢，安全系数 n=4。试校核拉杆的强度。 由于钢丝绳的作用，由于钢丝绳的作用， 拉杆轴向受拉，每根拉杆轴向受拉，每根 拉杆的轴力拉杆的轴力 NQN 3 10105 横截面积横截面积 23 106mmA NN 根据强度条件，有根据强度条件，有 MPaMPa. A N 60517 106 10105 3 3 查表，查表，Q235号钢的屈服极限为号钢的屈服极限为MPa s 24

23、0 许用应力许用应力 MPa ns s 60 拉杆符合强度要求拉杆符合强度要求 这是一个设计拉杆截面的问题，根据这是一个设计拉杆截面的问题，根据 max min N A 首先需要计算拉杆的轴力首先需要计算拉杆的轴力 对结构作受力分析，利用静力平衡条件求出最大轴力对结构作受力分析，利用静力平衡条件求出最大轴力 G + Q NBC NBA 0 Y 0+-QGsinNBC 最大轴力出现在点葫芦最大轴力出现在点葫芦 位于位于B 3520 451 51 22 . . . l l sin BC AC + kN.N BC 856 2 3 406 140 10856 mm .N A max min 求圆钢杆求

24、圆钢杆BC 的直径的直径 22 406 4 1 mmAd min mm.d822 可以选取可以选取 mmd25 例例3 一起重用吊环，侧臂一起重用吊环，侧臂AC和和AB有两个横截面为矩形的锻有两个横截面为矩形的锻 钢杆构成。钢杆构成。h=120mm, b=36mm,许用应力为许用应力为80MPa。求吊环。求吊环 的最大起重量的最大起重量。 问题是确定载荷问题是确定载荷 minmax AN 先求出侧臂所能承先求出侧臂所能承 受的最大内力，再受的最大内力，再 通过静力平衡条件通过静力平衡条件 确定吊环的载荷确定吊环的载荷 NN N AN minmax 691200 80361202 静力平衡条件静

25、力平衡条件 0 Y 02-cosNP 920 420960 960 22 .cos + N .cosNP 1271808 92069120022 kNP1271 2-8 2-8 应力集中的概念应力集中的概念 构件内局部区域应力突然增大构件内局部区域应力突然增大 的现象称为应力集中的现象称为应力集中 由于结构的需要，构件的截面尺由于结构的需要，构件的截面尺 寸往往会突然变化，例如开孔、寸往往会突然变化，例如开孔、 沟槽、肩台和螺纹等，局部的应沟槽、肩台和螺纹等，局部的应 力不再均匀分布而急剧增大力不再均匀分布而急剧增大 应力集中系数应力集中系数 m max k 平均应力平均应力 课堂练习课堂练习

26、 1、拉伸试验机原理如图所示，假设试验机的、拉伸试验机原理如图所示，假设试验机的CD杆与试件杆与试件AB 的材料同为低碳钢，且的材料同为低碳钢，且 ， 试验机最大拉力为试验机最大拉力为 100 kN， （1）利用该试验机做拉断试验时，）利用该试验机做拉断试验时， 试件直径最大可达多少？试件直径最大可达多少？ （2）若试验机的安全系数为）若试验机的安全系数为 n = 2， 则则CD杆的横截面积为多大？杆的横截面积为多大？ （3）若试件直径为）若试件直径为 d =10 mm，现，现 测量其弹性模量测量其弹性模量E，则所加载荷最大，则所加载荷最大 值为多少？值为多少？ MPa,MPa,MPa bsP 400240200 A B C D A B C D 1、拉断：采用强度极限、拉断：采用强度极限b 4400 10100 23 m b m dN A mm.dm817 2、CD杆不变形：采用屈服极限杆不变形：采用屈服极限 120 2 240 nA N s min max 2 3 833 120 101