数学文化——数列(27题)

1、数学文化数列（27题）1、“竹九节”问题【编号第1题】1【2015秋九江校级期末】九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共5升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）ABCD【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式菁优网版权所有【分析】由题意可得等差数列的首项和公差，由通项公式可得【解析】：由题意可得每节的容积自上而下构成9项等差数列，且a1+a2+a3+a4=5，a9+a8+a7=4，设公差为d，则a1+a2+a3+a4=4a1+6d=5，a9+a8+a7=3a1+21d=4，两式联立可得a1=，d=，所以第5节的容积a5=a1+4

2、d=故选：B【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题【编号第2题】2【2011湖北】九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A1升B升C升D升【考点】等差数列的性质菁优网版权所有【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积【解析】：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，a9，且为等差数列，根据题意得：a1+a2+a3

3、+a4=3，a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3，3a1+21d=4，43得：66d=7，解得d=，把d=代入得：a1=，则a5=+（51）=故选B【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题2、“女子织布”问题【编号第3题】3【2016江西校级模拟】九章算术有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（）A8B9C10D11【考点】数列的应用菁优网版权所有【分析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十日所织尺数【解析】：设第一

4、天织a1尺，从第二天起每天比第一天多织d尺，由已知得，解得a1=1，d=1，所以第十日所织尺数为a10=a1+9d=1+91=10故选：C【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题【编号第4题】4【2015秋日喀则市校级期末】古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为（）A7B8C9D10【考点】等比数列的前n项和菁优网版权所有【分析】由等比数列前n

5、项和公式求出这女子每天分别织布尺，由此利用等比数列前n项和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天【解析】：设该女五第一天织布x尺，则=5，解得x=，所以前n天织布的尺数为：，由30，得2n187，解得n的最小值为8故选：B【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用【编号第5题】5【2016春东城区期末】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更

6、加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（）A尺B尺C尺D尺【考点】等差数列的前n项和菁优网版权所有【分析】利用等差数列的求和公式即可得出【解析】：由题意可得：每天织布的量组成了等差数列an，a1=5（尺），S30=940+30=390（尺），设公差为d（尺），则305+=390，解得d=故选：C【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题【编号第6题】6古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意

7、思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为【考点】等比数列的前n项和菁优网版权所有【分析】设这女子每天分别织布形成数列an尺则该数列an为等比数列，公比q=2，其前5项和S5=5利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解析】：设这女子每天分别织布形成数列an尺则该数列an为等比数列，公比q=2，其前5项和S5=5所以，解得a1=所以a3=故答案为：【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3、“走步”问题【编号第7题】7（20

8、16重庆校级模拟）九章算术有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第六日所走时数为（）A140B150C160D170【考点】等差数列的通项公式菁优网版权所有【分析】由题意设比人从第二日起每日此前一日多走d里，第一日走a1里，由等差数列通项公式和前n项和公式求出首项和公差，由此能求出第六日所走里数【解析】：由题意设比人从第二日起每日此前一日多走d里，第一日走a1里，则，解得a1=100，d=10，所以第六日所走里数为a6=100+50=150故选：B【点评】本题考查第差数列在生产生活中的实际运用，是基础题，解题时要认真审题，注

9、意等差数列的性质的合理运用【编号第8题】8（2016春普宁市校级期中）在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢问：几日相逢？（）A9日B8日C16日D12日【考点】等比数列的前n项和菁优网版权所有【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为an，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为bn，其中b1=97，d=0.5求和即可得到答案【解析】：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为an，其中a1=103，d=13；驽马每日行

10、的距离成等差数列，记为bn，其中b1=97，d=0.5；设第m天相逢，则a1+a2+am+b1+b2+bm=103m+97m+=21125，解得：m=9故选：A【点评】本题考查了等差数列在实际问题中的应用，属于基础题【编号第9题】9（2016安庆二模）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人最后一天走的路程为（）A24里B12里C6里D3里【考点】等比数列的前n项和菁优网版权所

11、有【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程【解析】：记每天走的路程里数为an，可知an是公比的等比数列，由S6=378，得，解得：a1=192，所以，故选：C【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题4、“分钱”问题【编号第10题】10（2016晋中模拟）九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列

12、问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（）A钱B钱C钱D钱【考点】等差数列的通项公式菁优网版权所有【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a2d，ad，a，a+d，a+2d，由题意求得a=6d，结合a2d+ad+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求【解析】：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a2d，ad，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a2d+ad=a+a+d+a+2d，即a=6d，又a2d+ad+a+a+d+a+2d=5a=5，所以a=1，则a2d=a2=故选：B【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题5、两鼠穿墙题问题

13、【编号第11题】11（2016松山区校级模拟）九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn=尺【考点】数列的求和菁优网版权所有【分析】根据题意可知，大老鼠和小老鼠打洞的距离为等比数列，根据等比数列的前n项和公式，求得Sn【解析】：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为=2n1，同理，

14、小老鼠每天打洞的距离=2，所以Sn=2n1+2=，故答案为：=【点评】本题考查求等比数列的前n项和公式，要认真审题，属于基础题6、杨辉三角问题【编号第12题】12【2010黄州区校级二模】如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，则这个数列的第21项的值为（）A66B220C78D286【考点】数列的应用菁优网版权所有【分析】先对“锯齿形”的数列的奇数项找规律，求出通项公式，然后利用“锯齿形”数列的第21项即为新数列的第11项即可求出结论【解析】：设“锯齿形”数列的奇数项构成数列bn，由b2b1=31=2，b3b2=63=3，

15、b4b3=106=4，b5b4=1510=5，bnbn1=n，所以可得，即，又因为“锯齿形”数列的第21项即为数列bn的第11项，故选A【点评】本题借助于杨辉三角对数列的综合应用进行考查，是道基础题，但也是易错题，当发现不了规律时就变成了难题所以在做数列题时，要认真审题，仔细解答，避免错误【编号第13题】13【2011秋青羊区校级月考】如图，在杨辉三角中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，记其n项和为Sn，则S21等于（）A229B283C361D374【考点】归纳推理菁优网版权所有【分析】由图中锯齿形数列排列，发现规律：奇数项的第n项可以表示

16、成正整数的前n项和的形式，偶数项构成以3为首项，公差是1的等差数列由此再结合等差数列的通项与求和公式，即可得到S21的值【解析】：根据图中锯齿形数列的排列，发现a1=1，a3=3=1+2，a5=6=1+2+3，a21=1+2+3+11而a2=3，a4=4，a6=5，a20=12所以前21项的和S21=1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+11）+（3+4+5+12）=（111+210+39+102+11）+，因此，S21=286+75=361故选C【点评】本题以杨辉三角为例，求锯齿形数列的前n项和，着重考查了等差数列的通项与求和公式和归纳推理的一般方法等知识点，属于基础题【编号第14题】1

17、4【2015春黄石校级期中】如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为（）A55B89C120D144【考点】归纳推理菁优网版权所有【分析】根据杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，找出规律，即可求出数列的第10项【解析】：由题意，a1=1，a2=1，a3=2，a4=1+2=3，a5=2+3=5，a6=3+5=8，a7=5+8=13，a8=8+13=21，a9=13+21=34，a9=21+34=55故选：A【点评】本题是规律的归纳题，解决本题的关键是读懂题意，理清前后项的关系，比较基础【编号第15题】15【2009秋浦东新区校级月考】观察

18、如图类似杨辉三角的数表，则此表最后一个数是101298【考点】归纳推理；数列的应用菁优网版权所有【分析】由第一行第一个数为1，第二行第一个数是1+2，第三行第一个数是1+22+3，第四行第一个数是1+32+33+4，然后猜想第n行第一数是cn101+cn112+cn1123+cn1n2（n1）+cn1n1n，利用倒序相加法和二项式定理的性质，即可求得结果【解析】：令an，1表示第n行的第一个数，则a1，1=1，a2，1=1+2，a3，1=1+2+2+3=1+22+3，a4，1=1+2+2+3+2+3+3+4=1+32+33+4，所以an，1=cn101+cn112+cn1123+cn1n2（n

19、1）+cn1n1n，所以a100，1=c9901+c9912+c9933+c9999100，a100，1=c9999100+c999899+c999798+c9901，2a100，1=101（c990+c991+c992+c9999）=101298，故答案为101298【点评】此题是个中档题本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题此题要根据已知的数据发现各行的第一个数和第二个数的规律杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和【编号第16题】16【2011江苏模拟】如图，在杨辉三角形中，斜线

20、l的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列an：1，3，3，4，6，5，10，记其前n项和为Sn，则S19的值为 283【考点】数列的求和菁优网版权所有【分析】从杨辉三角的生成过程，Cnm1+Cnm=Cnm，对该数列分奇偶讨论，求出数列的通项公式，解决S19的值【解析】：从杨辉三角形的生成过程，可以得到这个数列的通项公式an；当n为偶数时，an+2=an+1，所以an是以3为首项，1为公差的等差数列，所以，n为奇数时，an+2=an+an1（n3），即所以a5a3=3，a7a5=4，所以而a1=1满足上式故n为奇数是，所以S19=（a1+a3+a19）+（a2+a4+a18）=220+

21、63=283故答案为：283【点评】从杨辉三角形成的过程，得出数列的通项公式是难点和关键，题目比较新，属中档题【编号第17题】17古希腊毕达哥拉斯学派研究了“多边形数”，人们把多边形数推广到空间，研究了“四面体数”图是第一至第五个四面体数这些数可在杨辉三角形（图）找到由此推出第6个四面体数为56（用数字作答）；第n个四面体数为n（n+1）（n+2）【考点】归纳推理菁优网版权所有【分析】通过观察前几个图形中顶点的个数得，每一个四面体中每层图形的顶点的个数都可以看成是一个等差数列的前几项的和，再利用等差数列的求和公式即可解决问题【解析】：第一个四面体数为：1，第二个四面体数为：1+（1+2），第三

22、个四面体数为：1+（1+2）+（1+2+3），第四个四面体数为：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4），由此归纳可得：第n个三角形数为：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+n）=n（n+1）（n+2），当n=6时，n（n+1）（n+2）=56，故答案为：56，n（n+1）（n+2）【点评】本题主要考查了归纳推理，以及数列递推式，属于基础题所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理【编号第18题】18（2010黄陂区校级自主招生）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如图所示，从

23、莱布尼茨三角形可以看出：排在第10行从左边数第3个位置上的数值是（）ABCD【考点】规律型：数字的变化类菁优网版权所有【分析】观察发现：分子总是1，第n行的第一个数的分母就是n，第二个数的分母是第一个数的（n1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的（3n1）倍，根据这规律即可求出答案【解答】解：根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是=故选B【点评】此题考查了数字的变化类；解题的关键是根据所给的特殊数据发现规律【编号第19题】19【2010春苏州校级期中】将杨辉三角（如图（1）中的每一个数Cnr都换成分数，就得到一个如图（2）所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形从莱布尼茨三角形可以

24、看出：，其中x=r+1【考点】进行简单的合情推理菁优网版权所有【分析】这是一个考查归纳推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来【解析】：观察图中给出的莱布尼茨三角形，及给定的关系式：，我们可以知道，在上述关系式中：第一项是第n行的第r个数；第二项是第n行的第x个数第二项是第n1行的第x个数分析第一项与第三项的关系，易得第二项是第n行的第r+1个数故x=r+1，故答案为：r+1【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果【编号

25、第20题】20（2010黄陂区校级自主招生）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如图所示，从莱布尼茨三角形可以看出：排在第10行从左边数第3个位置上的数值是（）ABCD【考点】规律型：数字的变化类菁优网版权所有【分析】观察发现：分子总是1，第n行的第一个数的分母就是n，第二个数的分母是第一个数的（n1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的（3n1）倍，根据这规律即可求出答案【解析】解根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是=故选B【点评】此题考查了数字的变化类；解题的关键是根据所给的特殊数据发

26、现规律【编号第21题】21【2016广州一模】以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角性”该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A201722015B201722014C201622015D201622014【考点】归纳推理菁优网版权所有【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论【解析】：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2015行

27、公差为22014，故第1行的第一个数为：221，第2行的第一个数为：320，第3行的第一个数为：421，第n行的第一个数为：（n+1）2n2，第2016行只有M，则M=（1+2016）22014=201722014故选：B【点评】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题【编号第22题】20【2016怀化二模】以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”该表由若干行数字组成，第一行共有2016个数字，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A201622015B20162201

28、4C201722015D201722014【考点】数列递推式菁优网版权所有【分析】由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2015行公差为22014，可得：第n行的第一个数为：（n+1）2n2，即可得出【解析】：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：221，第2行的第一个数为：320，第3行的第一个数为：421，第n行的第一个数为：（n+1）2n2，第2016行只有M，则M=（1+2016）22014=201722014，故选：D【点评】本题考查了等差

29、数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【编号第23题】21【2016春宁波期末】以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”1 2 3 4 5 2013 2014 2015 20163 5 7 9 4027 4029 40318 12 16 8056 806020 28 16116该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A201722015B201722014C201622015D201622014【考点】归纳推理菁优网版权所有【分析】由题意，数表的每一行都是等差数列

30、，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2015行公差为22014，可得：第n行的第一个数为：（n+1）2n2，即可得出【解析】：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：221，第2行的第一个数为：320，第3行的第一个数为：421，第n行的第一个数为：（n+1）2n2，第2016行只有M，则M=（1+2016）22014=201722014，故选：B【点评】本题考查了等差和等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7、宝塔问题【编号第24题】22【2016上海校

31、级模拟】明代程大位算法统宗卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（）A2盏B3盏C4盏D7盏【考点】等比数列的前n项和菁优网版权所有【分析】利用等比数列的求和公式即可得出【解析】：设每层塔的灯盏数为an，数列an是公比为2的等比数列由题意可得：，解得a1=3，故选：B【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【编号第25题】23【2016河南二模】在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯” 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层

32、悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯A2B3C5D6【考点】等比数列的前n项和菁优网版权所有【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得【解析】：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，所以由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，所以顶层有3盏灯，故选：B【点评】本题考查等比数列的求和公式，由题意构造等比数列是解决问题的关键，属基础题【编号第26题】24【2015秋江西校级月考】算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著算法统宗对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学