2021年上海市高考数学试题及答案解析

1、2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(上海卷)一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 以下哪个函数既是奇函数，又是减函数 A. y=3xB. y=x3C. y=log3xD. y=3x2. 已知参数方程，以下哪个图符合该方程 A. B. C. D. 3. 已知f(x)=3sinx+2，存在任意的x10,2，都存在x20,2，使得f(x)=2f(x+)+2成立，则下列选项可行的值是 A. 35B. 45C. 65D. 754. 已知x1、y1、x2、y2、x3、y3为6个不同的实数，满足x1y1，x2y2，x3y3，x1+y1=x2+y2=+，x1y1+x3y3=2x2y2，以

2、下选项值恒成立的是 A. 2x2x1+x3C. x22x1x3二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知z1=1+i，z2=2+3i，则z1+z2=_6. 已知A=x|2x1，B=1,0，1，则AB=_7. 已知圆x2+y2+2x4y=0，则该圆的圆心坐标为_8. 如图，正方形ABCD的边长为3，则ABAC=_9. 已知f(x)=3x+2，则f1(1)=_10. 已知二项式(x+a)5展开式中，的系数为80，则a=_11. 已知实数x,y满足x32xy203x+y80，则z=xy的最大值为_12. 已知无穷等比数列an和bn，满足a1=3，bn=a2n，若a2n的各项和为9，则数列

3、bn的各项和为_13. 在圆柱中，底面圆半径为1，高为2，上底面的直径为AB，C是底面圆弧上的一个动点，绕着底面圆周转，则ABC的面积的取值范围为_14. 有四个不同的馆，甲、乙2人每人选2个馆去参观，恰有一个馆相同的概率为_15. 已知抛物线y2=2px(p0)，若第一象限的A,B在抛物线上，焦点为F，|AF|=2，|BF|=4，|AB|=3，求直线AB的斜率为_16. 已知aiN(i=1,2，9)，对ak=ak1+1或ak=ak+11(2k8)中有且仅有一个成立，且a1=6，a9=9，则a1+a2+a9的最小值为_三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 在长方体ABCDA1B1C

4、1D1中，AB=BC=2，AA1=3(1)点P是棱A1D1上的动点，求棱锥CPAD的体积；(2)求直线AB1与平面ACC1A1所成的角18. 在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2c(1)若A=23，求ABC的面积；(2)若2sinBsinC=1，求ABC的周长19. 已知某企业今年(2021年)第一季度营业额为1亿元，以后的每个季度营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿元，以后每季度比上一个季度增加4%(1)求2021年起前20个季度营业额的总和；(2)哪一个季度的利润第一次超过营业额的18%20. 已知椭圆：x22+y2=1，F1，F2

5、是左右焦点，直线且l过点P(m,0)(m2)交椭圆于A，B两点，点A，B在x轴上方，点A在线段BP上 (1)若P为上顶点，|BF1|=|PF|，求m的值；(2)若F1AF2A=13，原点O到直线l的距离为41515，求直线l的方程；(3)对于任意点P，是否存在唯一的直线l，使得F1A/F2B，若存在，求出直线l的斜率，若不存在，请说明理由21. 对于定义域为R的函数f(x)以及非空数S：若对任意x1，x1R，当x1x2R时，都有f(x1)f(x2)S，则称f(x)是S关联的(1)若f(x)=2x+1，则f(x)是否是关联的，f(x)是否是 0,1关联的；(2)设f(x)是 3关联的，当x0,3

6、，f(x)=x22x，解不等式：2f(x)3；(3)证明：f(x)既是 1关联的，又是关联的，当且仅f(x)是 1,2关联的答案解析一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.以下哪个函数既是奇函数，又是减函数 A. y=3xB. y=x3C. y=log3xD. y=3x【答案】A【解析】幂函数y=x3在R上单调递增，对数函数y=log3x与指数函数y=3x，既不是奇函数也不是偶函数，所以选项 B，C，D都不符合题意，故选：A2.已知参数方程，以下哪个图符合该方程 A. B. C. D. 【答案】B【解析】当t=0，x=0，y=0，所以过原点，排除A，当t =1时，x =1，y =0，排除

7、C和D，当x=3t4t3=0，t1=0，t2=32，t3=32，则y1=0，y2=32，y3=32，故选：B3.已知f(x)=3sinx+2，存在任意的x10,2，都存在x20,2，使得f(x)=2f(x+)+2成立，则下列选项可行的值是 A. 35B. 45C. 65D. 75【答案】B【解析】【解析】由题意知，x1是任意性，x2是存在性，设f(x)=3sinx+2的值域为A，f(x)=2f(x+)+2的值域为B，则AB，A=2,5，对于选项A，f(x)=2f(x+)+2=6sin(x+35)+6，B4.14,11.70，不符合AB，排除A，对于选项B，f(x)=2f(x+)+2=6sin(

8、x+45)+6，B1.14,9.52，符合AB，B项正确，对于选项C，f(x)=2f(x+)+2=6sin(x+65)+6，B1.1,2.5，不符合AB，排除C，对于选项D，f(x)=2f(x+)+2=6sin(x+75)+6，不符合AB，故选：B4.已知x1、y1、x2、y2、x3、y3为6个不同的实数，满足x1y1，x2y2，x3y3，x1+y1=x2+y2=+，x1y1+x3y3=2x2y2，以下选项值恒成立的是 A. 2x2x1+x3C. x22x1x3【答案】A【解析】【解析】方法：利用凹凸性构造函数由题设x1+y1=x2+y2=x3+y3=k，并令f(x)=x(kx)=x2+kx，

9、则x1y1=x1(kx1)=f(x1)，同理x2y2=f(x2)，x3y3=f(x3)，条件转化为f(x1)+f(x3)2=f(x2)，考虑到函数f(x)为开口向下的二次函数，它在定义域内整体为上凸函数，因此f(x1)+f(x3)2=f(x2)，由条件可得，xix1+yi2=k2(i=1,2，3)，且函数f(x)在(,k2)上单调递增，因此f(x2)x2x1+x32，即2x20)，若第一象限的A,B在抛物线上，焦点为F，|AF|=2，|BF|=4，|AB|=3，求直线AB的斜率为_【答案】52【解析】由焦半径公式得，|AF|=x1+p2=2，|AF|=x2+p2=4，|AB|=3，可知x2x1

10、=2，又因为|AB|=(x2x1)2+(y2y1)2=22+(y2y1)2=3，所以y2y1=5，因为x2x1=y22y122p=2，(y2y1)(y2+y1)2p=2，解得y2+y12p=25，所以kAB=y2y1x2x1=y2y1y22y122p=2py2+y1=52，故答案为：5216.已知aiN(i=1,2，9)，对ak=ak1+1或ak=ak+11(2k8)中有且仅有一个成立，且a1=6，a9=9，则a1+a2+a9的最小值为_【答案】31【解析】若a1=6，a2=1，a3=2， a4=1，a5=2，a6=1，a7=2，a8=8，a9=9，此时a1+a2+a9=32，若a1=6，a2

11、=7，a3=1，a4=2，a5=1，a6=2，a7=1，a8=2，=9，此时a1+a2+a9=31，故a1+a2+a9的最小值为31，故答案为：31三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3(1)点P是棱A1D1上的动点，求棱锥CPAD的体积； (2)求直线AB1与平面ACC1A1所成的角【答案】(1)2；(2)arcsin2613【解析】(1) VCPAD = VPADC 13SADC=1323=2；(2)解法1：因为O1B1A1C1，O1B1AA1，A1C1A1A A1，所以O1B1平面ACC1A1，所以 = B1AO1为

12、AB1与平面ACC1A1所成的角，在B1AO1中，O1B1 = 2，AB1 = 13，sin B1O1AB1 213 2613，=arcsin2613，直线AB1与平面ACC1A1所成角的大小为arcsin2613解法2：建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标 A(2,0，0)，B1(2,2，3)，D(0,0，0)，B(2,2，0)，A1(2,0，3)，C (0,2，0)，所以AB1 = (0,2，3)，DB = (2,2，0)，AA1 = (0,0，3)，AC = (2,2，0)，设n=(u,v，w)为平面ACC1A1的一个法向量，则nAA1=3w=0，nAC=2u+2v=0，解得w=0，u=

13、v，取 u=1，n (1,1，0)，设直线AB1与平面ACC1A1所成的角为，sin=AB1n|AB1|n|=2132=2613，=arcsin2613，故直线AB1与平面ACC1A1所成角的大小为arcsin261318.在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2c(1)若A=23，求ABC的面积；(2)若2sinBsinC=1，求ABC的周长【答案】(1)9314；(2)3+42+5【解析】(1)由余弦定理得a2=b2+c22bccosA，解得c297，故SABC12bcsinA122c2329314 bsinBcsinC，b=2c，sinB=2sinC，2sinB2

14、sinC=1，保存编辑sinC13，sinB23，cosC=223，cosB=53，sinA=sin(B+C)=42959，0sinA1，sinA=4259，asinCsinA42+53，ABC的周长为：a+b+c=3+42+519.已知某企业今年(2021年)第一季度营业额为1亿元，以后的每个季度营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿元，以后每季度比上一个季度增加4%(1)求2021年起前20个季度营业额的总和；(2) 哪一个季度的利润第一次超过营业额的18%【答案】(1)31.5亿元；(2)2027【解析】前20个季度的营业额为等差数列，首项为1.1，公差为0.

15、05，所以营业额的总和为：(1.1+1.1+0.0519)202 =31.5亿元；设第n个季度的营业额为an，an =a1+(n 1)d=0.05n+1.05，设第n个季度的利润为bn，则bn b1qn1 0.161.04n1，则有an 18% bn，解得n 26，故在2027年第二季度可超过20.已知椭圆：x22+y2=1，F1，F2是左右焦点，直线且l过点P(m,0)(m2)交椭圆于A，B两点，点A，B在x轴上方，点A在线段BP上 (1)若P为上顶点，|BF1|=|PF|，求m的值；(2)若F1AF2A=13，原点O到直线l的距离为41515，求直线l的方程；(3)对于任意点P，是否存在唯

16、一的直线l，使得F1A/F2B，若存在，求出直线l的斜率，若不存在，请说明理由【答案】(1)m=12(2)y=13(x+463)；(3)存在唯一的k=12m24【解析】(1)利用椭圆几何性质|BF1|=|PF1|=a=2，|OP|=|PF1|+c=2+1，m=12 (2)利用方程思想设直线l方程为y=k (xm)，设A(x1,y1)(x10)，则F1AF2A=(x1+1)(x11)+y12=x121 +y12=13，x22+y2=1，y12=1x122，代入得F1AF2A=x121+y12=x12+1x1221=13，解得：x1=63，y1=63，即直线l：63=k (63m)，由点到直线距离

17、得：d=|km|1+k2=41515，联立和得m=463k=13，l的方程为：y =13(x +463)；(3)联立方程消元法设直线l方程为y=k(xm)(斜率必存在，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则F1A=(x11,y1)，F2B=(x21,y2)，F1A/F2B，(x1+1)y2=(x2+1)y1，(x1+1)k (x2m)=(x21)k(x1m)，化简得x2+x1+m(x2x1)2m=0，联立得y=k(xm)x2+2y2=2，(1+2k2)x24mk2x+2k2m22=0，x1+x2=4mk21+2k2x1x2=2k2m221+2k2，代入得，4mk21+2k2+m(x2x1)2

18、m=0，x2x1=21+2k2，(x2x1)2 =4x1x2=16k28k2m2+8(1+2k2)2，代入得：4k2+2k2m2+1=0，故k2=12m24，对于任意一个m2，存在唯一的k =12m24，即直线有且只有一条21.对于定义域为R的函数f(x)以及非空数S：若对任意x1，x1R，当x1x2R时，都有f(x1)f(x2)S，则称f(x)是S关联的(1)若f(x)=2x+1，则f(x)是否是关联的，f(x)是否是 0,1关联的；(2)设f(x)是 3关联的，当x0,3，f(x)=x22x，解不等式：2f(x)3；(3)证明：f(x)既是 1关联的，又是关联的，当且仅f(x)是 1,2关联的【答案】(1)关联，不关联；(2)1+3,5；(3)见解析【解析】(1)一方面，而则另一方面，x1x20,1，f(x1)f(x2)=2(x1x2)0,2，f(x1)f(x2)0,1，故f(x)=2x+1是关联的，0,1不关联；(2)f(x)是3关联的，则x1x2=3，f(x1)f(x2)=3，故，则当，=(x3)2+(x3)+3=x28x+18，结合图像