垂径定理典型例题及练习

1、【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1、圆的定义：形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点 0旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图 形叫做圆，固定的端点叫 线段0A叫做描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中的弦】2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的 叫做弦弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 三类3、圆的对称性：轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重

2、合】二、垂径定理及推论：1、 垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 2、 推论：平分弦（）的直径 ，并且平分弦所对的 【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：过圆心垂直于弦 平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、 圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角2、 定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是在

3、同圆或等圆中”四、圆周角定理及其推论：1、 圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角2、 圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 90。的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有 个，它们的关系是_2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 这个圆叫做 性质：圆内接四边形的对角 【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】垂径定理

4、典型例题分析：例题1、基本概念1 .下面四个命题中正确的一个是（）B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心2 .下列命题中，正确的是()A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧B.过弦的中点的直线必过圆心C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D .弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度 AB是cm.2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是 4

5、8cm，那么油的最大深度为 cm.3、如图，已知在O O中，弦AB =CD，且AB CD，垂足为H , 0E AB于E , OF CD于F .(1) 求证：四边形OEHF是正方形(2) 若CH =3, DH =9，求圆心0到弦AB和CD的距离4、已知： ABC内接于O O, AB=AC，半径 OB=5cm，圆心 O到BC的距离为3cm，求AB的长.5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是“的中点，AD JBC于D，求证：AD= 1 BF.2例题3、度数问题1、已知：在O O中，弦AB=12cm , 0点到AB的距离等于 AB的一半，求：AOB的度数和圆的半径2、已知：O O的

6、半径0A =1，弦AB、AC的长分别是、2、3 .求.BAC的度数。例题4、相交问题 如图，已知O O的直径 AB和弦CD相交于点 E, AE=6cm , EB=2cm，/BED=30 ，求CD的长.B例题5、平行问题在直径为50cm的OO中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB /CD，求：AB与CD之间的距离例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB,交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a,b.求证：AD BD二a2-b2.作 业:一、概念题1 .下列命题中错误的有()(1)弦的垂直平分线经过圆心(2 )平分弦的直径垂直于弦(3)梯形的对角线互相平分(4)圆的对称轴

7、是直径A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个2、OO的直径为10,弦AB的长为8, M是弦AB上的动点，贝U OM的长的取值范围是(A) 3 乞 OM 5(B) 4 EOM 乞 5(C) 3 : OM 5(D) 4 OM : 53如图，如果 AB为OO直径，弦CD _ AB，垂足为E，那么下列结论中错误的 是()A. CE 二 DEB.川C. BAC = BADD. AC AD13cm，水面宽4 如图，AB是O O直径，CD是。O的弦，AB_CD于E，则图中不大于半圆的相等 弧有（）对。A 1对 B 2对 C 3对 D 4对、垂径定理1、 过O O内一点P的最长弦为10cm，最

8、短的弦为6cm，贝U OP的长为 .2. 在O O中，弦AB长为8cm，圆心到弦 AB的距离为3cm，则O O半径长为cm3 .半径是5cm的圆中，圆心到8cm长的弦的距离是 cm4 如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径OA =10m，桥拱的距度 AB = 16m，则拱高CD =m.5 一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是AB=24，则水管中水深是 cm.6如图，OO的直径CD _AB，垂足为点E,若CE =2,ED =8，则AB =(A 2 B 4 C 8 D 16 7 过O O内一点M的最长的弦长为 4cm，最短的弦长为 2cm ,则OM的长为（）A 3 cm B 丘

9、 cm C . 1 D 3cm8 已知：如图，O O中直径 AB垂直于弦 CD，垂足为的长是（）A 1 B 2 C 3 D 49 已知O O的弦AB长8cm，弦心距为3cm，则O O的直径是（）A. 5cm B . 10cm C. 55 cm D. 73 cm 10 .已知O O的半径为2cm，弦AB长2、. 3 cm，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（A . 1cm B . 2 cm C .2 cm D .11如图，已知O O的半径为6cm，两弦AB与CD垂直相交于 E，若CE = 3cm ,DE =9cm，贝U AB 二()A . 6cm B . 3. 3cm C . 3cmD . 6.3cm三、度数问题1、在O O中，AB是弦，C是AB的中点，延长OC交O O于D .若OC二CD，则.AOB的度数是（）.A. 90B. 100C. 120D . 60四、相交问题五、圆的弦与直径相交成 30 角，并且分直径为6cm和4cm两部分,则弦心距为（平行问题圆的两互相平行的弦长分别18cm和24cm，又两弦之间距离为3cm，则圆的半径长是cm2、在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，弦长分别为8cm、6cm，则这两条