一元二次不等式及其解法

1、要点梳理要点梳理 1.1.一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二 次方程的关系如下表：次方程的关系如下表： 7.2 7.2 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法 基础知识基础知识 自主学习自主学习 判别式判别式 =b b2 2-4-4acac 00=0=000)0)的图的图 象象 2.2.用程序框图来描述一元二次不等式用程序框图来描述一元二次不等式axax2 2+ +bxbx+ +c c0 0 ( (a a0)0)的求解的算法过程为的求解的算法过程为 一元二次方程一元二次方程 axax2 2+ +bxbx+ +c c=0=0 ( (a a0

2、)0)的根的根 有两相异有两相异 实根实根x x1 1, ,x x2 2 ( (x x1 1 00 ( (a a0)0)的解集的解集 _ _ _ axax2 2+ +bxbx+ +c c00)0)的解集的解集 _ _ _ a b 2 x x| |x xx x1 1 x x| |x xR R x x| |x x x x2 2 x x| |x x1 1 x x 0 (0 (0)中的中的a a均大于均大于0,0,若若a a0, 0+10的解集为的解集为 x x|-1|-1x x , , 则则abab的值为的值为 （ ） A.-6 B.-5 C.6 D.5A.-6 B.-5 C.6 D.5 解析解析

3、因因x x=-1, =-1, 是方程是方程axax2 2+ +bxbx+1=0+1=0的两根的两根, , a a=-3,=-3,b b=-2,=-2,abab=6. =6. 3 1 3 1 , 1 3 1 1, 3 2 , 3 1 1 aa b a b 又 C 3.3.(2009(2009四川理，四川理，1)1)设集合设集合S S=x x|x x|5,|5,T T=x x| |x x2 2+ + 4 4x x-210,-210,则则S ST T= = （ ） A.A.x x|-7|-7x x-5 B.-5 B.x x|3|3x x55 C. C.x x|-5|-5x x3 D.3 D.x x|

4、-7|-7x x55 解析解析 S S=x x|-5|-5x x5,5,T T=x x|-7|-7x x3,3, S ST T=x x|-5|-5x x3. 3. C 4.4.不等式不等式 的解集是的解集是 （ ） A.(-,-1)(-1,2 B.-1,2A.(-,-1)(-1,2 B.-1,2 C.(-,-1)2,+) D.(-1,2 C.(-,-1)2,+) D.(-1,2 解析解析 ( (x x-2)(-2)(x x+1)0+1)0且且x x-1-1 -1-1x x2.2. 0 1 2 x x 0 1 2 x x D 5.5.若集合若集合A A=x x| |axax2 2- -axax+

5、10=+10=, ,则实数则实数a a的取值范围的取值范围 是是 （ ） A.A.a a|0|0a a4 B.4 B.a a|0|0a a44 C. C.a a|0|000时，相应二次方程中时，相应二次方程中 的的=a a2 2-4-4a a0,0,解得解得00a a4,4, 综上得综上得 a a|0|0a a4. 4. D a 题型一题型一 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 【例例1 1】解下列不等式：解下列不等式： (1)2(1)2x x2 2+4+4x x+30;+30; (2)-3 (2)-3x x2 2-2-2x x+80;+80; (3)8 (3)8x x-116-116x

6、 x2 2. . 首先将二次项系数转化为正数，再看二首先将二次项系数转化为正数，再看二 次三项式能否因式分解，若能次三项式能否因式分解，若能, ,则可得方程的两根则可得方程的两根, , 大于号取两边大于号取两边, ,小于号取中间小于号取中间, ,若不能若不能, ,则再看则再看“”, ”, 利用求根公式求解方程的根利用求根公式求解方程的根, ,而后写出解集而后写出解集. . 题型分类题型分类 深度剖析深度剖析 思维启迪思维启迪 解解 （1 1）=4=42 2-4-42 23=16-24=-80.3=16-24=-80. 方程方程2 2x x2 2+4+4x x+3=0+3=0没有实根没有实根.

7、. 22x x2 2+4+4x x+30+30的解集为的解集为 . . （2 2）原不等式等价于）原不等式等价于3 3x x2 2+2+2x x-80-80 ( (x x+2)(3+2)(3x x-4)0-4)0 x x-2-2或或x x 不等式的解集为不等式的解集为(-,-2 ,+).(-,-2 ,+). （3 3）原不等式等价于）原不等式等价于1616x x2 2-8-8x x+10 +10 (4(4x x-1)-1)2 20.0. 只有当只有当4 4x x-1=0,-1=0,即即 时不等式成立，时不等式成立， 故不等式解集为故不等式解集为 . 3 4 3 4 4 1 x . 4 1 探究

8、提高探究提高 解一元二次不等式的一般步骤是解一元二次不等式的一般步骤是:(1):(1)化化 为标准形式为标准形式;(2);(2)确定判别式确定判别式的符号的符号;(3);(3)若若0,0,则则 求出该不等式对应的二次方程的根求出该不等式对应的二次方程的根, ,若若00，则对应，则对应 的二次方程无根的二次方程无根;(4);(4)结合二次函数的图象得出不等式结合二次函数的图象得出不等式 的解集的解集. .特别地特别地, ,若一元二次不等式的左边的二次三项若一元二次不等式的左边的二次三项 式能分解因式式能分解因式, ,则可立即写出不等式的解集则可立即写出不等式的解集. . 知能迁移知能迁移1 1

9、解下列不等式：解下列不等式： 解解 （1 1）两边都乘以）两边都乘以-3-3，得，得3 3x x2 2-6-6x x+20,+20,30,且方程且方程3 3x x2 2-6-6x x+2=0+2=0的解是的解是 所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是 .)( ;)( 22 161820 3 2 21xxxx , 3 3 1, 3 3 1 21 xx . 3 3 1 3 3 1 |xx (2)(2)方法一方法一 原不等式即为原不等式即为1616x x2 2-8-8x x+10, +10, 其相应方程为其相应方程为1616x x2 2-8-8x x+1=0,+1=0, =(-8)=(-8)2 2

10、-4-416=0,16=0, 上述方程有两相等实根上述方程有两相等实根 结合二次函数结合二次函数y y=16=16x x2 2-8-8x x+1+1的图象知的图象知, , 原不等式的解集为原不等式的解集为R R. . 方法二方法二 8 8x x-116-116x x2 2 1616x x2 2-8-8x x+10 +10 (4(4x x-1)-1)2 20,0, x xR R,不等式的解集为不等式的解集为R R. . , 4 1 x 题型二题型二 含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法 【例例2 2】已知不等式已知不等式 ( (a aR R).). (1) (1)解这个关于解

11、这个关于x x的不等式的不等式; ; (2) (2)若若x x=-=-a a时不等式成立时不等式成立, ,求求a a的取值范围的取值范围. . 讨论讨论a a的取值的取值, ,首先看是否可化为一元二首先看是否可化为一元二 次不等式，其次看根的大小次不等式，其次看根的大小. . 0 1 1 x ax 思维启迪思维启迪 解解 (1)(1)原不等式等价于原不等式等价于( (axax-1)(-1)(x x+1)0.+1)0. 当当a a=0=0时时, ,由由-(-(x x+1)0,+1)0,得得x x-1;00时时, ,不等式化为不等式化为 解得解得x x-1 当当a a00时时, ,不等式化为不等式

12、化为 若若 即即-1-1a a0,0,则则 若若 即即a a=-1,=-1,则不等式解集为空集则不等式解集为空集; ; 若若 即即a a-1,-1,则则 , 0) 1)( 1 (x a x ; 1 a ; 0) 1)( 1 (x a x , 1 1 a , 1 1 a , 1 1 a ; 1 1 x a . 1 1 a x 综上所述综上所述, ,a a-1-1时时, ,解集为解集为 a a=-1=-1时时, ,原不等式无解原不等式无解; ; -1-1a a00时时, ,解集为解集为 a a=0=0时时, ,解集为解集为 x x| |x x-1;00时时, ,解集为解集为 (2)(2)x x=-

13、=-a a时不等式成立时不等式成立, , 即即- -a a+10,+11,1,即即a a的取值范围为（的取值范围为（1 1，+）. . .1 1 | x a x ; 1 1| a xx . 1 1| a xxx或 , 0 1 1 2 a a 探究提高探究提高 (1)(1)含参数的一元二次不等式可分为两种含参数的一元二次不等式可分为两种 情形情形: :一是二次项系数为常数一是二次项系数为常数, ,参数在一次项或常数项参数在一次项或常数项 的位置的位置, ,此时可考虑分解因式此时可考虑分解因式, ,再对参数进行讨论，若再对参数进行讨论，若 不易分解因式不易分解因式, ,则要对判别式则要对判别式分类

14、讨论分类讨论, ,分类应不重分类应不重 不漏不漏; ;二是二次项系数为参数二是二次项系数为参数, ,则应考虑二次项系数是则应考虑二次项系数是 否为否为0,0,然后再讨论二次项系数不为然后再讨论二次项系数不为0 0的情形的情形, ,以便确定以便确定 解集的形式解集的形式. .注意必须判断出相应方程的两根的大小注意必须判断出相应方程的两根的大小, , 以便写出解集以便写出解集. . (2)(2)含参数不等式的解法问题含参数不等式的解法问题, ,是高考的重点内容，主是高考的重点内容，主 要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想. . 知能迁移知能迁移2 2 解关于

15、解关于x x的不等式的不等式x x2 2-(-(a a+ +a a2 2) )x x+ +a a3 30.0. 解解 原不等式可变形为原不等式可变形为( (x x- -a a)()(x x- -a a2 2)0,)0, 则方程则方程( (x x- -a a)()(x x- -a a2 2)=0)=0的两个根为的两个根为x x1 1= =a a, ,x x2 2= =a a2 2. . 当当a a00时时, ,有有a a a a2 2,x x a a2 2, , 此时原不等式的解集为此时原不等式的解集为 x x| |x x a a2 2; 当当00a a1 a a2 2,x x a a, , 此

16、时原不等式的解集为此时原不等式的解集为 x x| |x x a a; 当当a a11时时, ,有有a a2 2 a a,x x a a2 2, , 此时原不等式的解集为此时原不等式的解集为 x x| |x x a a2 2; 当当a a=0=0时时, ,有有x x0,0, 原不等式的解集为原不等式的解集为 x x| |x xR R且且x x0;0; 当当a a=1=1时时, ,有有x x1,1, 此时原不等式的解集为此时原不等式的解集为 x x| |x xR R且且x x1.1. 综上可知综上可知: :当当a a011时时, , 原不等式的解集为原不等式的解集为 x x| |x x a a2

17、2; 当当00a a11时时, ,原不等式的解集为原不等式的解集为 x x| |x x a a; 当当a a=0=0时时, ,原不等式的解集为原不等式的解集为 x x| |x x0;0; 当当a a=1=1时时, ,原不等式的解集为原不等式的解集为 x x| |x x1. 1. 题型三题型三 一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用 【例例3 3】某种商品某种商品, ,现在定价现在定价p p元元, ,每月卖出每月卖出n n件件, ,设定价设定价 上涨上涨x x成成, ,每月卖出数量减少每月卖出数量减少y y成成, ,每月售货总金额变每月售货总金额变 成现在的成现在的z z倍倍. . (1) (

18、1)用用x x和和y y表示表示z z; ; (2) (2)设设y y= =kxkx(0(0k k1),1),利用利用k k表示当每月售货总金额最表示当每月售货总金额最 大时大时x x的值的值; ; (3) (3)若若 求使每月售货总金额有所增加的求使每月售货总金额有所增加的x x值的值的 范围范围. . 通过代数化简通过代数化简, ,将问题转化成解一元二次将问题转化成解一元二次 不等式问题不等式问题. . , 3 2 xy 思维启迪思维启迪 解解 (1)(1)按现在的定价上涨按现在的定价上涨x x成时成时, ,上涨后的定价为上涨后的定价为 元元, ,每月卖出数量为每月卖出数量为 件件, ,

19、每月售货总金额是每月售货总金额是npznpz元元, , 因而因而 所以所以 (2)(2)在在y y= =kxkx的条件下，的条件下， 整理可得整理可得 由于由于00k k1,11， 应有应有 即即x x( (x x-5)0-5)0， 解得解得00 x x5,0=360，方程，方程R R2 2-10-10R R+16=0+16=0的两个实数根为的两个实数根为 x x1 1=2,=2,x x2 2=8.=8. 然后画出二次函数然后画出二次函数y y= =R R2 2-10-10R R+16+16的图象，的图象， 由图象得不等式的解为由图象得不等式的解为22R R8. 8. 题型四题型四 一元二次不

20、等式的恒成立问题一元二次不等式的恒成立问题 【例例4 4】（1212分）已知不等式分）已知不等式mxmx2 2-2-2x x- -m m+10.+10. （1 1）若对所有的实数）若对所有的实数x x不等式恒成立，求不等式恒成立，求m m的取值范的取值范 围；围； （2 2）设不等式对于满足）设不等式对于满足| |m m|2|2的一切的一切m m的值都成立的值都成立, , 求求x x的取值范围的取值范围. . （1 1）由于二次项系数含有字母，所以首）由于二次项系数含有字母，所以首 先讨论先讨论m m=0=0的情况，而后结合二次函数图象求解的情况，而后结合二次函数图象求解. . （2 2）转换

21、思想将其看成关于）转换思想将其看成关于m m的一元一次不等式，的一元一次不等式， 利用其解集为利用其解集为-2-2，2 2，求参数，求参数x x的范围的范围. . 思维启迪思维启迪 解解 （1 1）不等式）不等式mxmx2 2-2-2x x- -m m+10+10恒成立，即函数恒成立，即函数f f( (x x)=)= mxmx2 2-2-2x x- -m m+1+1的图象全部在的图象全部在x x轴下方轴下方. . 当当m m=0=0时，时，1-21-2x x0, 时，不等式恒成立时，不等式恒成立, ,不满足题意；不满足题意； 3 3分分 当当m m00时，函数时，函数f f( (x x)=)=

22、mxmx2 2-2-2x x- -m m+1+1为二次函数，为二次函数， 需满足开口向下且方程需满足开口向下且方程mxmx2 2-2-2x x- -m m+1=0+1=0无解，即无解，即 综上可知不存在这样的综上可知不存在这样的m m. 6. 6分分 2 1 ., 0)1 (44 0 无解则m mm m (2)(2)从形式上看，这是一个关于从形式上看，这是一个关于x x的一元二次不等式的一元二次不等式, , 可以换个角度，把它看成关于可以换个角度，把它看成关于m m的一元一次不等式，的一元一次不等式， 并且已知它的解集为并且已知它的解集为-2,2,-2,2,求参数求参数x x的范围的范围. 7

23、. 7分分 设设f f( (m m)=()=(x x2 2-1)-1)m m+(1-2+(1-2x x),), 则其为一个以则其为一个以m m为自变量的一次函数为自变量的一次函数, ,其图象是直线其图象是直线, , 由题意知该直线当由题意知该直线当-2-2m m22时线段在时线段在x x轴下方，轴下方， 分即9 0122 0322 , 0)2( 0)2( 2 2 xx xx f f 分分的的取取值值范范围围为为 分分得得由由 得得解解 或或得得解解 12 2 31 2 71- 11 2 31 2 71- 2 31 2 31 2 71 2 71 .| . ., , xxx x x xx 探究提高

24、探究提高 （1 1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自）解决恒成立问题一定要搞清谁是自 变量，谁是参数变量，谁是参数. .一般地，知道谁的范围，谁就是变一般地，知道谁的范围，谁就是变 量，求谁的范围，谁就是参数量，求谁的范围，谁就是参数. . （2 2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0 0就是相应就是相应 的二次函数的图象在给定的区间上全部在的二次函数的图象在给定的区间上全部在x x轴上方轴上方, ,恒恒 小于小于0 0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全 部在部在x x轴下方轴下方. . 知能迁移知能迁移4 4 已知

25、已知f f( (x x)=)=x x2 2-2-2axax+2,+2,当当x x-1,+)-1,+)时时, , f f( (x x)a a恒成立，求恒成立，求a a的取值范围的取值范围. . 解解 方法一方法一 f f( (x x)=()=(x x- -a a) )2 2+2-+2-a a2 2, , 此二次函数图象的对称轴为此二次函数图象的对称轴为x x= =a a, , 当当a a(-,-1)(-,-1)时，结合图象知，时，结合图象知，f f( (x x) )在在-1,+)-1,+) 上单调递增，上单调递增，f f( (x x) )min min= =f f(-1)=2 (-1)=2a a

26、+3,+3, 要使要使f f( (x x)a a恒成立，只需恒成立，只需f f( (x x) )min min a a, , 即即2 2a a+3+3a a, ,解得解得a a-3,-3,又又a a-1,-1, -3 -3a a-1. 00或或axax2 2+ +bxbx+ +c c00.0. 如解不等式如解不等式6-6-x x2 255x x时首先化为时首先化为x x2 2+5+5x x-60.-600或或axax2 2+ +bxbx+ +c c00)0)与一元二次方程与一元二次方程axax2 2+ +bxbx+ +c c=0=0的关系的关系. . 方法与技巧方法与技巧 思想方法思想方法 感

27、悟提高感悟提高 （1 1）知道一元二次方程）知道一元二次方程axax2 2+ +bxbx+ +c c=0=0的根可以写出对的根可以写出对 应不等式的解集；应不等式的解集； （2 2）知道一元二次不等式）知道一元二次不等式axax2 2+ +bxbx+ +c c00或或axax2 2+ +bxbx+ +c c000或或axax2 2+ + bxbx+ +c c00-1)0，如果，如果a a=0=0它实际上是一个它实际上是一个 一元一次不等式；一元一次不等式； 只有当只有当a a00时它才是一个一元二次不等式时它才是一个一元二次不等式. . 2.2.当判别式当判别式00 (0 (a a0)0)解集

28、为解集为R R; ; axax2 2+ +bxbx+ +c c0 (0)0)解集为解集为 . .二者不要混为一谈二者不要混为一谈. . 失误与防范失误与防范 一、选择题一、选择题 1.1.(2009(2009陕西理陕西理,1),1)若不等式若不等式x x2 2- -x x00的解集为的解集为MM, ,函函 数数f f( (x x)=ln(1-|)=ln(1-|x x|)|)的定义域为的定义域为N N, ,则则MMN N为为 ( ) ( ) A. A.0,1) B.(0,1)0,1) B.(0,1) C. C.0,10,1 D.(-1,0)D.(-1,0) 解析解析 不等式不等式x x2 2-

29、-x x00的解集的解集MM=x x|0|0 x x1,1,f f( (x x)= )= ln(1-| ln(1-|x x|)|)的定义域的定义域N N=x x|-1|-1x x1,1, 则则MMN N=x x|0|0 x x1.1. 定时检测定时检测 A 2.2.已知不等式已知不等式axax2 2- -bxbx-10-10的解集是的解集是 则不等则不等 式式x x2 2- -bxbx- -a a00的解集是的解集是 （ ） A.(2,3) B.(-,2)(3,+)A.(2,3) B.(-,2)(3,+) C. D. C. D. 解析解析 由题意知由题意知 是方程是方程axax2 2- -bx

30、bx-1=0-1=0的根的根, ,所所 以由韦达定理得以由韦达定理得 解得解得a a=-6,=-6,b b=5,=5,不等式不等式x x2 2- -bxbx- -a a00即为即为x x2 2-5-5x x+60,+600的解集是的解集是R R, ,q q:-1 :-1 a a000的解集是的解集是R R等价于等价于4 4a a2 2+4+4a a0,0, 即即-1-1a a0. 0. C 4.4.设命题设命题p p:|2:|2x x-3|1,-3|1,q q: : 则则p p是是q q的（的（ ） A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件 C.C.充要条件充

31、要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 不等式不等式|2|2x x-3|1-3|1的解是的解是11x x2,2, 不等式不等式 的解是的解是11x x2. 2,)2,则实数则实数t t的取值的取值 范围是范围是 （ ） A.A.（-,-1-,-1）(4,+)(4,+) B.(-,2)(3,+) B.(-,2)(3,+) C.(-,-4)(1,+) C.(-,-4)(1,+) D.(-,0)(3,+) D.(-,0)(3,+) 解析解析 由题意知由题意知t t2 2-2-2t t-12-12且且t t0,0,或或-2-2t t+62+62且且t t033或或t t0.

32、 0. . 0, 62 , 0, 12 2 xx xxx D 6.6.在在R R上定义运算：上定义运算：x x* *y y= =x x(1-(1-y y).).若不等式（若不等式（x x- -a a）* * ( (x x+ +a a)1)1对任意实数对任意实数x x恒成立，则恒成立，则 （ ） A.-1A.-1a a1 B.01 B.0a a22 C. D. C. D. 解析解析 依题设得依题设得x x- -a a- -x x2 2+ +a a2 210,0,y y00满足满足f f( (xyxy)=)=f f( (x x)+)+f f( (y y),),则不等式则不等式f f( (x x+6

33、)+ +6)+ f f( (x x)2)2f f(4)(4)的解集为的解集为_._. 解析解析 由已知得由已知得f f( (x x+6)+6)+f f( (x x)=)=f f( (x x+6)+6)x x, , 2 2f f(4)=(4)=f f(16).(16).根据单调性得根据单调性得( (x x+6)+6)x x16,16, 解得解得-8-8x x2.0,+60,x x0,0,所以所以00 x x2. 2. (0,2)(0,2) 8.8.若关于若关于x x的方程的方程x x2 2+ +axax+ +a a2 2-1=0-1=0有一正根和一负根，有一正根和一负根， 则则a a的取值范围是的取值范围是_._. 解析解析 令令f f( (x x)=)=x x2 2+ +axax+ +a a2 2-1,-1, 二次函数开口向上，若方程有一正一负