弹性力学 空间问题的基本理论

1、弹性力学 空间问题的基本理论空间问题的基本理论 第七章第七章 合肥工业大学本科生教学合肥工业大学本科生教学 弹性力学弹性力学 主讲教师：袁海平主讲教师：袁海平 (副教授、博士后副教授、博士后) 弹性力学 一、平衡微分方程一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态二、物体内任一点的应力状态 三、主应力三、主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程五、轴对称问题的基本方程 例题例题 第七章空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论 内容提要内容提要 弹性力学简明教程(第三版) 徐芝纶院士(1911-1999) 弹性力学空间问题

2、的基本理论3 在空间问题中，应力、形变和位移等基 本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以 及按位移求解和按应力求解的方法，都是 与平面问题相似的。因此，许多问题可以 从平面问题推广得到。 平衡微分方程平衡微分方程一一 弹性力学空间问题的基本理论4 取出微小的平行六面体，取出微小的平行六面体， ，zyxvdddd 考虑其考虑其平衡条件平衡条件: , 0 x F ,0 y F ; 0 z F , 0 x M , 0 y M . 0 z M 平衡微分方程平衡微分方程一一 弹性力学空间问题的基本理论5 由由x 轴向投影力的轴向投影力的平衡微分方程平衡微分方程可得

3、可得 因为因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量纲均为轴互相垂直，均为定向，量纲均为L，所，所 以以 x , y , z 坐标具有对等性，其方程也必然具有坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性对等性。 0 0 0 yx xzx x yzyxy y yz xzz z f xyz f yzx f zxy 平衡微分方程平衡微分方程一一 弹性力学空间问题的基本理论6 由3个力矩方程得到3个切应力互等定理切应力互等定理， 空间问题的平衡微分方程精确到三阶 微量。)dd(dzyx yxxy xzzx zyyz 平衡微分方程平衡微分方程一一 弹性力学 一、平衡微分方程一、平衡微分方程 二、物体内

4、任一点的应力状态二、物体内任一点的应力状态 三、主应力三、主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程五、轴对称问题的基本方程 例题例题 第七章空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论 内容提要内容提要 弹性力学简明教程(第三版) 徐芝纶院士(1911-1999) 弹性力学空间问题的基本理论8 在空间问题中，同样需要解决：由直在空间问题中，同样需要解决：由直 角坐标的应力分量角坐标的应力分量 ，来求出斜，来求出斜 面面( (法线为法线为 ）上的应力。）上的应力。 x yz n 物体内任一点的应力状态物体内任一点的应力状态二二

5、 弹性力学空间问题的基本理论9 斜面的全应力p 可表示为两种分量形式： (,). xyz pppp p沿坐标向分量： p沿法向和切向分量： (,). nn p 物体内任一点的应力状态物体内任一点的应力状态二二 弹性力学空间问题的基本理论10 取出如图的包含斜面 的微分四面体，斜面面积 为ds, 则x面，y面和z面的 面积分别为lds,mds,nds。 由四面体的力平衡条件可得 1. 求 ),( zyx pppp xxxyzx yyzyxy zzxzyz plmn pmnl pnlm 物体内任一点的应力状态物体内任一点的应力状态二二 弹性力学空间问题的基本理论11 2. 求),( nn p 将

6、),( zyx pppp 向法向 投影，即得 zyxn npmplp 222 222 . (b) xyzyzzxxy l m n mnnllm , 222222 nnzyx pppp 22222 . (c) nxyzn ppp n 得 由 物体内任一点的应力状态物体内任一点的应力状态二二 弹性力学空间问题的基本理论12 设在 边界上，给定了面力分量 则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜 面与边界重合。斜面应力分量 应 代之为面力分量 ，从而得出空间空间 问题的应力边界条件问题的应力边界条件: 3. 在 上的应力边界条件 s , zyx fff s ),( zyx ppp ),( zyx ff

7、f () () () xxyzxsx yzyxysy zxzyzsz lmnf mnlf nlmf 物体内任一点的应力状态物体内任一点的应力状态二二 弹性力学 一、平衡微分方程一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态二、物体内任一点的应力状态 三、主应力三、主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程五、轴对称问题的基本方程 例题例题 第七章空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论 内容提要内容提要 弹性力学简明教程(第三版) 徐芝纶院士(1911-1999) 弹性力学空间问题的基本理论14 1.1.假设 面(l , m

8、 , n)为主面，则此斜面上 n . , 0p nn 斜面上沿坐标向的应力分量为： zyx ppp, . , ,npmplp zyx 代入 , 得到： 主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三 弹性力学空间问题的基本理论15 考虑方向余弦关系式，有 . 1 222 nml 结论：式(a) , (b)是求主应力及其方 向余弦的方程。 (b) , ,(a ) . xyxzx yzyxy zxzyz lmnl m nlm nlmn 主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三 弹性力学空间问题的基本理论16 2. 求主应力求主应力 将式(a)改写为： 。0)( , 0)( , 0)(

9、 nml nml nml zyzxz zyyxy zxyxx 主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三 弹性力学空间问题的基本理论17 上式是求解上式是求解 l , m , n 的齐次代数方程。由于的齐次代数方程。由于l , m , n不全为不全为0，所以其系数行列式必须为零，得，所以其系数行列式必须为零，得 , 0 zyzxz zyyxy zxyxx 展开，即得求主应力的方程求主应力的方程, 32222 ()() xyzy zz xx yyzzxxy . 0)2( 222 xyzxyzxyzzxyyzxzyx ( c ) 主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三 弹性力学

10、空间问题的基本理论18 3.3.应力主向 设主应力 的主向为 。代入式 (a)中的前两式，整理后得 1 111 ,nml 11 1 11 11 1 11 ()0, (d) ()0. yxzxx yzyxy mn ll mn ll 主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三 弹性力学空间问题的基本理论19 由上两式解出 。然后由式(b)得出 1 1 1 1 , l n l m 1 22 11 11 1 .(e) 1()() l mn ll 再求出 及 。 1 m 1 n 4. 4. 一点至少存在着三个互相垂直的主应力一点至少存在着三个互相垂直的主应力 321 , （证明见书上）。 主应力

11、主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三 弹性力学空间问题的基本理论20 5.5.应力不变量应力不变量 若从式(c) 求出三个主应力 ， 则式(c)也可以用根式方程表示为， 123 ()()()0 . (f) 因式(c) 和( f )是等价的方程，故 的各 幂次系数应相等，从而得出： 321 , 主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三 弹性力学空间问题的基本理论21 1123 2122331 222 3123 222 2. xyz yz zxxyyzzxxy xyz xyzyzxzxyyzzxxy , , (g) 主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三 弹性力学空间

12、问题的基本理论22 所以分别称 为第一、二、 三应力不变量。这些不变量常用于塑性力 学之中。 式(g)中的各式，左边是不随坐标选择 而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关， 但其和也应与坐标选择无关。 321 , 主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三 弹性力学空间问题的基本理论23 6.6.关于一点应力状态的结论：关于一点应力状态的结论： 6个坐标面上的应力分量完全确定一点 的应力状态。只要6个坐标面上的应力 分量确定了，则通过此点的任何面上的 应力也完全确定并可求出。 (2)一点存在着3个互相垂直的应力主面及 主应力。 主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三 弹性力学

13、空间问题的基本理论24 (3) 3个主应力包含了此点的最大和最小 正应力。 (4) 一点存在3个应力不变量 . 321 , (5) 最大和最小切应力为 ，作用于通过中间 主应力、并且“平分最大和最小正应 力的夹角”的平面上。 13 . 2 321 设 主应力主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力三三 弹性力学 一、平衡微分方程一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态二、物体内任一点的应力状态 三、主应力三、主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程五、轴对称问题的基本方程 例题例题 第七章空间问题的基本理论第七章空间问

14、题的基本理论 内容提要内容提要 弹性力学简明教程(第三版) 徐芝纶院士(1911-1999) 弹性力学空间问题的基本理论26 空间问题的几何方程，空间问题的几何方程，可以从平面问 题推广得出： (a) x u x y v y z w z yz wv yz zx uw zx xy vu xy 几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四 弹性力学空间问题的基本理论27 从几何方程同样可得出形变与位移 之间的关系： 若位移确定，则形变完全确定。若位移确定，则形变完全确定。 从数学上看，由位移函数求导数是 完全确定的，故形变完全确定。 几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四 弹性力学空间问题的基本理论

15、28 -沿x , y , z 向的刚体平移； 若形变确定，则位移不完全确定。若形变确定，则位移不完全确定。 由形变求位移，要通过积分，会出现待定的 函数。若 ，还存在对应的位 移分量，为： 0 yzx ),(zyx 0 , yz uuzy( , , ; , , ).x y z u v w(b) 000 ,wvu zyx ,-绕x , y , z轴的刚体转动。 几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四 弹性力学空间问题的基本理论29 若在 边界上给定了约束位移分量 ，则空间问题的位移边界条件为：空间问题的位移边界条件为： u s wvu, ( ), s uu( , , ).u v w ( c )

16、 几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四 弹性力学空间问题的基本理论30 zyx zyxzzyyxx zyx ddd ddd)d)(dd)(dd(d 1)1)(1)(1 ( zyx . zyx (d) 其中由于小变形假定，略去了形变的其中由于小变形假定，略去了形变的2 2、3 3次幂。次幂。 体积应变体积应变定义为： dv dvvd 几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四 弹性力学空间问题的基本理论31 空间问题的物理方程空间问题的物理方程 应变用应力表示，用于按应力求解方法：应变用应力表示，用于按应力求解方法： ),( 1 zyxx E 2(1) , yzyz E ( x ,y ,z )

17、. (e) 可表示为两种形式： 几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四 弹性力学空间问题的基本理论32 应力用应变表示，用于按位移求解方法：应力用应变表示，用于按位移求解方法： ), 21 ( 1 xx E , (1) yzyz E (x ,y , z). ( f ) 由物理方程可以导出 , 21 E （g） 是第一应力不变量，又称为体积应力。 21 E -称为体积模量。 几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四 弹性力学空间问题的基本理论33 空间问题的应力，形变，位移等15个未 知函数，它们都是(x ,y ,z)的函数。这些函数 在区域V内必须满足3个平衡微分方程，6个 几何方程及6个物

18、理方程，并在边界上满足3 个应力或位移的边界条件。 结论： 几何方程及物理方程几何方程及物理方程四四 弹性力学 一、平衡微分方程一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态二、物体内任一点的应力状态 三、主应力三、主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程五、轴对称问题的基本方程 例题例题 第七章空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论 内容提要内容提要 弹性力学简明教程(第三版) 徐芝纶院士(1911-1999) 弹性力学空间问题的基本理论35 空间轴对称问题空间轴对称问题 采用柱坐标 表示。(,)z 如果弹性体的几何形

19、状，约束情况和所 受的外力都为轴对称，则应力，形变和位 移也是轴对称的。 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程五五 弹性力学空间问题的基本理论36 对于对于空间轴对称问题：空间轴对称问题： 应力中只有应力中只有 , zz 。0 ; 0 ; 0 u z z (a) 形变中只有形变中只有, zz 位移中只有位移中只有, z uu 所有物理量仅为所有物理量仅为( (,z,z) )的函数。的函数。 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程五五 弹性力学空间问题的基本理论37 而由, 0 F得出为 。 0, 0, (b) 0, 0. z zz z Zz Ff z Ff z 平衡微分方程：平衡微分方程

20、： 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程五五 弹性力学空间问题的基本理论38 几何方程几何方程： 其中, 00 z u，几何方程为 , , , (c) z z z z uu u z u u z 。 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程五五 弹性力学空间问题的基本理论39 物理方程：物理方程： 应变用应力表示：应变用应力表示： 。 ，（ zz Z E z E )1 (2 ),)( 1 (d) 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程五五 弹性力学空间问题的基本理论40 应力用应变表示：应力用应变表示： (), , ), 112 (e) . 2(1) zz E z E ，（ 其中。 z u

21、uu z z 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程五五 弹性力学空间问题的基本理论41 边界条件：边界条件： 一般用柱坐标表示时，边界面均为坐 标面。所以边界条件也十分简单。 在柱坐标中，坐标分量 的量 纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同 的。因此，相应的方程不具有对等性。 z , 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程五五 弹性力学 一、平衡微分方程一、平衡微分方程 二、物体内任一点的应力状态二、物体内任一点的应力状态 三、主应力三、主应力 最大与最小的应力最大与最小的应力 四、几何方程及物理方程四、几何方程及物理方程 五、轴对称问题的基本方程五、轴对称问题的基本方程 例题例题 第七

22、章空间问题的基本理论第七章空间问题的基本理论 内容提要内容提要 弹性力学简明教程(第三版) 徐芝纶院士(1911-1999) 弹性力学空间问题的基本理论43 例题 1设物体的边界面方程为 试求出边界面的应力边界条件；若 面力为法向的分布拉力 应力 边界条件是什么形式？ , 0),(zyxF ),(zyxq 例题例题六六 弹性力学空间问题的基本理论44 ,/ kFn xx （x, y, z)， 其中 1 / 2 2 22 , . x xyz F F x kFFF 解：当物体的边界面方程为 时，它的表面法线的方向余弦 为 zyx nnn , ,0),(zyxF 例题例题六六 弹性力学空间问题的基本

23、理论45 当面力为法向分布拉力q时， , x flq (x, y, z). 因此，应力边界条件为 , (). xxyxyzzxx s FFFF qx,y,z 代入应力边界条件，得 , xxyyxzzxsx F F F kf (x, y, z). 例题例题六六 弹性力学空间问题的基本理论46 例题2 试求图示空间弹性体中的应力分量。 (a)正六面体弹性体置于刚体中，上边 界受均布压力q作用，设刚性体与弹性体之 间无摩擦力。 (b)半无限大空间体，其表面受均布压 力q的作用。 例题例题六六 弹性力学空间问题的基本理论47 q q o ox x z z 例题例题六六 弹性力学空间问题的基本理论48 解：图示的(a),(b)两问题是相同的应力 状态：x向与y向的应力、应变和