高等数学随堂讲义三重积分及其在直角坐标系下的计算

1、第五讲第五讲 三重积分三重积分 及其在直角坐标系下的计算及其在直角坐标系下的计算 三重积分及其在直角坐标系下的计算三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 二、三重积分的性质二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算三、三重积分在直角坐标系下的计算 三重积分及其在直角坐标系下的计算三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 二、三重积分的性质二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算三、三重积分在直角坐标系下的计算 一、一、 三重积分的概念三重积分的概念 （一）引例（一）引例 （二）三重积分的定义（二）三重积分的定义

2、 一、一、 三重积分的概念三重积分的概念 （一）引例（一）引例 （二）三重积分的定义（二）三重积分的定义 ),( kkk k v ),(zyxf 分割：分割： ni vvvv , 21 把把分为分为 取近似：取近似： kkkkk vfM),( 求和：求和： kkkk n k vfM ),( 1 取极限：取极限： kkkk n k vfM ),(lim 1 0 一、一、 三重积分的概念三重积分的概念 （一）引例（一）引例 （二）三重积分的定义（二）三重积分的定义 一、一、 三重积分的概念三重积分的概念 （一）引例（一）引例 （二）三重积分的定义（二）三重积分的定义 定义定义 称为称为体积元素体积

3、元素, , vd.dddzyx 在直角坐标系下常写作在直角坐标系下常写作 l注注 (1)(1) (2)(2) 三重积分的物理意义三重积分的物理意义: :不均匀物体的质量不均匀物体的质量( (f f( (x x, ,y y, ,z z)0)0) .),(limd),( 1 0 n i iiii vfvzyxf 设设 是有界闭区域是有界闭区域上的有界函数上的有界函数. .将闭区域将闭区域 闭区域闭区域, ,也表示它的体积也表示它的体积. .在每个在每个 任意分成任意分成 n n 个小闭区域个小闭区域 当各小闭区域直径中的最大值当各小闭区域直径中的最大值 为函数为函数 ),(zyxf , 21n v

4、vv 其中其中 i v 表示第表示第i i个小闭个小闭 i v 上任取一点上任取一点 ),( iii 作乘积作乘积 ), 2,1(),(nivf iiii 并作和并作和 .),( 1 n i iiii vf 如果如果 0 时这和的极限总存在时这和的极限总存在, , ),(zyxf在闭区域在闭区域上的上的三重积分三重积分, , 记作记作,d),( vzyxf 即即 且与闭区域且与闭区域的分法及点的取法无关的分法及点的取法无关, ,那么称此极限那么称此极限( ,) iii 三重积分及其在直角坐标系下的计算三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 二、三重积分的性质二、

5、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算三、三重积分在直角坐标系下的计算 三重积分及其在直角坐标系下的计算三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 二、三重积分的性质二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算三、三重积分在直角坐标系下的计算 线性性质线性性质 vzyxgvzyxfvzyxgzyxfd),(d),(d),(),( 可加性可加性 21 d),(d),(d),(vzyxfvzyxfvzyxf 物理意义物理意义 Vv d V V为为的体积的体积 不等式不等式 ),(zyxgf vzyxgvzyxfd),(d),( vzyxfvzyxfd)

6、,(d),( 估值定理估值定理 ),(zyxMfm MVvzyxfmV d),( 中值定理中值定理 ),(zyxf在在上连续上连续, ,则存在则存在,),( 使得使得 Vfvzyxf ),(d),( 三重积分及其在直角坐标系下的计算三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 二、三重积分的性质二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算三、三重积分在直角坐标系下的计算 三重积分及其在直角坐标系下的计算三重积分及其在直角坐标系下的计算 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 二、三重积分的性质二、三重积分的性质 三、三重积分在直角坐标系下的计算三、三重积分在直角

7、坐标系下的计算 三、三、 三重积分在直角坐标系下的计算三重积分在直角坐标系下的计算 （一）先一后二（先单后重）法（一）先一后二（先单后重）法 （二）先二后一（先重后单）法（二）先二后一（先重后单）法 三、三、 三重积分在直角坐标系下的计算三重积分在直角坐标系下的计算 （一）先一后二（先单后重）法（一）先一后二（先单后重）法 （二）先二后一（先重后单）法（二）先二后一（先重后单）法 ,0),(zyxf设设 将其视为物体的密度函数将其视为物体的密度函数 ( , , )dMf x y zv z x y D D yxdd yxzzyxf yxz yxz ddd),( ),( ),( 2 1 物体的质量

8、为物体的质量为 vzyxfd),( ),( ),( 2 1 d),( yxz yxz zzyxf D yxz yxz zzyxfyx ),( ),( 2 1 d),(dd 细长柱体微元的质量：细长柱体微元的质量： ),( 2 yxzz ),( 1 yxzz yxdd 记作记作 Dyx yxzzyxz ),( ),(),( : 21 若若 类似可得类似可得 ),( ),( 2 1 d),(ddd),( zyx zyx D xzyxfzyvzyxf yz ),( ),( 2 1 d),(dd zxy zxy D yzyxfzx xz 计算公式计算公式 物体质量：物体质量： ),( ),( 2 1

9、d),(ddd),( yxz yxz D xzyxfyxvzyxf xy 计算步骤计算步骤 ( (以向以向xoyxoy平面投影为例平面投影为例) ) (1) (1) 画出区域画出区域的草图的草图( (或或的一部分的一部分).). (2) (2) 求区域求区域在在xoyxoy面的投影面的投影D Dxy . xy . (3) (3) 定出定出z z的上限和下限的上限和下限. . x x y y z z o o 在在D Dxy xy内作平行于内作平行于z z 轴的直线，轴的直线， 穿入区域时穿入区域时, ,的边界曲面的边界曲面F F( (x x, ,y y, ,z z)=)=0 0确确 定的定的z

10、z= =z z1 1( (x x, ,y y) )为为z z的下限的下限. . ),( 1 yxzz 穿出区域时穿出区域时, ,的边界曲面的边界曲面G G( (x x, ,y y, ,z z)=)=0 0确确 定的定的z z= =z z2 2( (x x, ,y y) )为为z z的上限的上限. . ),( 2 yxzz (4) (4) 将二重积分化为累次积分将二重积分化为累次积分. . (5) (5) 计算累次积分计算累次积分. . 1 x y z 1 2 1 u例例1 1 u例例2 2 其中其中 为抛物面为抛物面 计算三重积分计算三重积分,ddd)cos( zyxzxy 所围成的闭区域所围

11、成的闭区域 . . xy 及平面及平面 2 , 0, 0 zxzy o o x x y y z z 其中其中 为三个坐标面及平面为三个坐标面及平面 12zyx所围成的闭区域所围成的闭区域 . . ,ddd zyxx计算三重积分计算三重积分 u例例3 3 其中其中 为曲面为曲面 计算三重积分计算三重积分,ddd zyxxyz 所围成的闭区域所围成的闭区域 . . xyz 及平面及平面 1, 1, 0, 0yxyx 0z 三、三、 三重积分在直角坐标系下的计算三重积分在直角坐标系下的计算 （一）先一后二（先单后重）法（一）先一后二（先单后重）法 （二）先二后一（先重后单）法（二）先二后一（先重后单

12、）法 三、三、 三重积分在直角坐标系下的计算三重积分在直角坐标系下的计算 （一）先一后二（先单后重）法（一）先一后二（先单后重）法 （二）先二后一（先重后单）法（二）先二后一（先重后单）法 a b bza Dyx z ),( : 为底为底, , d d z z 为高的柱形薄片质量为为高的柱形薄片质量为 z D以 x y z 该物体的质量为该物体的质量为 vzyxfd),( b a Z D yxzyxfdd),( Z D b a yxzyxfzdd),(d zd z z D z D yxzyxfdd),( zd 记作记作 计算公式计算公式 设设 类似可得类似可得 xz D d c zxzyxfy

13、vzyxfd)d,(dd),( yz D f e zx,y,zfdx)dyd( Z D b a yxzyxfzdd),(d vzyxfd),( 适用条件适用条件 f f( (x x, ,y y, ,z z) )是是z z的函数的函数( (与与x x和和y y无关无关) ) D Dz z的面积较易求出的面积较易求出 x y z 计算三重积分计算三重积分,ddd 2 zyxz . 1: 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 其中 a b cz D z u例例4 4 u例例5 5 其中其中 为为 计算三重积分计算三重积分,ddd 2 zyxz 的公共部分的公共部分 2222 Rzyx Rzzyx2 222 与与 x x y y z z Z D b a yxzyxfzdd),(d vzyxfd),( 适用条件适用条件 f f( (x x, ,y y, ,z z) )是是z z的函数的函数(