非线性时间序列模型

1、非线性时间序列模型 线性模型线性模型 AR模型 MA模型 ARMA模型 ARIMA模型 非线性模型非线性模型 ARCH模型 门限模型 区制转移模型 平滑转移模型STR Markov 自回归条件异方差（自回归条件异方差（ARCH）模型）模型 ARCH模型首先由Engle（1982）为建模 英国的通货膨胀的预报方差而引进， 用于建模时间序列变化的（条件）方 差或波动性，从此这个模型被广泛地 用来建模金融和经济时间序列的波动 率。 ttt X 22 110 2 qtqtt XbXba 自回归条件异方差（自回归条件异方差（ARCH）模型）模型 和和 其中其中 ) 1 , 0(, 0, 0 0 IIDb

2、a tj Bollerslev(1986)引进了广义自回归条件 异方差（GRACH）模型 其中 , 22 11 22 110 2 qtqtptptt XbXbaaa 广义自回归条件异方差（广义自回归条件异方差（GARCH）模型）模型 0, 0 jj ba 门限模型门限模型 由H.Tong 提出的门限自回归（TAR） 模型假定在状态空间的不同区域，模 型有不同的线性形式，状态空间的划 分通常由一个门限变量来描述。 n具有 分段的门限自回归（TAR）模型 定义为 其中 是一些未知的正整 数， 且 是未知参数， 构成 的 一个分割，其含义是对所有的 2k k 门限自回归模型（门限自回归模型（TAR）

3、 011, 1 k tiiti pitpiitt di i Xbb XbXI XA 0,1 , , 1, t IIDd ppk 0 i ij b i A, =1 , iji i ij AAA k 且 门限自回归模型（门限自回归模型（TAR） nTAR模型的有用性归因于逐段线性函数类 实际上可以为更复杂的非线性函数提供简 单和易于操作的逼近。 Markov区制转移模型区制转移模型 Markov区制转移模型最早由Hamilton （1989）提出并应用到经济周期阶段 性的转变研究，随后被广泛应用于宏 观经济分析和金融行为分析当中。 Markov区制转移模型区制转移模型 Markov区制转移模型能够

4、给出数据生 成过程中结构变化的转移概率，并模 拟出时间序列的内生变化过程，能够 更好的模拟动态变化过程；Markov区 制转移模型能够详细的给出研究变量 的区制和区制转移时间，可以分阶段 对比政策对经济的作用效果。 平滑转移模型平滑转移模型 平滑转移模型（smooth transition regression）主要解决经济过程的机制 转化行为，将数据生成过程中的非线 性信息转换成可控制的模型机制，它 可以通过选取不同的转移变量或转移 函数形式较为准确的捕捉经济过程中 对称与非对称的转换。 n一般的STR模型可用两个线性模型的 加权平均形式表出，权数可由某个分 布函数来充当，而转换变量则可以控

5、 制因变量在不同状态之间的转换。经 典的具有m个解释变量的STR模型可 以写成如下形式： （1） 平滑转移模型平滑转移模型 00 ()(1( )() ( ) tttt yF zF z tt ww n其中，模型自变量的滞后阶数可通过 AIC或SIC准则判断，并综合考虑参数 估计值的T统计量和残差的自相关检 验，从较大的阶数逐一剔除。 是自变量组成 的向量，既包含因变量滞后值又可以 包含其他的外生解释变量，p+k=m， 平滑转移模型平滑转移模型 1, 12 (,) ttpttkt yyxxx t w 与 是两种不同状态下的截距项， 与 对应不同状态的参数向量。 是 取值范围在0-1之间的一个连续、

6、有 界函数，起到链接两个线性模型的传 递作用， 是转换变量，既可以是向 量 的一个元素，也可以是时间趋势、 因变量的前定变量或两者的一个线性 组合， 是服从独立同分布的误差序 列。 0 平滑转移模型平滑转移模型 0 ( ) t F z t z t w t 为了求解模型参数的方便，我们通常 把一般意义下的STR模型写成一个线 性模型与一个非线性部分的和的形式： （2） 是斜率参数在不同状态间的差异。 000 00 ()() ( ) () ( ) ttt tt yF z F z tt tt ww ww 平滑转移模型平滑转移模型 - STR模型建模步骤模型建模步骤 一、模型的线性部分，通常采用VAR

7、模型通过滞 后阶数进行判定 二、模型的非线性部分，利用LM统计量检验模型 的非线性；当确定为非线性之后，进行序贯检验， 确定转换变量以及STR模型的形式（LSTR1或者 LSTR2）。 三、进行参数估计（位置参数和平滑参数）。 四、得到STR模型的具体形式后，进行模型评价。 主要包括模型的残余非线性检验，残差的自相关 性检验，异方差性检验以及正态性检验等。 平滑转移模型平滑转移模型 n根据转换函数形式的不同，Granger和 Tersvirta把STR模型具体分为逻辑形式 STR模型（Logistic STR，LSTR）和指数 形式的STR模型（Exponential STR， ESTR）两大

8、类。 ( ) t F z 1 ( )(1exp() 0 tt F zzc ( ) t F z 平滑转移模型平滑转移模型 在在LSTRLSTR模型中，转换函数模型中，转换函数 被认为是服从逻辑函数的形式：被认为是服从逻辑函数的形式： （3 3） 而在而在ESTRESTR模型中，转换函数模型中，转换函数 又可以采用指数函数的形式：又可以采用指数函数的形式： （4 4） 2 ( )1exp() ) 0 tt F zzc n以上两式中的c可以认为是在两个状态 之间发生转换的临界值，用来确定状 态转换发生的时间， 是平滑参数， 当 很大时，转换变量相对于临界值 很小的变化都能导致剧烈的状态转换， 当其趋

9、于无穷时， 取值在临界值c周 围的变化是瞬时的，当 时，上述 两种非线性模型的非线性部分消失， 变为一个线性模型。 平滑转移模型平滑转移模型 ( ) t F z 0 LSTR转换函数和转换函数和ESTR转换函数的区别转换函数的区别 nLSTR转换函数随 的增加而单调递 增， 在超过 或没超过临界值c时有不 对称的动态行为，只要 大于c，其对因 变量 的影响就是持久的；但在ESTR模 型转换函数中， 当 在临界值周围运动 时呈对称分布， 越靠近c， 越逼近于0， 越远离c， 越向1靠近，也就是说此时 在不同的状态中有相同的动态行为但在临 界值附近却有不同的动态过程， 对 并 没有长期的影响。 t

10、 z t y t z t z t y t y t z t z ( ) t F z t z ( ) t F z t y t y t z 平滑转移模型平滑转移模型 n在对STR模型进行参数估计之前，我们需要 知道一个经济行为是否可以用STR模型去拟 合，即首先要检验非线性的STR模型设定是 否正确。Luukkonen和Saikkonen等（1988） 提出可以将转换函数用适当的泰勒级数展开 式近似替代，同时使用渐进服从 分布的 LM统计量检验模型的线性和非线性性质， LM统计量可以用于检验特定的非线性类型， 这有助于我们选择具体的非线性函数。 2 平滑转移模型平滑转移模型 nTersvirta（1

11、994）提出了一个通常可以检 验STR模型框架的构想，这种方法也可用 于确定序列能否被模型化为最优的LSTR模 型或ESTR模型。这个检验基于（2）式模 型转换函数的三阶泰勒展开。 假定正确设定的模型应该是LSTR形式的， 现将 写为： （5） 当线性原假设成立，即 时， 也成立，现求 在 为0附近的三阶泰 勒展开最后可得 （6） ( ) t F z 平滑转移模型平滑转移模型 11 ( )=(1 exp() =(1 exp() 0 ,() ttttt F zzchzch 设 0 :0H 0 t h ( ) t F z t h 23 0123 + ttttt yhhhe ttt www 其中，

12、是m维的系数向量， 为泰勒展开的余项，在线性零假设成 立时 恒为零，所以这个余项不影响零 假设成立时残差的统计性质，也就不会影 响统计量的分布。 ,1,2,3 i i 平滑转移模型平滑转移模型 ( ) ttt eR z t w ( ) t R z ( ) t R z n检验原模型（2）的线性原假设 就 相当于检验辅助回归（6）式中 而备择假设此时变为 。同 理，当进行ESTR形式的模型设定检验的时 候，只要令转换函数如下即可 将转换函数带入到（2）式后可得简化形为： （7） 0 :0H 平滑转移模型平滑转移模型 0 :1,2,3 i Hi 0 , 1 :1,2,3 i Hi 0 , 不都为 2

13、 012 + tttt yhhe tt ww 整个检验过程按照下面的步骤进行： 第一步：建立 对带有截距 项的最优 线性模型，并计算残差 和残差平方 和 。 第二步：以 为因变量，对 ， ， 进行有截距的回归，计算此时的残差平 方和 。 t y 平滑转移模型平滑转移模型 t w t 0 SSR t t h t w 2 t h t w 3 t h t w 1 SSR n第三步：计算F统计量，检验线性零假 设 。在转换变量 服 从平稳时间序列时，如下结论成立： 0 :1,2,3 i Hi 0 , 平滑转移模型平滑转移模型 t z 01 1 () 3 (41) (3 ,41) SSRSSR m SSR Tm FFm Tm 第四步：若上一步的检验结果拒绝了原假 设，肯定了非线性的STR模型，接下来就 要在LSTR模型和ESTR模型中进行选择。 Tersvirta(1998)提出了一种有效的方法， 对（6）式进行如下的序贯检验，这一检验 具有递归性，原检验和备择假设分别为: 平滑转移模型平滑转移模型 013 0223 03123 : : : H H H 0| 0|0 0|0 01 H 01 H 02 H 平滑转移模型平滑转移模型 若拒绝若拒绝，就选择，就选择LSTRLSTR模型，若接模型，若接 受受 但拒绝但拒绝 则选择则选择ESTRESTR模型，当接受模型，当接受 和和 但拒绝但拒绝