力矩转动定律转动惯量jm汇总PPT学习教案

1、会计学1 力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量jm汇总汇总 2 sin|abba 2、矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积） bac 大小：大小： 方向：右手法则（右手螺旋法则方向：右手法则（右手螺旋法则 ） a b c 复习：复习：1、矢量的标量积（点积）矢量的标量积（点积） cosabba 第1页/共44页 3 P z * O F r FrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F 一、一、力矩力矩 M 描述描述力力对刚体的对刚体的转转 动动作用作用 方向方向: 服从右手螺旋法则服从右手螺旋法则 Fd : 力臂力臂sinrd 设设 在平面内在平面内F 大小大小 : sinFrM d 第2页/

2、共44页 4 轴正向取：逆时针转动方向为 Z 1、 定轴转动的力矩方向可用正、负号表示定轴转动的力矩方向可用正、负号表示 轴正向的方向为表明Z:0MM 轴反向的方向与表明Z:0MM FrM 定义： z Or F z Or F M M0 M M0 第3页/共44页 5 2、合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和 321 MMMM 3、 合力为零，但合力矩不一定为零合力为零，但合力矩不一定为零 0,0 ii MF F F 0,0 ii MF F F FdFrMsinFrM 定轴转动定轴转动 321 MMMM代数和 第4页/共44页 6 0F 0F o F F 4、一对力偶的力矩一对力

3、偶的力矩 F F o l 0M Fl 0M 22 l F l FM FdM 0FrrFM r 第5页/共44页 7 z O k F r 讨讨 论论 FFF z FrkM z sin rFM z z F F （1）若力若力 不在转动平面内，把力分不在转动平面内，把力分 解为平行和垂直于转轴方向的两个分量解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 F 其中其中 对转轴对转轴 的力矩为零，故的力矩为零，故 对转轴的力矩对转轴的力矩 z F F 第6页/共44页 8 O （2）刚体内刚体内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩 互相互相抵消抵消 j r i r i j F F d M M 0 dFFdM

4、MM ij 0 ij M 为零。刚体对转轴的合内力矩 Z 第7页/共44页 9 r R T1 T2 T R TRM 对转轴： FdFrMsinFrM 5、求合力矩求合力矩 rTRTM 12 转对轴： + + 第8页/共44页 10 L mg cos 2 1 L cos 2 mg L M T2T1 RFRFM O T2 F T1 F C P O R 第9页/共44页 11 O r m z 二二 转动定律转动定律 F t F n F rFMsin mr M （1）单个质点单个质点 与转轴刚性连接与转轴刚性连接 m t rFM 转动平面转动平面 合力 2 mr O z i m i r 外i F 内i

5、 F （2）刚体刚体 itit FrFrM iii 2 iir m2 ititiitii FFmamr 质量元质量元 tt maF 第10页/共44页 12 质元绕质元绕Z轴转动的力矩轴转动的力矩 itit FrFrM iii 2 iir m O z i m i r 外i F 内i F 质量质量 元元 合外合外力矩力矩合内合内力矩力矩 itit FrFrM iii 2 iir m 刚体绕刚体绕Z轴转动的力轴转动的力 矩矩 rmMM iiii 2 内外 第11页/共44页 13 rmMM iiii 2 内外 0 内 合内力矩： i M rmMM iii )( 2 外 刚体对转轴的合外力矩刚体对转

6、轴的合外力矩: )( 2 iir mJ 令：令： O z 转动定转动定 律律 JM 刚体对转轴的刚体对转轴的转动惯量转动惯量 第12页/共44页 14 刚体定轴转动的角刚体定轴转动的角 加速度与它所受的加速度与它所受的合外合外 力矩力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的 转动惯量转动惯量成反比。成反比。 JM 2 iir mJ 转动惯量转动惯量 1、刚体的定轴刚体的定轴转动定律转动定律 O z i m i r 第13页/共44页 15 讨讨 论论 J M （1） t JJM d d （2） （3） 不变不变M，0 转动定转动定 律律 JM O z i m i r 外i F M ，改变改变了物体了

7、物体 转动的状态转动的状态，使物体转动变快或变慢。使物体转动变快或变慢。 力矩作用的效果：力矩作用的效果：产生角加速度产生角加速度 2 iir mJ 第14页/共44页 16 比较比较 JM amF J 是物体转动惯性的量度。是物体转动惯性的量度。 m 是物体平动惯性的量度。是物体平动惯性的量度。 改变物体平动状态的原因改变物体平动状态的原因aF M改变物体转动状态的原因改变物体转动状态的原因 牛顿二定理牛顿二定理 定轴转动定理定轴转动定理 J 的的意义：物体意义：物体转动惯性的量度转动惯性的量度 . 第15页/共44页 17 v 质量离散分布质量离散分布 22 22 2 11 2 jjjj

8、rmrmrmrmJ v 质量连续分布质量连续分布 Vr mrrmJ V j j j d d 2 22 ：质量元：质量元md ：体积元：体积元Vd 三转动惯量三转动惯量 O z dm r * r: 质点到转轴的垂直距离质点到转轴的垂直距离 单位：单位：kgm2 dm=dV 第16页/共44页 18 v 质量离散分布质量离散分布 22 22 2 11 2 jjjj rmrmrmrmJ J 的计算方法的计算方法 1、 如图，如图，求质点求质点 m 对过圆心且垂对过圆心且垂 直于转动平面的转轴的转动惯量。直于转动平面的转轴的转动惯量。 m r o mrJ 2 解： 第17页/共44页 19 2、 由长

9、由长l 的轻杆连接的的轻杆连接的 质点如图所示，求质点质点如图所示，求质点 系对过系对过A垂直于纸面的轴垂直于纸面的轴 的转动惯量的转动惯量 2 222 32 )2)(54()2(32 ml lmmlmmlJ 解：解： l ll l A mm2m3 m4 m5 l 2 22 22 2 11 2 jjjj rmrmrmrmJ 第18页/共44页 20 v 质量连续分布质量连续分布 mrJd 2 3. 一长为一长为 的细杆，质量的细杆，质量 均匀分布均匀分布 ，求，求 该过杆的中点且垂直于杆的轴的转动惯量。该过杆的中点且垂直于杆的轴的转动惯量。 Lm o 解解 ： mrJd 2 x 2 L 2 L

10、 2 33 12 1 883 1 mL LL L m x dxmd dx 2 2 2 d L L x L m x xr dmx 2 第19页/共44页 21 刚体的对轴的转动惯量与什么因素有关刚体的对轴的转动惯量与什么因素有关 ？ mrJd 2 与刚体总质量有关与刚体总质量有关; 与刚体对转轴的位置与刚体对转轴的位置r有关有关; 与刚体质量分布有关与刚体质量分布有关. 图图 1 图图 2 21 JJ 常用的转动惯量常用的转动惯量 （P110 表表 ） 第20页/共44页 22 2 mdJJ CO 四四 平行轴定理平行轴定理 质量为质量为 的刚体的刚体， 如果对其质心轴的转动如果对其质心轴的转动

11、 惯量为惯量为 ， ，则对任一与 则对任一与 该轴平行该轴平行，相距为相距为 的的 转轴的转动惯量转轴的转动惯量 C J m d d C O m c JJ 第21页/共44页 23 质量为质量为m，长为，长为L的细棒绕其一端的的细棒绕其一端的J P 22 2 1 mRmRJ P 圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量 Rm O 22 3 1 ) 2 (mL L mJJ c 2 mdJJ c 2 12 1 mLJc O1 d=L/2 O1 O2O2 第22页/共44页 24 2 22 2 11 2 1 2 1 RmRmJ 如如: 两个圆盘对两个圆盘对 轴的转动惯量轴的转动惯量 2 R 2 m

12、O 2 1 R 1 m O 1 同轴的转动惯量可以叠加同轴的转动惯量可以叠加 第23页/共44页 25 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘大都分布于外轮缘 ？ 2 mRJ 圆环： 2 2 mR J 圆盘： JM 定轴转动定理定轴转动定理 JM / 更稳定更稳定 第24页/共44页 26 竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ JM 定轴转动定理定轴转动定理 J M 细棒绕其一端细棒绕其一端 2 3 1 mLJ mgdM sin 2 L d mg d 3/ ) 2/(sin 2 mL Lmg L g 2 sin3 o N F 第25页/共44页 27 ( (2) ) 为

13、瞬时关系为瞬时关系 ( (3) ) 转动中转动中 与平动中与平动中 地位相同地位相同 maF JM ( (1) ) , 与与 方向相同方向相同 JM M 说明说明 转动定律应用转动定律应用JM 第26页/共44页 28 合外力矩合外力矩 应由各分力矩进行合成应由各分力矩进行合成 。 在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分 力矩与此向相同则为正，反之为负。力矩与此向相同则为正，反之为负。 合外力矩合外力矩 与角加速度与角加速度 方向一致。方向一致。 刚体所受的对某刚体所受的对某 定轴的合外力矩定轴的合外力矩 对该轴的对该轴的 转动惯量转动惯量

14、 刚体获得的刚体获得的 角加速度角加速度 1受力分析、求合力矩受力分析、求合力矩 2 2由定律列方程由定律列方程 步骤：步骤： 第27页/共44页 29 m1 R m 细绳缠绕轮细绳缠绕轮 缘缘 细绳线加速度细绳线加速度 a T T 由转动定理由转动定理 滑轮滑轮 得得 小物体小物体 gm1 a 由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得 运动学关系运动学关系 解之解之 得得 作业：作业： 三、三、2 2、 作业：作业： 三、三、3 3 、 三：三：5 5 作业：作业： 三、三、4 4、 N P 不计摩擦不计摩擦 第28页/共44页 30 例例2:2: 一定滑轮的质量为一定滑轮的质量为 ，半径为，半径为

15、 ，一轻，一轻 绳两边分别系绳两边分别系 和和 两物体挂于滑轮上，绳不两物体挂于滑轮上，绳不 伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初 角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律 。 m 1 m 2 m r 2 m 1 m r m 已知已知0, 021 rmmm 求：求： ?t 思路：思路：先求角加速度先求角加速度 受力平动受力平动 +受力矩转动受力矩转动 amF JM z 滑轮质滑轮质 量不能量不能 忽略忽略 第29页/共44页 31 1 T 1 a gm1 2 a 2 T gm2 以向下为正以向下

16、为正 ) 1 ( 11111 amTgmm： 以向上为正以向上为正 )2( 22222 amgmTm： 2 m 1 m r m 解：解：取地面参考系取地面参考系 （受力分析）（受力分析） amF 平动平动 r + 1 T 2 T N mg z MJ定轴转定轴转 动动 ) 3 ( 2 1 2 21 mrJrTrT 思考：思考：? 2121 TTaa 滑轮质量滑轮质量 不能忽略不能忽略不可伸长不可伸长 平动平动 第30页/共44页 32 四个未知数：四个未知数：, 21 TTa 绳与滑轮间无相对滑动：绳与滑轮间无相对滑动： )4(raa t rmmm gtmm t 2 1 21 21 0 ) 3

17、( 2 1 2 21 mrJrTrT 2 m 1 m r m 三个方程三个方程 ？ ) 1 ( 111 amTgm ) 2 ( 222 amgmT 解得解得 ： rmmm gmm 2 1 21 21 常常 数数 t a a r a p 第31页/共44页 33 例例3 质量为质量为mA的物体的物体A 静止静止在光滑水平面在光滑水平面 上，和一质量不计的绳索相连接，绳跨过一半径上，和一质量不计的绳索相连接，绳跨过一半径 为为R、质量为、质量为mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮C，并系在另一质，并系在另一质 量为量为mB 的物体的物体B上，上，B 竖直悬挂竖直悬挂滑轮与绳索间滑轮与绳索间 无滑动无滑动，

18、 且且滑轮与轴承间的摩擦可滑轮与轴承间的摩擦可略去不计略去不计 ( (1) )两物体两物体线加速度线加速度为多为多 少？少？ 水平和竖直两段绳的水平和竖直两段绳的 张力张力各为多少？各为多少？ ( (2) ) B 从从静止落下静止落下距离距离 y 时，其时，其速率速率是多少是多少？ A B A m B m C m amF AA JM amF BB C t a a a a 第32页/共44页 34 解解 ( (1) ) 隔离物体隔离物体,受力受力 分析，运动分析，取坐标，分析，运动分析，取坐标， 建立方程建立方程 A B C A m B m C m A P Ox T1 F N F A m y O

19、 T2 F B P B m T2 F T1 F C P C F a a 向向 里里 为为 正正 顺时针为正顺时针为正 第33页/共44页 35 amF AT1 amFgm BT2B JRFRF T1T2 Raa t y O T2 F B P B m T2 F T1 F C P C F A P Ox T1 F N F A m a a 2 2 1 mRJ 第34页/共44页 36 2 CBA B mmm gm a 2 CBA BA T1 mmm gmm F 2 )2( CBA BCA T2 mmm gmmm F 解解 得得 T2T1 FF时：0 Cm A B C A m B m C m 第35页/

20、共44页 37 BA BA T2T1 mm gmm FF 如令如令 ，可得，可得0Cm 2 CBA BA T1 mmm gmm F 2 )2( CBA BCA T2 mmm gmmm F A B C A m B m C m 轻绳和轻滑轮轻绳和轻滑轮: 绳中的张力处处相等绳中的张力处处相等. 第36页/共44页 38 （2） B 从从静止落下静止落下距离距离 y 时，其时，其速率速率 是多少？是多少？ 2/ 2 2 CBA B mmm gym ay v 2 CBA B mmm gm a 初速度为零初速度为零 A B C A m B m C m a 常数常数 匀加速直线运动匀加速直线运动 第37页/共44页 39 稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细 杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转转 动试计算细杆转动到与竖直线成动试计算细杆转动到与竖直线成 角时角时 的的角加速度角加速度和和角速度角速度 例例4一长为一长为 l 、质质 量为量为 m 匀质细杆竖直放匀质细杆竖直放 置，其下端与一固定铰链置，其下端与一固定铰链 O