131单调性与最大(小)值

1、 学校准备建造一个长方形的花坛，学校准备建造一个长方形的花坛， 面积设计为面积设计为1616平方米。平方米。 由于周围环由于周围环 境的限制，其中一边的长度既不能超境的限制，其中一边的长度既不能超 过过1010米，又不能少于米，又不能少于2 2米。求花坛长与米。求花坛长与 宽两边之和的最小值和最大值。宽两边之和的最小值和最大值。 16平方米平方米 1 10 0) )x x( (2 2 x x 1 16 6 x x两两边边之之和和为为y y 设长方形受限制一边长为设长方形受限制一边长为 x 米，米，1 10 0. .x x2 2 米米. . x x 1 16 6 则则另另一一边边长长为为 x x

2、 x 1 16 6 16平方米平方米 的的最最小小值值和和最最大大值值。求求函函数数1 10 0) )x x( (2 2 x x 1 16 6 x xy y 利用不等式可求最小值；利用不等式可求最小值；如何求最大值？如何求最大值？ 研究研究y随随x的的变化而变化的规律变化而变化的规律 467 756 1971 3360 上海市年生产总值统计表上海市年生产总值统计表 1985199019941997 10 20 年份 生产总值 （亿元） 30 79.10 13.12 04.14 38.15 上海市高等学校上海市高等学校 在校学生数统计表在校学生数统计表 1985199019941997 10 1

3、5 年份 人数 （万人） 5 423 359 209 176 上海市日平均上海市日平均 出生人数统计表出生人数统计表 1985199019941997 450 150 年份 人数 （人） 250 350 96.33 32.32 78.30 80.29 上海市耕地面积统计表上海市耕地面积统计表 1985199019941997 28 30 年份 面积 （万公顷） 32 34 Ox y 1xy 1 1 o O x y 2x2y 2 1 O x y x2xy 2 21 y Ox x 1 y y xo o o Ox y 1 x )x(f 1 2 xy Ox y 1 x )x(f 1 2 xy Ox y

4、 1 x )x(f 1 2 xy O x y 1 x )x(f 1 2 xy Ox y 1 x )x(f 1 2 xy O x y 1 x )x(f 1 2 xy Ox y 1 x )x(f 1 2 xy Ox y 1 x )x(f 1 2 xy Ox )x(f 1 1 x y 2 xy , 21 xx在给定区间上任取 21 xx )f(x)f(x 21 函数f (x)在给定区间 上为增函数。 Ox y ) x( fy 如何用如何用x与与 f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？ )x( f 1 1 x 如何用如何用x与与 f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？ , 21 xx在给定

5、区间上任取 21 xx 函数f (x)在给定区间 上为减函数。 )f(x)f(x 21 )x( f 1 )x ( f 2 ) x ( fy O x y 1 x 2 x )x ( f 2 2 x ）上是增函数。，（ 在区间证明函数 1x2)x(f 例例1 1 单调性，并加以证明。 的判断函数例 x2x)x(f 2 2 单调递增区间：单调递增区间： 单调递减区间：单调递减区间： 1 ,( ), 1 x x2x) x( f 2 y 2 1 o 的单调区间？ 10 , 2x, x 16 x)x(f 引例引例的继续：的继续：如何判断函数 方法一方法一方法二方法二方法三方法三证明证明 1 10 0 ， 4

6、 4 和和 4 4 在在 2 2, , x x 1 16 6 x xf f( (x x) ) 引例引例的继续：的继续：如何应用函数如何应用函数 ？上上的的单单调调性性求求其其最最大大值值 课堂小结：课堂小结： （1）函数单调性的概念；）函数单调性的概念； （2）判断函数单调区间的常用方法；）判断函数单调区间的常用方法； （3）解决实际问题的数学思想方法。）解决实际问题的数学思想方法。 （2） （3） 作业作业 （1） 函数单调性的概念：函数单调性的概念： 1. 如果对于属于这个区间的自变量的任意如果对于属于这个区间的自变量的任意 ) ), ,f f( (x x) )都都有有f f( (x x时

7、时, ,x x当当x x, ,x x, ,两两个个值值x x 2 21 12 21 12 21 1 称函数称函数 f(x)在在这个区间上是增函数。这个区间上是增函数。 2. 如果对于属于这个区间的自变量的任意如果对于属于这个区间的自变量的任意 ),),f(xf(x) )都有f(x都有f(x时,时,x x当x当x, ,x x, ,两个值x两个值x 2 21 12 21 12 21 1 称函数称函数 f(x)在在这个区间上是减函数。这个区间上是减函数。 一般地，对于给定区间上的函数一般地，对于给定区间上的函数f(x)： 方法一：分析函数值大小的变化方法一：分析函数值大小的变化。 方法二：分析函数的

8、图象方法二：分析函数的图象。 方法三：比较大小过程中的数值分析方法三：比较大小过程中的数值分析。 判断函数单调区间的常用方法：判断函数单调区间的常用方法： 方法一方法一方法二方法二方法三方法三 解决实际问题的数学思想方法：解决实际问题的数学思想方法： 实际问题实际问题数学问题数学问题 实际问题的解实际问题的解数学问题的解数学问题的解 建立数学模型建立数学模型 实践验证实践验证 求解求解有解吗？有解吗？ 作业：作业： P43 3、4、5 x x x x 1 16 6) )x x ( (x x ) )x x( (x x 2 21 1 2 21 12 21 1 , , 4 4x xx x2 2 2

9、21 1 , , 0 0 x xx x 2 21 1 , , 1 16 6x xx x4 4 2 21 1 , , 0 0) )f f( (x x) )f f( (x x 2 21 1 ) ), ,f f( (x x ) )即即f f( (x x 2 21 1 上上单单调调递递减减。 4 4 2 2, , 在在 x x 1 16 6 x xf f( (x x) ) 0 01 16 6- -x x即即x x 2 21 1 , , 4 4x xx x2 2 设设 2 21 1 证明：证明： ) )f f( (x x) )f f( (x x 2 21 1 ) ) x x 1 16 6 ( (x x)

10、 ) x x 1 16 6 ( (x x 2 2 2 2 1 1 1 1 x x x x ) )x x1 16 6( (x x ) )x x( (x x 2 21 1 1 12 2 2 21 1 方法一：分析函数值大小的变化方法一：分析函数值大小的变化。 x y 9865437102 10. 8108. 78. 288. 39. 311.610 单调递减区间： 单调递增区间： 猜测：2，4 4，10 10 , 2, 16 )( x x xxf O x y 4 4 8 8 12 12 16 16 xy x 16 y x 16 y x 102614 方法二：分析和函数的图象方法二：分析和函数的图象

11、 猜测：猜测： 单调递减区间：单调递减区间： 2，4 单调递增区间：单调递增区间： 4，10 方法三：比较大小过程中的数值分析方法三：比较大小过程中的数值分析。 x x )16x x( )xx( )x( f)x( f 21 2121 21 ,xx , 10, 2xx 212 , 1 且设 正负号的关键是确定)x(f)xf( 21 在同一区间内，由于 21 x,x ,16xx 21 欲使 ,16xx 21 欲使 。的正负号确定 16)xx( 21 , 4 2x,x 21 ，则需 . 01 4x,x 21 ，则需 4上单调递减,4上单调递减, 在2,在2, x x 1616 x xf(x)f(x)

12、 ; ; 1 10 0) )4 4 上上最最大大值值为为f f( (2 2 f f( (x x) )在在 2 2, , 递递增增, ,在在 4 4, ,1 10 0 上上单单调调 x x 1 16 6 x xf f( (x x) ) . . 5 5 5 58 8 上上最最大大值值为为f f( (1 10 0) ) 1 10 0 4 4, , f f( (x x) )在在 ， f f( (2 2) )f f( (1 10 0) ) . . 5 5 5 58 8 为为f f( (1 10 0) ) 解：解： 2 2, ,1 10 0 的的最最大大值值x x x x 1 16 6 x x函函数数f f( (x x) ) ， ）上是增函数。，（