1直线与椭圆关系（教师版）

1、第5课时 直线与椭圆的位置关系20161201姓名 1直线与椭圆的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为，0时，有两个公共点，0时，有一个公共点，0时，有两个公共点，0时，有一个公共点，0时，没有公共点在判定此类情形时，应注意数形结合2直线与椭圆的交点间的线段叫做椭圆的弦设弦AB端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2),直线AB的斜率为k，则：AB= 或： 利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算焦半径公式 3中点弦问题：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆

2、上不同的两点，且x1x2，x1x20，M(x0，y0)为AB的中点，则 两式相减可得，即 例1.设、分别是椭圆的左、右焦点. （1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）是否存在过点P（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.解：（1）易知 设P（x，y），则 ，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4 （2）假设存在满足条件的直线l易知点P（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为 由方程组依题意 当时

3、，设交点C，CD的中点为R，则又|F2C|=|F2D| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|，综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 例2.已知椭圆M：(ab0)的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4，（）求椭圆M的方程；（）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值解：（）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4，所以2a+2c=6+4，又椭圆的离心率为，即，所以，所以a=3，c=2，所以b=1，椭圆M的方程为。（）不妨设BC的方程y=

4、n(x-3)(n0)，则AC的方程为，由得，设，因为，所以，同理可得，所以，设，则，当且仅当时取等号，所以ABC面积的最大值为。 (3) 思考：若直线l与椭圆交于不同的两点A、B,以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，此时直线恒过定点？ (4) 求以A(2,1)为中点的椭圆的弦所在直线方程；变式训练2：若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为（ ）A2 B2 C D 解：D例3. 在椭圆上恒有两点关于直线y4xm对称，求m的取值范围设椭圆上两点A(x1,y1)、B(x2,y2) 关于直线y=4x+m对称，AB中点为M(x0,y0)。则3x12+4y12=123x22+4y22=12相减

5、得到：3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0由于M是AB的中点，所以x1+x2=2x0,y1+y2=2y0既6x0(x1-x2)+8y0(y1-y2)=0则k=y1-y2/x1-x2=-3x0/4y0=-1/4.y0=3x0.代入直线方程y=4x+m得x0=-m,y0=-3m因为(x0,y0)在椭圆内部。则3m2+4(-3m)212解得 -213/13mb0)的左准线上，过点P且方向为(2,5)的光线，经直线y2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A）A B C D 8若椭圆的离心率为，则其长轴长等于 。2或49.已知圆A：，动圆M经过点B（-3，0）且与

6、圆A相切，则动圆圆心M的轨迹方程为_ _.10.设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为 11点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若PF1F2为直角三角形，则PF1F2的面积是9或12.已知椭圆的两个焦点为、，点在椭圆G上，且，且，斜率为1的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P1（-3,2）.（1）求椭圆G的方程；（2）求的面积.13.已知M(-3,0)N(3,0),P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m(m-1,m0).(1)求P

7、点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？(2)若,P点的轨迹为曲线C,过点Q(2,0)斜率为的直线与曲线C交于不同的两点AB,AB中点为R,直线OR(O为坐标原点)的斜率为，求证为定值；（3）在（2）的条件下，设，且，求在y轴上的截距的变化范围解：（1）由 得 ，若m= -1，则方程为 ，轨迹为圆（除A B点）若 ，方程为 ，轨迹为椭圆（除A B点）；若 ，方程为 ，轨迹为双曲线（除A B点）。（2） 时，曲线C方程为 ，设 的方程为： 与曲线C方程联立得： ，6分设 ，则 ， ，可得 ， 。（3）由 得 代入得：， ，式平方除以式得： ，而 在 上单调递增， ， ，在y轴上的截距为b， = ，。3

8、【解析】c试题分析：在椭圆中，a=2，c=1，椭圆上点到右焦点的最小距离是a-c=1，最大距离是a+c=3，因为数列|PnF|是公差大于的等差数列，所以要使n最大，应让=a-c=1，=a+c=3，所以d=，所以，所以n的最大值为200。719设x，yR，,为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若x(y2)，x(y2)，且|8(1) 求动点M（x，y）的轨迹C的方程(2) 设曲线C上两点A、B，满足(1)直线AB过点（0，3），(2) 且OAPB为矩形，求直线AB方程.20动圆M过定点A(，0)，且与定圆A：(x)2y212相切(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)过点P(0，2)的直

9、线l与轨迹C交于不同的两点E、F，求的取值范围19( 1 ) 解：令M(x，y)，F1(0,2)，F2(0，2)则，即|，即|8又 42c， c2，a4，b212所求轨迹方程为 ( 2) 解：由条件(2)可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在，设AB方程为ykx3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (3k24)x218kx210x1x2 x1x2y1y2(kx13) (kx23)k2 x1x23k(x1x2)9 OAPB为矩形， OAOB 0 x1x2y1y20 得k 所求直线方程为yx3xyFA(,0)EMP(0, 2)A(,0)20解：(1)A(，0)，依题意有|MA|2|MA|MA|2 2点M的轨迹是以A、A为焦点，2为长轴上的椭圆，a，c b21因此点M的轨迹方程为(2) 解法一：设l的方程为xk(y2)代入，消去x得：(k23)y24k2y4k230由0得16k4(4k23)(k23)0 0k21设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则y1y2，y1y2又(x1，y12)，(x2，y22)x1x2(y12)(y22)k(y12