小学数学思想方法(类比和转化）

1、小学数学思想方法第五讲类比和转化当一个比较陌生或复杂的问题与一个比较熟悉或简单的问题之间具有某种相似性的时候，可以把解决前者所用的方法加以推广应用到后者，这种思想方法叫做类比。类比是一种非常有用的思想方法，不过因为任何两个相似的对象之间总会有一定的差异，不恰当的类比也可能产生错误，因此在使用类比方法时要注意避免发生这种情况。例1如图，一个正方形可以分成4个小正方形。能否把一个正方形分成6个、7个、8个，以至更多的小正方形(大小不一定相同)？解：用类比的方法容易想到，可以先把一个正方形分成9个小正方形，再反其道而行之，把其中4个小正方形合并成1个较大的正方形，就能得到6个正方形(图1)。进而想到

2、分成7个小正方形的方法(图2)。再与分成6个正方形的方法类比，就能想到分成8个小正方形的方法(图3)。要得到10个小正方形，只要先分成7个小正方形，再把其中的1个小正方形分成4个更小的正方形就可以了。照这样，分成再多的小正方形都是可以做到的。例2一段楼梯有10个台阶，如果规定每一步只能登上一个或两个台阶，那么，要登上第10个台阶，有多少种不同的走法？解：从最简单的情况入手：根据已知条件，登上第1个台阶只有1种走法。登上第2个台阶就有2种走法。登上第3个台阶，既可以从第2个台阶向上一步登一个台阶，也可以从第1个台阶向上一步登两个台阶。登上第4个台阶，既可以从第3个台阶向上一步登一个台阶，也可以从

3、第2个台阶向上一步登两个台阶。由此得到一种带有普遍性的走法：登上第n个台阶的走法an，等于登上第n1个台阶的走法an-1和登上第n2个台阶的走法an-2的和，即anan-1an-2。由于a11，a22。所以，登上各个台阶的走法数依次为1,2，3,5，8,13,21,34,55,89。于是登上第10个台阶有89种不同的走法。这里所使用的方法也叫“递推”，就是一步一步推下去的意思，著名的菲波那契数列就是用这种方法得到的。例3用两个点把一个圆周分成两段半圆弧，在这两个分点上写上1；然后把两段半圆弧二等分，在两个分点上写上相邻两点上的数的和；再把4段圆弧二等分，在分点上写上相邻两点上的数的和。如此继续

4、下去，问第6步操作后，圆周上所有点上的数的和是多少？解：按照题目所说的，一边画、一边计算、一边思考，得到：每次操作后，因为所增加的每个数都是原来相邻两个数的和，在求和时原来的每个数都用了两次，所以每次增加的数的和，等于这次操作前圆周上所有的数的和的2倍，也就是说，每操作一次，圆周上所有的数的和等于这次操作前圆周上所有的数的和的3倍。如果把第n次操作后圆周上所有的数的和记作an，把这次操作前圆周上所有的数的和记作an-1，就得到an3an-1。所以a6a133333，因为a12，于是a6233333486。例4用对角线把正六边形剖分成三角形(这些三角形的顶点是正六边形的顶点)，共有多少种不同的方

5、法？解：为了找到规律，可以从四边形、五边形入手，再推进到六边形：(1)四边形。对角线A1A3把四边形分为2个三角形，对角线A2A4把四边形分为另外2个三角形，所以把四边形分成三角形的方法共有2种。(2)五边形。对角线A1A3把五边形分为1个三角形和1个四边形，而四边形分成三角形的方法有2种，于是把五边形分成三角形的方法也有2种；同理，对角线A1A4把五边形分成三角形的方法也有2种；对角线A1A3和A1A4并用，也可以把五边形分成三角形。所以把五边形分成三角形的方法共有2215种。(3)六边形。对角线A1A3把六边形分为1个三角形和1个五边形，而五边形分成三角形的方法有5种，于是把六边形分成三角

6、形的方法也有5种；同理，对角线A1A5把六边形分成三角形的方法也有5种；对角线A1A4把六边形分成2个四边形，每个四边形分成三角形的分法有2种，于是把六边形分成三角形的方法有224种。所以把正六边形分成三角形的方法共有55414种。通常，当我们要处理一个陌生的或复杂的问题时，总是先设法把它变成比较熟悉的或者比较简单的问题，这种数学思想方法叫做转化。转化是一种最常用的数学思想方法。例5四十一位数555999(其中5和9各有20个)，能被7整除，那么，方格内的数字是几？解：先从能被7整除的连续几个5和连续几个9入手。试算发现555555779365,9999997142857，而555555、99

7、9999都是6位数。206余2，所以，问题转化为“5599能被7整除，方格内的数字是几？”从5599先减去一个能被7整除的整千数49000得6099，再从6099里减去一个能被7整除的两位数98得601，再从601里减去一个被7整除的数1001得500，显然方格内的数字应该是6。例6一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，工人的工作效率相同，甲工地的工作量是乙工地的3/2倍。上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有7/12的人去甲工地，其余工人去乙工地。到傍晚下班时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多少人？解：根据对应的思想方法，要求出这批工人

8、有多少人，必须知道4人相当于这批工人的几分之几。下面就按照这个思路进行必要的转化：(1)“上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍”，转化为“上午去甲工地的人数占总人数的3/4，去乙工地的占总人数的1/4”；(2)从“下午这批工人中有7/12的人去甲工地”，得出“下午去乙工地的占总人数的5/12”；(3)“到傍晚下班时，甲工地的工作已做完”，转化为“如果半天完成工作，甲工地需要总人数的3/47/124/3”。(4)根据“甲工地的工作量是乙工地的3/2倍”，得出“如果半天完成工作，乙工地需要总人数的4/33/28/9”，进而得出“还缺总人数的8/91/45/128/36”；(5)“乙工地的工作还需

9、4名工人再做1天”转化为“乙工地的工作还需要428(人)干半天”；(6)“如果半天完成工作，乙工地需要总人数的8/9”，与“乙工地的工作还需要8(人)干半天”相对应，所以这批工人有88/3636(人)。例7图(a)是一个直径3厘米的半圆，AB是直径。让A点不动，把整个半圆逆时针转60角，此时B点移动到B点，见图(b)，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？解：阴影部分的面积，等于全部图形的面积减去直径为AB的半圆的面积，而全部图形的面积等于直径为AB的半圆与半径为3厘米的圆的1/6。实际上这两个半圆的面积是相等的，所以阴影部分的就等于半径为3厘米的圆的1/6，是1/63.14324.71(平方

10、厘米)。例8左下图中，已知AE1/5AC，CD1/4BC，BF1/6AB，那么DEF的面积是ABC的面积的几分之几？解：连结AD、BE、CF如右上图。因为CD1/4BC，所以SACD1/4SABC。因为AE1/5AC，所以SCDE4/5SACD4/51/4SABC1/5SABC；同理，SBDF1/6SABD1/63/4SABC1/8SABC；SAEF1/5SACF1/55/6SABC1/6SABC。所以，DEF的面积是ABC的面积的11/51/81/661/120。练习：1把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1、图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形。已知图1中阴影部分的面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是多少平方分米？2用6个边长为1的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形，如果要拼成一个边长为6的正六边形，需要边长为1的正三角形多少个？3按照左下图中所指的方向，从A点到J点有多少条不同的路线？4如右上图，象棋盘上一个兵过河后，沿最短路线走到对方的“将”处，有多少种不同的走法？5计算：19199199919999，一直加到1后面有1999个9，得多少？6、3333333333333333，一直加到1995个3，和的末三位数字是哪几个数字？7六年级的人数在80110之间，如果每8人组成一组，那么有一个小组多5人；如果每12人组