流体运动的连续性方程理性流体运动微分方程及其积分伯努利方程PPT学习教案

1、会计学1 流体运动的连续性方程理性流体运动微流体运动的连续性方程理性流体运动微 分方程及其积分伯努利方程分方程及其积分伯努利方程 流体运动的连续性方程 流场中的微元平行六面控制体 一、连续性微分方程 第1页/共26页 连续性微分方程的一般形式 zyx z u m zyx y u m zyx x u m z z y y x x ddd )( ddd )( ddd )( 1、单位时间内在x、y、z方向流进、流出控制体的流体质量差分别为： 2、根据质量守恒定律，单位时间内流进、流出控制体的流体质量差应等于控制体内因流体密度变化所引起的质量增量：即 dzddyx t mmm zyx 0 )( )( )

2、( z u y u x u t z y x 0)( u t 或 适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。 第2页/共26页 连续性积分方程的一般形式 二、连续性积分方程 A 1 dA 1 1 1 总流 元流 u 1 u 2 A 2 dA 2 2 2 0)( VV dVudV t VV V t V t dd VA n AuVudd)( 1、因控制体不随时间变化，式中第一项 2、据数学分析中的高斯定理，式中第二项 0d A n V AudV t 第3页/共26页 恒定不可压缩总流的连续性方程 三、恒定不可压缩总流的连续性积分方程（the continuity equation）

3、A 1 dA 1 1 1 总流 元流 u 1 u 2 A 2 dA 2 2 2 12 0dd 2211 AA AuAu V qAvAv 2211 已知变扩管内水流作恒定流动，其突扩前后管段后管径之比d1/d2=0.5，则突扩前后断面平均流速之比v1/v2=?。 第4页/共26页 4 理想流体的运动微分方程及其积分 一、理想流体的运动微分方程 x z o y 微元平行六面体x方向的受力分析 2 dx x p p M 2 dx x p p N 第5页/共26页 欧拉运动微分方程 x z o y 微元平行六面体x方向的受力分析 2 dx x p p M 2 dx x p p N dt du z p

4、f dt du y p f dt du x p f z z y y x x 1 1 1 dt du pf 1 uu t u pf)( 1 第6页/共26页 二、欧拉运动微分方程的积分 dt du z p f dt du y p f dt du x p f z z y y x x 1 1 1 dx （ ） dz dt du dy dt du dx dt du dz z p dy y p dx x p dzfdyfdxf z y x zyx )( 1 )( dy （ ） dz （ ） 第7页/共26页 dz dt du dy dt du dx dt du dz z p dy y p dx x p

5、dzfdyfdxf z y x zyx )( 1 )( 1、恒定流： 0 )( t dpdz z p dy y p dx x p 2、流体不可压缩：=const )( 1 )( 1 p ddpdz z p dy y p dx x p 3、质量力有势 dWdzfdyfdxf zyx 4、沿流线积分 ) 2 ( 2 u ddz dt du dy dt du dx dt du z y x 第8页/共26页 不可压缩理想流体的伯努利积分式 dz dt du dy dt du dx dt du dz z p dy y p dx x p dzfdyfdxf z y x zyx )( 1 )( ) 2 ()

6、( 2 u d p ddW C up W 2 2 第9页/共26页 理想流体恒定元流的伯努利方程 5 伯努利方程 一、理想流体恒定元流的伯努利方程 质量力只有重力：fx=0，fy=0，fz=-g gdzdzfdyfdxfdW zyx ) 2 ()( 2 u d p ddW 0) 2 ()( 2 u d p dgdz C g u g p z 2 2 物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流（无旋流）中 ，理想流体各点的总机械能相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。 g u g p z g u g p z 22 2 22 2 2 11 1 或 第10页/共26页 符号说明： g p g u 2

7、 2 g p z g u g p z 2 2 z 符号符号物理意义物理意义几何意义几何意义 单位重流体的位能位置水头 单位重流体的压能压强水头 单位重流体的动能流速水头 单位重流体总势能测压管水头 单位重流体总机械能总水头 第11页/共26页 总水头线和静水头线 第12页/共26页 实际流体恒定元流的伯努利方程 二、实际流体恒定元流的伯努利方程 w h g u g p z g u g p z 22 2 22 2 2 11 1 Hp 0 1 H 1 z 1 p /g 1 1 2g 11 2 v 2 0 p /g z 2 2 2 2 H H 2 v2 2 2g hw 第13页/共26页 dl g

8、u g p zd dl dh J w ) 2 ( 2 dl g p zd J p )( 总水头线坡度： 测压管线坡度： 理想流动流体的总水头线为水平线； 实际流动流体的总水头线恒为下降曲线； 测压管水头线可升、可降、可水平。 若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即J=JP。 总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。 注意： 第14页/共26页 例 皮托管测速 zAzB g u h 2 2 u 皮托管测速原理 第15页/共26页 0 2 2 g p z g u g p z B B A A g u g p z g p zh A A B B 2 )()( 2 gh g p z g

9、p zgu A A B B 2)()(2 ghu2 考虑到实际流体粘性作用引起的水头损失和测速管对流动的影响，实际应用时，应对上式进行修正： 式中：称为皮托管系数，由实验确定，通常接近于1.0。 先按理想流体研究，由A至B建立恒定元流的伯努利方程，有 第16页/共26页 三、实际流体恒定总流的伯努利方程 VwqAA qhA g u g p zA g u g p z V gddgu 2 dgu 2 22 2 22 211 2 11 1 21 w h g u g p z g u g p z 22 2 22 2 2 11 1 1、势能的积分 V A A q g p zudA g p zA g p z

10、)(g)(ggud)( 2、动能的积分 VA q g v A g v A g u 2 g 2 ggd 2 233 A v u A q g v A g u A V A d)( 1 2 g gd 2 3 2 3 动能修正系数： 第17页/共26页 实际流体恒定总流的伯努利方程 3、 能量损失积分 VwwA qghAguhd VwVVVV qhq g v gq g p zq g v gq g p zg 2 )g( 2 )g( 2 22 2 2 11 1 w h g v g p z g v g p z 22 2 22 2 2 11 1 适用条件： 流体是不可压缩的，流动为恒定的。 质量力只有重力。 过

11、流断面为渐变流断面。 两过流断面间没有能量的输入或输出，否则应进行修正： w h g v g p zH g v g p z 22 2 22 2 2 11 1 第18页/共26页 压强p的计量标准。 应用恒定总流的伯努利方程解题时，应注意的问题： 基准面、过流断面、计算点的选取。 三选一列 选择基准面：基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。例如选过流断面形心（z=0），或选自由液面（p=0）等。 选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。 选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同的压强标准。 列伯努利方程解题：注

12、意与连续性方程的联合使用。 第19页/共26页 例 文丘里流量计 1 0 0 p 2 hp z1 2 z d1 1 d2 2 p /g2 p /g 1 h g v g p z g v g p z 22 2 22 2 2 11 1 )()( 2 2 1 1 g p z g p zh 1 2 2 1 2 11 2 )(v d d A vA v 1)(/2 4 2 1 1 d d hgv 1)(/2 4 4 2 1 2 111 d d hgdAvqV 1)(/2 4 4 2 1 2 1 d d hgdqV 第20页/共26页 例某一水库的溢流坝，如图所示。已知坝下游河床高程为105.0m,当水库水位

13、为120.0m时，坝址处过流断面C处的水深hc=1.2m。设溢流坝的水头损失 求坝址处断面的平均流速。 g v h c w 2 1 . 0 2 2 0 12 C vc hc 120.0 v1 1 0 105.0 解：如图，取基准、计算断面，列出断面1，2总流伯努利方程 w h g v g p z g v g p z 22 2 222 2 2 111 1 计算点选在液面上，即有 0 21 pp 0 2 2 11 g v ， Z1=120-105=15m Z2=hc=1.2m g v g v cc 2 1 . 0 2 0 . 1 02 . 10015 22 sm g vc/68.15 1 . 1 )2 . 115(2 令v2=vc 第21页/共26页 四、伯努利方程的扩展 1 1 v1 2 2 3 3 v2 v3 节点 1、分叉恒定流 ) 2 () 2 ( 2 222 22 2 111 11 g v g p zgq g v g p zgq VV 3 , 1 2 333 32, 1 2 222 2 2 111 1 222 ww h g v g p zh g v g p z g v