高阶系统的频域分析及离散化

1、武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书摘要 近年来，由于脉冲计数，数字是元部件，数字计算机，特别是微处理器的蓬勃发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器。给予工程实践的需要，作为分析和涉及数字控制系统的基础理论，离散系统理论的发展迅速。在高阶系统的性能分析中，应用时域分析法较为困难。频域分析法主要适用于线性定常系统，是分析和设计控制系统的一种实用的工程方法，应用十分广泛。 自动化行业的发展十分迅速，目前MATLAB软件已经成为控制领域最流行的设计和计算工具之一。运用MATLAB进行控制系统分析与设计的全过程对以后的工作学习是有很大作用的。使用MATLAB对自动控制系统进行频域分析，对连续时间

2、系统进行离散化，掌握MATLAB在自动控制领域的重要应用. 关键词：频域分析，离散化，MATLAB- 14 -目录1 利用MATLAB进行系统的频域分析.11.1 利用MATLAB绘制系统的波特图.11.1.1 绘制波特图.11.1.2 稳定裕度.21.1.3 截止频率.21.2 利用MATLAB绘制系统的奈奎斯特图.21.2.1 绘制奈奎斯特图.21.2.2 稳定性分析.32 控制系统的时域响应.42.1 单位阶跃响应及其稳态误差.42.1.1 利用MATLAB绘制单位阶跃响应曲线.42.1.2 稳态误差.42.1.3 系统动态性能指标.52.2 单位斜坡响应及其稳态误差.62.2.1 利用

3、MATLAB绘制单位斜坡响应曲线.62.2.2 稳态误差.62.3 单位加速度响应及其稳态误差.72.3.1 利用MATLAB绘制单位加速度响应曲线.72.3.2 稳态误差.73 高阶系统的离散化.83.1 系统离散化.83.2 闭环脉冲传递函数.94 小结.13参考文献.14高阶系统分析及离散化1 利用MATLAB进行系统的频域分析1.1 利用MATLAB绘制系统的波特图1.1.1 绘制波特图根据初始条件：单位反馈系统的开环传递函数是 当K=10，a=1,b=4时，变为则系统的闭环传递函数为 （s）= =(1)根据上述的开环传递函数，使用Matlab绘制其波特图 图1-1 波特图其MATLA

4、B程序如下： G=tf(10 40,1 5 12 8 0); %建立开环系统模型 figure(1) margin(G); %绘制波特图，计算幅值裕度，相角域度 axis equal %调整纵横坐标比例，保持原形根据图示可以看出相角裕度=-14，幅值裕度h=3.56。1.1.2 截止频率根据上面所得到的波特图可以清楚的看出系统的截止频率c=2.11rad/s1.2 利用MATLAB绘制系统的奈奎斯特图1.2.1 绘制奈奎斯特图使用MATLAB提供的函数nyquist()绘制系统的奈奎斯特图，其程序如下： G=tf(10 40,1 5 12 8 0); %建立开环系统模型 nyquist(G);

5、 %绘制奈奎斯特图 axis equal %调整纵横坐标比例，保持原形 绘制出的奈奎斯特曲线如图1-2所示。 图1-2 奈奎斯特图1.2.2 稳定性分析根据上面所绘制的奈奎斯特图分析，由于开环系统没有右极点，即P=0，而奈奎斯特曲线顺时针包围（-1，j0）点两圈，即R=-2，所以闭环系统的正实部极点数为Z=P-R=2，因此闭环系统不稳定。根据题目所给的开环传递函数，计算得出它的闭环特征方程是：，列出其劳斯表如下所示： 1 8+4a bK 4+a 8a+k 0 bK 0 bK令其首列为正数，得到以下不等式组：4+a0;0; 0;bK0.取a=6,b=5,K=12满足上述不等式，系统稳定2 控制系

6、统的时域响应2.1 单位阶跃响应及其稳态误差2.1.1 利用MATLAB绘制单位阶跃响应曲线根据上节稳定性的分析得知：取K=12，a=6，b=5时系统稳定。此时开环传递函数，求其闭环传递函数得： （s）=根据闭环传递函数编制MATLAB程序如下：num=12,60;%闭环传递函数的分子den=1,10,32,60,60;%闭环传递函数的分母sys=tf(num,den);%定义系统t=0:0.01:10; %设定仿真时间step(sys,t);grid; %绘制单位阶跃响应xlabel(t);ylabel(c(t);title(step response);axis(0,10,0,1.4);单

7、位阶跃输入及其响应曲线如图2-1所示。 图2-1 单位阶跃响应曲线2.1.2 稳态误差根据绘制出的曲线可以明显的看出，当时间t时，单位阶跃输入以及单位阶跃响应均趋近于常值1，也就是说系统在单位阶跃输入时的稳态误差为0。2.1.3 系统动态性能指标 图2-2峰值时间tp=2.1dec;超调亮%=15.1%；上升时间tr=0.931dec；调节时间ts=4.28dec。2.2 单位斜坡响应及其稳态误差2.2.1 利用MATLAB绘制单位斜坡响应曲线已知其闭环传递函数，使用MATLAB绘制其单位斜坡输入及单位斜坡响应曲线，其程序如下所示。num=12,60;%闭环传递函数的分子den=1,10,32

8、,60,60;%闭环传递函数的分母sys=tf(num,den);%定义系统t=0:0.01:10; %设定仿真时间u=t; %定义输入为斜坡信号lsim(sys,u,t,0);grid %求取系统的单位斜坡响应xlabel(t);ylabel(c(t);title(ramp response);axis(0,5,0,5); 结果如图2-3所示。 图2-3 单位斜坡响应曲线 Error! Reference source not found.2.2.2 稳态误差在此控制系统中，根据绘制出的图可以看出，当时间t时，单位斜坡输入和单位斜坡响应之间的差值趋近于一个常数，这个常数即是其稳态误差。计算出

9、稳态误差ess大概为4.5-3.7=0.8。2.3 单位加速度斜坡响应及其稳态误差2.3.1 利用MATLAB绘制单位加速度斜坡响应曲线已知其闭环传递函数，使用MATLAB绘制其单位加速度输入及单位加速度响应曲线，其程序如下所示。 num=12,60;%闭环传递函数的分子den=1,10,32,60,60;%闭环传递函数的分母s=tf(s);sys=tf(num,den);%定义系统G1=sys/(s*s*s);impulse(G1);%绘制单位斜坡响应hold onimpulse(1/s3);%绘制单位斜坡输入grid axis(0 20 0 100);结果如图6所示。2.3.2 稳态误差根

10、据MATLAB所绘制的图可以看出，单位加速度输入和单位加速度响应的曲线之间的差变得越来越大。也就是说，系统在单位加速度输入时的稳态误差是。 图2-4 单位加速度响应曲线3 高阶系统的离散化3.1 系统离散化标准的带有采样开关和零阶保持器的系统结构图如图3-1所示。当其中没有采样开关和零阶保持器时，则成为连续系统，这种情况在上节已经分析过。当它只含有采样器而没有零阶保持器时，求其闭环脉冲传递函数。根据图示可得：C(s)=GP(s)E*(s)（8）考虑到E（s）=R（s）-C（s）= R（s）- GP(s)E*(s)（9）离散化后，有E*(s)= R*（s）- GP*(s)E*(s)（10）即E*

11、(s)= （11）所以，输出信号的采样拉氏变换C*(s)= GP*(s)E*(s)= （12）由上节得到的C*(s)，对其进行z变换，得到C(z)= （13）即闭环脉冲传递函数（z）= （14）若既有采样器又有零阶保持器，则此时开环脉冲传递函数为G（z）=（1-z-1）ZGP(s)/s（15）其闭环脉冲传递函数（z）= （16）r（t） c（t） - GP(s) 图3-2 离散系统 根据上节的开环传递函数Gp（s）=编制MATLAB程序如下所示： num=12 60; den1 10 32 48 0; T=1;numz,denz=c2dm(num,den,T,zoh); g=feedback(

12、tf(numz,denz,T),1,-1);y=dstep(g.num,g.den);t=0;length(y)-1;ab=plot(t,y,bo);set(ab,linewidth,1.5); hold on;numz,denz=c2dm(num,den,T,imp);g=feedback(tf(numz,denz,T),1,-1); y=dstep(g.num,g.den);t=0;length(y)-1;ab=plot(t,y,r+);set(ab,linewidth,1.5); hold on;T=0:0.001:25;g=feedback(tf(num,den,T),1,-1); y

13、=step(g,t); ab=plot(t,y,k-);set(ab,linewidth,1.5); xlabel(t),ylabel(h(t); grid;运行结果如图8所示。3.2 闭环脉冲传递函数在只有采样开关而没有零阶保持器的情况下，由上节得到的闭环脉冲传递函数为（z）=，先根据开环传递函数GP(s)求出其Z变换，带入即可求出闭环脉冲传递函数。 图3=2 连续与离散系统时间响应曲线根据题目所给的开环传递函数GP（s）=将使系统稳定的值K=12，a=6，b=5代入得到GP（s）其极点是0，-6，-2+i，-2-i，零点为5，使用MATLAB编制程序，求出GP（s）的z变换。程序如下：nu

14、m,den=zp2tf(-5,0,-6,-2+2i,-2-2i,12)h=tf(num,den)hd=c2d(h,0.1,tustin)运行结果如下所示：num = 0 0 0 12 60den = 1 10 32 48 0Transfer function: 12 s + 60-s4 + 10 s3 + 32 s2 + 48 sTransfer function:0.001182 z4 + 0.002837 z3 + 0.001419 z2 - 0.0009458 z - 0.0007093-z4 - 3.145 z3 + 3.682 z2 - 1.899 z + 0.3619Samplin

15、g time: 0.1由此得出GP(z), 根据公式（14），（z）=把GP(z)代入求出（z）= 0.001182 z4 + 0.002837 z3 + 0.001419 z2 - 0.0009458 z - 0.0007093/ 1.001182 z4 3.11663 z3+ 3.683419 z2 1.8999458 z + 0.3611907当既有采样器又有零阶保持器时，由公式（15）得到的开环脉冲传递函数为G（z）=（1-z-1）ZGP(s)/s，利用MATLAB求出ZGP(s)/s，程序如下： num,den=zp2tf(-5,0,0,-6,-2+2i,-2-2i,12)h=tf(

16、num,den)hd=c2d(h,0.1,tustin)z=tf(z)aaa=(1-z-1)*hd运行结果是：num = 0 0 0 0 12 60den = 1 10 32 48 0 0Transfer function: 12 s + 60-s5 + 10 s4 + 32 s3 + 48 s2Transfer function:5.911e-005 z5 + 0.000201 z4 + 0.0002128 z3 + 2.364e-005 z2 - 8.276e-005 z - 3.547e-005- z5 - 4.145 z4 + 6.827 z3 - 5.581 z2 + 2.261 z

17、 - 0.3619 Sampling time: 0.1根据公式（15）算出其开环脉冲传递函数G（z）= 5.911e-005 z6 + 0.0001419 z5 + 1.182e-005 z4 - 0.0001892 z3 - 0.0001064z2+4.729e-005z+ 3.547e-005/ z6 - 4.145 z5 + 6.827 z4 - 5.581 z3 + 2.261 z2 - 0.3619 z 。根据公式（16），求出其闭环脉冲传递函数（z）= 5.911e-005 z6 + 0.0001419 z5 + 1.182e-005 z4 - 0.0001892 z3 - 0.

18、0001064z2+4.729e-005z+ 3.547e-005/ z6 - 4.145 z5 + 6.827 z4 - 5.581 z3 + 2.261 z2 - 0.3619 z + 3.547e-005。 4 小结自动控制原理课程设计终于结束了，将是一个新的开始。作为专业课，自控有一定难度，但通过书上题目的练习，我们能很好掌握解题方法。可是后来发现仅仅做题是不能非常清楚的理解书中重要的知识点，我们更需要通过MATLAB这一款软件，对系统进行各种分析，帮助我们直观的更好的理解。通过这次课程设计，我对MATLAB这款软件有了一定的认识，掌握了一些解决与自动控制有关的问题的方法。这次课程设计过程中我遇到了很多困难，首先是对MATLAB这款软件不熟悉。为了利用它，我上网查了很多资料，翻阅了资料书，请教了会的同学。学会了用MATLAB对系统进行频域和时域分析以及对连续